等差數(shù)列與等比數(shù)列.doc

等差數(shù)列與等比數(shù)列 基礎(chǔ)知識(shí)1數(shù)列的概念定義1. 按照某一法則，給定了第1個(gè)數(shù)，第2個(gè)數(shù)，對(duì)于正整數(shù)有一個(gè)確定的數(shù)，于是得到一列有次序的數(shù)我們稱它為數(shù)列，用符號(hào)表示。數(shù)列中的每項(xiàng)稱為數(shù)列的項(xiàng)，第項(xiàng)稱為數(shù)列的一般項(xiàng)，又稱為數(shù)列的通項(xiàng)。定義2.當(dāng)一個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為有限個(gè)時(shí)，稱這個(gè)數(shù)列為有限數(shù)列；當(dāng)一個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為無限時(shí)，則稱這個(gè)數(shù)列為無限數(shù)列。定義3.對(duì)于一個(gè)數(shù)列，如果從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)，即，這樣的數(shù)列稱為遞增數(shù)列；如果從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)，即，這樣的數(shù)列稱為遞減數(shù)列。定義4.如果數(shù)列的每一項(xiàng)的絕對(duì)值都小于某一個(gè)正數(shù)，即，其中是某一個(gè)正數(shù)，則稱這樣的數(shù)列為有界數(shù)列，否則就稱為是無界數(shù)列。定義5.如果在數(shù)列中，項(xiàng)數(shù)與具有如下的函數(shù)關(guān)系：，則稱這個(gè)關(guān)系為數(shù)列的通項(xiàng)公式。2等差數(shù)列定義6.一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做公差，常用字母表示。等差數(shù)列具有以下幾種性質(zhì)：（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：或；（2）等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式：或；（3）公差非零的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為的一次函數(shù)；（4）公差非零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式是關(guān)于不含有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)；（5）設(shè)是等差數(shù)列，則（是常數(shù)）是公差為的等差數(shù)列；（6）設(shè)，是等差數(shù)列，則（是常數(shù)）也是等差數(shù)列；（7）設(shè)，是等差數(shù)列，且，則也是等差數(shù)列（即等差數(shù)列中等距離分離出的子數(shù)列仍為等差數(shù)列）；（8）若，則；特別地，當(dāng)時(shí)，；（9）設(shè)，則有；（10）對(duì)于項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列，記分別表示前項(xiàng)中的奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和，則，；（11）對(duì)于項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列，有，；（12）是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則；（13）其他衍生等差數(shù)列：若已知等差數(shù)列，公差為，前項(xiàng)和為，則 為等差數(shù)列，公差為；（即）為等差數(shù)列，公差；（即）為等差數(shù)列，公差為. 3等比數(shù)列定義7.一般地，如果有一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于現(xiàn)中一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做公比；公比通常用字母表示（），即。等比數(shù)列具有以下性質(zhì)：（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：或；（2）等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式：；（3）等比中項(xiàng)：；（4）無窮遞縮等比數(shù)列各項(xiàng)公式：對(duì)于等比數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)無限增大時(shí)的極限，叫做這個(gè)無窮遞縮數(shù)列的各項(xiàng)的和，記為，即；（5）設(shè)是等比數(shù)列，則（是常數(shù)），仍成等比數(shù)列；（6）設(shè)，是等比數(shù)列，則也是等比數(shù)列；（7）設(shè)是等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且則也是等比數(shù)列（即等比數(shù)列中等距離分離出的子數(shù)列仍為等比數(shù)列）；（8）設(shè)是正項(xiàng)等比數(shù)列，則是等差數(shù)列；（9）若，則；特別地，當(dāng)時(shí)，；（10）設(shè)，則有；（11）其他衍生等比數(shù)列：若已知等比數(shù)列，公比為，前項(xiàng)和為，則為等比數(shù)列，公比為；（即）為等比數(shù)列，公比為；典例分析例1設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差均為非負(fù)整數(shù)，項(xiàng)數(shù)不小于3，且各項(xiàng)之和為972，則這樣的數(shù)列有_個(gè)。解：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為。由已知有，即。又因?yàn)椋灾豢赡苋?，又因?yàn)榍揖鶠檎麛?shù)，故；若，由于為正數(shù)，則，即，故，這時(shí)有或；若，則，這時(shí)有或。例2設(shè)，A是S的三元子集，滿足：A中元素可以組成等差數(shù)列，那么這樣的三元子集有_個(gè)。解：若成等差數(shù)列，則，從而首未兩項(xiàng)奇偶相同，且首未兩項(xiàng)一旦確定，那么等差數(shù)列也就隨之確定了。但是值得注意的是，雖然成等差數(shù)列時(shí)，也成等差數(shù)列，但它們所對(duì)應(yīng)的是同一個(gè)集合A=。將S按數(shù)的奇偶性分成與兩個(gè)子集。從中取出兩個(gè)數(shù)作為等差數(shù)列的首未兩項(xiàng)，共有種不同的取法；從中取出兩個(gè)數(shù)作為等差數(shù)列的首未兩項(xiàng)，共有種不同的取法；所以共有+種不同的取法。