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第四章交通流理論 第五節(jié)交通流的流體力學(xué)模擬理論 第五節(jié)交通流的流體力學(xué)模擬理論 一 引言1 流體動(dòng)力學(xué)理論建立1955年 英國學(xué)者萊脫希爾和惠特漢將交通流比擬為一種流體 對(duì)一條很長的公路隧道 研究了在車流密度高的情況下的交通流規(guī)律 提出了流體動(dòng)力學(xué)模擬理論 該理論運(yùn)用流體動(dòng)力學(xué)的基本原理 模擬流體的連續(xù)性方程 建立車流的連續(xù)性方程 把車流密度的變化 比擬成水波的起伏而抽象為車流波 當(dāng)車流因道路或交通狀況的改變而引起密度的改變時(shí) 在車流中產(chǎn)生車流波的傳播 通過分析車流波的傳播速度 以尋求車流流量和密度 速度之間的關(guān)系 并描述車流的擁擠 消散過程 因此 該理論又可稱為車流波動(dòng)理論 流體動(dòng)力學(xué)模擬理論是一種宏觀模型 它假定車流中各個(gè)車輛的行駛狀態(tài)與它前面的車輛完全一樣 這與實(shí)際是不相符的盡管如此 該理論在分析交通流流體狀態(tài)比較明顯的場合 比如在分析瓶頸路段的車輛擁擠問題時(shí) 還比較實(shí)用 第五節(jié)交通流的流體力學(xué)模擬理論 2 車流連續(xù)性方程的建立假設(shè)車輛順次通過斷面I和II的時(shí)間間隔為 t 兩斷面的間距為 x 車流在斷面I的流入量為q 密度為k 車流在斷面II的流出量為 q q 密度為 k k k前面加一負(fù)號(hào) 表示在擁擠狀態(tài) 車流密度隨車流量的增加而減小 根據(jù)物質(zhì)守恒定律 流入量 流出量 x內(nèi)車輛數(shù)的變化 即 或 取極限可得 又 故 上式表明 當(dāng)車流量隨距離而降低時(shí) 車流密度則隨時(shí)間而增大 5 1 5 2 5 3 5 4 圖5 1交通流回波現(xiàn)象 二 車流波動(dòng)理論交通車流和一般的流體一樣 當(dāng)?shù)缆肪哂衅款i形式路段 車流發(fā)生紊亂擁擠現(xiàn)象 會(huì)產(chǎn)生一種與車流方向相反的波 好像聲波碰到障礙物時(shí)的反射一樣 阻止車流前進(jìn) 降低車速 如圖5 1 第五節(jié)交通流的流體力學(xué)模擬理論 1 集散波的定義列隊(duì)行駛的車輛在信號(hào)燈交叉口遇到紅燈后 即陸續(xù)停車排隊(duì)而集結(jié)成密度高的隊(duì)列 綠燈啟亮后 排隊(duì)的車輛又陸續(xù)起動(dòng)而疏散成一列具有適當(dāng)密度的車隊(duì) 車流中密度經(jīng)過了由低到高 再由高到低兩個(gè)過程 車流中兩種不同密度部分的分界面經(jīng)過一輛輛車向車隊(duì)后部傳播的現(xiàn)象 稱為車流的波動(dòng) 車流波動(dòng)沿道路移動(dòng)的速度 稱為波速 車隊(duì)運(yùn)行狀態(tài)變化圖為在時(shí)間 空間坐標(biāo)系下表示的一隊(duì)n輛車的運(yùn)行狀態(tài)變化圖 圖中每根曲線表示一輛車運(yùn)行的時(shí)間 空間軌跡 曲線間的水平距離表示車頭時(shí)距 垂直距離表示車頭間距 兩條虛線分隔出I II和III三個(gè)時(shí)間 空間區(qū)域 在區(qū)域I內(nèi) 車速最高而密度最低 進(jìn)入?yún)^(qū)域II后 車速明顯降低而密度明顯升高 進(jìn)入?yún)^(qū)域III后 速度有所回升而密度有所下降 虛線與運(yùn)行軌跡的交點(diǎn)就是車隊(duì)密度不同的兩部分的分界 對(duì)某一確定時(shí)刻而言 而虛線則表示此分界既沿車隊(duì)向后一輛輛地傳播下去 又沿著道路而移動(dòng) 虛線的斜率就是波速 虛線AB是低密度狀態(tài)向高密度狀態(tài)轉(zhuǎn)變的分界 它所體現(xiàn)的車流波稱為集結(jié)波 而AC是高密度狀態(tài)向低密度狀態(tài)轉(zhuǎn)變的分界 它所體現(xiàn)的車流波稱為疏散波 兩種不同的車流波可統(tǒng)稱為集散波 圖5 2車隊(duì)運(yùn)行狀態(tài)變化圖 2 波速 集散波集結(jié)和消散的速度 這個(gè)車隊(duì)從速度V1 密度K1 對(duì)應(yīng)于車間距離l1 轉(zhuǎn)變到速度V2 密度K2 對(duì)應(yīng)于車間距離l2 O為第一輛車的變速點(diǎn) A為第二輛車的變速點(diǎn) 虛線OA的斜率就是集散波的波速 設(shè)變速點(diǎn)A的時(shí)刻為t 位置為x 則 5 5 故集散波從第一輛車傳到第二輛車所需時(shí)間為 圖5 3車隊(duì)前三輛車運(yùn)行軌跡 t x V1t V2t 如果車流前后兩行駛狀態(tài)的流量和密度非常接近 則 5 6 波速 5 7 