例3設(shè)，A為至少含有兩項(xiàng)且公差為正的等差數(shù)列，其項(xiàng)都在S中，且添加S的其它元素于A后均不能構(gòu)成與A有相同公差的等差數(shù)列，求這種A的個(gè)數(shù)（這里只有兩項(xiàng)的數(shù)列也看作是等差數(shù)列）（1991年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試第一題）分析：可先對(duì)特殊的n（如n=1,2,3）通過列舉法求出A的個(gè)數(shù)，然后總結(jié)規(guī)律，找出的遞推關(guān)系，從而解決問題；也可以就A的公差時(shí)，討論A的個(gè)數(shù)。解法一：設(shè)元素集中滿足條件的A有個(gè)，則，如此下去，可以發(fā)現(xiàn)。事實(shí)上，比的A增加的公差為的1個(gè)，公差為的1個(gè)，公差為為偶數(shù))或?yàn)槠鏀?shù)）的增加1個(gè)，共增加個(gè)。由的遞推公式可得個(gè)。解法二：設(shè)A的公差為，則，分為兩種情況討論：（1）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，公差為的A有個(gè)，當(dāng)時(shí)，公差為d的A有個(gè)，故當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，這種A共有個(gè)；（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，公差為的A有個(gè)，當(dāng)時(shí)，公差為d的A有個(gè)，故當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，這種A共有個(gè)；綜合（1）（2）得，所求的A共有個(gè)。例4將數(shù)列依次按每一項(xiàng)，兩項(xiàng)，三項(xiàng)，四項(xiàng)循環(huán)分成（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27）,（29，31，33），（35，37，39，41），（43），則第100個(gè)括號(hào)內(nèi)的各數(shù)之和是_。解：每循環(huán)一次記為一組，則第100個(gè)括號(hào)是第25組的第4個(gè)括號(hào)。而每組中第四個(gè)括號(hào)內(nèi)的各數(shù)之和構(gòu)成以72為首項(xiàng)，以80為公差的等差數(shù)列，故為所求。例5設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，（），又，試求數(shù)列的首項(xiàng)與公差。（2000年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試第13題）分析；題中兩個(gè)基本量中的首項(xiàng)和公差是所需求的。利用，成等比數(shù)列和給定的極限可列出兩個(gè)方程，但需注意極限存在的條件。解：設(shè)所求的首項(xiàng)為，公差為。因?yàn)椋?；又因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，故，即，即，化簡得：，解得，而，故；若，則；若，則；但是存在，可知，于是不合題意，從而只有。于是由解得，所以，故數(shù)列的首項(xiàng)與公差分別為和。例6若復(fù)數(shù)列的通項(xiàng)公式為（1）將數(shù)列的各項(xiàng)與復(fù)平面上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)，問從第幾項(xiàng)起，以后所有的各項(xiàng)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都落在圓的內(nèi)部；（2）將數(shù)列中的實(shí)數(shù)項(xiàng)按原來的順序排成一個(gè)新數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)及所有項(xiàng)的和。解：（1）設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，。要使點(diǎn)落在圓的內(nèi)部，只需，得即，故從第6項(xiàng)起，以后每一項(xiàng)都落在圓的內(nèi)部。（2）要使數(shù)列中的項(xiàng)為實(shí)數(shù)，則，得，因此數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以，且故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的無窮遞縮數(shù)列，從而數(shù)列的所有項(xiàng)的和為：。例7已知整數(shù)，是1，2，3，n的一個(gè)排列，求證：不可能構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，也不可能構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列。（2006年山東省第二屆夏令營試題）證明：若構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，所以。而，因?yàn)椋运?。于是?dāng)時(shí)，則，于是所以，矛盾！當(dāng)時(shí)，則， 又因?yàn)樗?，從而。所以，所以，從而，矛盾！從而不可能?gòu)成一個(gè)等差數(shù)列。下證不可能構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列。若構(gòu)成了一個(gè)等比數(shù)列，考慮最后三項(xiàng)。有，所以。而（，所以；當(dāng)時(shí)，顯然 ；當(dāng)時(shí)，顯然；當(dāng)時(shí)，有，知，所以即，所以或4； 當(dāng)時(shí)，只能為1，6，6或2，6，3，但這兩個(gè)都不是等比數(shù)列； 當(dāng)時(shí)，所以故；又因?yàn)椋悦?！所以也不可能?gòu)成一個(gè)等比數(shù)列。例8正整數(shù)序列按以下方式構(gòu)成：為某個(gè)正數(shù)，如果能被5整除，則；如果不能被5整除，則。證明：數(shù)列自某一項(xiàng)起，以后各項(xiàng)都不是5的倍數(shù)。（2006年山東省第二屆夏令營試題）證明：首先證明中一定在存在相鄰的兩項(xiàng)，它們都不是5的倍數(shù)。（反證）若不然，數(shù)列中任意的兩項(xiàng)都是5的倍數(shù)。若，則；若5，則，從而；所以矛盾?。ㄒ?yàn)槟硞€(gè)正數(shù)，不可能大于無窮多個(gè)正整數(shù)）從而中一定在相在相鄰的兩項(xiàng)，它們都不是5的倍數(shù)。設(shè)都不是5的倍數(shù)，則，其中，有因?yàn)?，所以，所以只能取，即只能取，這說明不是5的倍數(shù)。即從起以后每一項(xiàng)都不是5的倍數(shù)。例9將與105互質(zhì)的所有正整數(shù)從小到大排成數(shù)列，求這個(gè)數(shù)列的第三1000項(xiàng)。解：設(shè)，則； ； ； ； ； ； ，所以。在1到105之間與105互質(zhì)的數(shù)有+=105（35+21+15）+（7+3+5）1=48設(shè)將與105互質(zhì)的數(shù)從小到大排列起來為數(shù)列，則，這是一個(gè)以48