集散波總是從前車向后車傳播的 把單位時(shí)間內(nèi)集散波所掠過的車輛數(shù)稱為波流量 5 8 在流量 密度相關(guān)曲線上 集散波的波速就是割線的斜率 微弱波 流量和密度非常接近 的波速就是切線的斜率 如圖所示 當(dāng)車流從低密度低流量的A狀態(tài)轉(zhuǎn)變的高密度高流量的B狀態(tài)時(shí) 集散波的波速是正的 即波沿道路前進(jìn) 當(dāng)車流從低流量高密度的C狀態(tài)轉(zhuǎn)變到高流量而密度較低的B狀態(tài)時(shí) 集散波的波速是負(fù)的 即波沿道路后退 從A狀態(tài)到B狀態(tài)的波是集結(jié)波 而從B狀態(tài)到A狀態(tài)的波是消散波 兩者都是前進(jìn)波 從B狀態(tài)到C狀態(tài)的波是集結(jié)波 從C狀態(tài)到B狀態(tài)的波為消散波 兩者都是后退波 車輛波動(dòng)圖 三 車流波動(dòng)理論的應(yīng)用例1 知某快速干道上車流速度 KM h 與密度 輛 KM 具有 之關(guān)系 現(xiàn)知一列u1 50KM h的車流中插入一u2 12KM h的低速車 并不能超車而集結(jié)形成速度為u2擁擠車流 此低速車在行駛2KM后離去 擁擠車隊(duì)隨之離散形成具有速度u3 30KM h的狀態(tài) 試求 1 擁擠車隊(duì)消散的時(shí)間ts 2 擁擠車隊(duì)持續(xù)的時(shí)間tj 3 擁擠車隊(duì)最長時(shí)的車輛數(shù)Nm 4 擁擠車輛的總數(shù)N 5 擁擠車輛所占用過的道路總長度L 6 車流速度從Vl降低至V2而延誤的總時(shí)間T 解 把車流經(jīng)歷的疏散一密集一疏散這三個(gè)階段的狀態(tài)記為狀態(tài)l 2 3 相應(yīng)的流量 速度 密度分別記為Qi ui Ki i 1 2 3 則由已知車流模型可算出 Q1 1000 u1 50 K1 20Q2 1200 u2 12 K2 100Q3 1500 u3 30 K3 50由狀態(tài)1轉(zhuǎn)變到狀態(tài)2形成集結(jié)波 記其波速為wl由狀態(tài)2轉(zhuǎn)變到狀態(tài)3形成消散波 記其波速為w2 車輛運(yùn)行時(shí)間 空間軌跡圖 受擁擠的N輛車的時(shí)間 空間運(yùn)行軌跡線如圖中的N條折線所示 虛線OB的斜率等于w1 虛線AB的斜率等于w2 以xB tB表示圖中B點(diǎn)的空間坐標(biāo)和時(shí)間坐標(biāo) 其它各點(diǎn)亦然 從圖看出 從t0到tA 擁擠車隊(duì)愈來愈長 最長時(shí)占路長度等于xA xc 過了時(shí)刻tA 擁擠車隊(duì)愈來愈短 到時(shí)刻tB擁擠完全消除 很自然應(yīng)把時(shí)段tB tA稱為消散時(shí)間ts 由于N條折線的斜率表示車速 易得 由圖可知擁擠車隊(duì)從A點(diǎn)開始消散 所以落在路段AC上的車數(shù)就是擁擠車隊(duì)最長時(shí)的車數(shù)Nm 它等于波wl在時(shí)段tc t0內(nèi)掠過的車數(shù) 根據(jù)波流量公式 可得 又 解得 所以 w1掠過的車輛總數(shù)就是擁擠過的車輛總數(shù)N 由圖可知擁擠車輛所占用過的道路總長度L即AD長 L LAD 2Km由于表示車輛行駛軌跡的各折線是分段等距平行的 不難得知遭遇擁擠的那些輛車的延誤構(gòu)成等差級(jí)數(shù) 于是總延誤D的計(jì)算為 例題2 一條單向道路的一端伸進(jìn)學(xué)校與居住區(qū)中 在此路段中車速限制為13Km h 對(duì)應(yīng)的通行能力為3880輛 小時(shí) 高峰是從上游駛來的車流速度為50Km h 流量為4200輛 小時(shí) 高峰持續(xù)了1 69小時(shí) 然后上游車流量降到1950輛 小時(shí) 速度為59Km h 是估計(jì)此路段入口的上游擁擠長度和擁擠持續(xù)時(shí)間 解 高峰時(shí)上游車流密度 居住區(qū)路段上的密度 在這兩股車流之間形成了一集結(jié)波其波速為 車輛運(yùn)行時(shí)間 空間軌跡圖 這是一后退波 表示居住區(qū)路段入口處向上游形成一列密度為298輛 Km的擁擠車流隊(duì)列 圖中tF tH tE t0 1 69 則tE 1 69小時(shí) OF為W1的軌跡 在F處高峰流消失 出現(xiàn)流量為1950輛 小時(shí) 速度為59Km h的低峰流 集結(jié)波波速 它的軌跡為FG 根據(jù)時(shí)間 空間軌跡圖可獲得如下方程組 即擁擠流向上游延長的距離為2 453km 共包含車輛為 2 453 298 731輛 集結(jié)波W2推進(jìn)到G的歷時(shí)為 則擁擠持續(xù)的時(shí)間為 例3 某信號(hào)燈交叉口的一條進(jìn)口道上 車流服從V K線性模型 飽和車頭時(shí)距為2s 停車排隊(duì)的車頭空距為8m 到達(dá)