統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及t分布.ppt

1 正態(tài)分布T分布 生物統(tǒng)計(jì)學(xué) 2 正態(tài)分布 3 樣本有幾個(gè)特別重要的數(shù)字特征 這些數(shù)字是描述樣本頻率分布特征的 稱之為樣本特征數(shù)而在生物統(tǒng)計(jì)學(xué)中 樣本特征數(shù)使用頻繁的有以下幾個(gè)1 算術(shù)平均數(shù) 簡(jiǎn)稱平均數(shù) 4 2 樣本方差 樣本中各數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差的平方和的平均數(shù) 3 樣本標(biāo)準(zhǔn)差 樣本方差的算術(shù)平方根做 5 樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差都是衡量一個(gè)樣本波動(dòng)大小的量 樣本方差或樣本標(biāo)準(zhǔn)差越大 樣本數(shù)據(jù)的波動(dòng)就越大 方差和標(biāo)準(zhǔn)差是測(cè)算離散趨勢(shì)最重要 最常用的指標(biāo) 6 正態(tài)分布的概念如果把數(shù)值變量資料編制頻數(shù)表后繪制頻數(shù)分布圖 又稱直方圖 它用矩形面積表示數(shù)值變量資料的頻數(shù)分布 每條直條的寬表示組距 直條的面積表示頻數(shù) 或頻率 大小 直條與直條之間不留空隙 若頻數(shù)分布呈現(xiàn)中間為最多 左右兩側(cè)基本對(duì)稱 越靠近中間頻數(shù)越多 離中間越遠(yuǎn) 頻數(shù)越少 形成一個(gè)中間頻數(shù)多 兩側(cè)頻數(shù)逐漸減少且基本對(duì)稱的分布 那我們一般認(rèn)為該數(shù)值變量服從或近似服從數(shù)學(xué)上的正態(tài)分布 7 當(dāng)n 直方條面積 頻率 各自的概率然后組距 時(shí) 直方條的寬度 直方條 垂直線 各個(gè)直方條頂點(diǎn)間的連線構(gòu)成一條光滑的曲線 即 概率密度曲線 而曲線下 直方條 的總面積始終為 在區(qū)間 a b 的概率 對(duì)應(yīng)曲線段下的面積 直方條面積 8 正態(tài)分布的概念 9 正態(tài)曲線的定義 函數(shù) 稱f x 的圖象稱為正態(tài)曲線式中 3 1416e 2 71828x 表示變量 表示理論平均數(shù) 表示總體標(biāo)準(zhǔn)差 2 表示總體方差這個(gè)公式表示x變量區(qū)間內(nèi)發(fā)生的概率 10 如果變量X的概率密度函數(shù)服從上述函數(shù) 則稱該變量服從正態(tài)分布 記做 11 在 不變的情況下函數(shù)曲線形狀不變 若 變大時(shí) 曲線位置向右移 若變小時(shí) 曲線位置向左移 故稱 為位置參數(shù) 12 在 不變的情況下函數(shù)曲線位置不變 若 變大時(shí) 曲線形狀變的越來(lái)越 胖 和 矮 若 變小時(shí) 曲線形狀變的越來(lái)越 瘦 和 高 故稱 為形態(tài)參數(shù)或變異度參數(shù) 13 正態(tài)曲線的性質(zhì) 1 曲線在x軸的上方 與x軸不相交 2 曲線是單峰的 它關(guān)于直線x 對(duì)稱 3 曲線在x 處達(dá)到峰值 最高點(diǎn) 4 曲線與x軸之間的面積為1 5 當(dāng)x 時(shí) 曲線下降 并且當(dāng)曲線向左 右兩邊無(wú)限延伸時(shí) 以x軸為漸近線 向它無(wú)限靠近 6 當(dāng) 一定時(shí) 曲線的形狀由 確定 越大 曲線越 矮胖 表示總體的分布越分散 越小 曲線越 瘦高 表示總體的分布越集中 14 而整個(gè)正態(tài)分布則應(yīng)該是各區(qū)間密度函數(shù)的累計(jì)積分 一種連續(xù)的分布不可能求某項(xiàng) 某點(diǎn) 的概率 而只能求某個(gè)區(qū)間的概率 任意兩點(diǎn)x1 x2且 x1 x2 X在 x1 x2 范圍內(nèi)取值的概率P 即正態(tài)分布曲線在 x1 x2 下面積 15 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 正態(tài)分布由 和 所決定 不同的 值就決定了不同的正態(tài)分布密度函數(shù) 因此在實(shí)際計(jì)算中很不方便的 需將一般的N 2 轉(zhuǎn)換為 0 2 1的正態(tài)分布 我們稱 0 2 1的正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 standardnormaldistribution 就是由正態(tài)分布密度函數(shù) 得到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù) 16 由于正態(tài)分布的概率密度函數(shù)比較復(fù)雜 積分的計(jì)算也比較麻煩 最好的解決辦法 將正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 然后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表直接查出概率值 對(duì)于服從任意正態(tài)分布N 2 的隨機(jī)變量 欲求其在某個(gè)區(qū)間的取值概率 需先將它標(biāo)準(zhǔn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N 0 1 的隨機(jī)變量 然后查表即可 17 正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布可以將x作一變換 令 u稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量或標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量 這個(gè)變換稱為標(biāo)準(zhǔn)化或u變換 由于x是隨機(jī)變量 因此u也是隨機(jī)變量 所得到的隨機(jī)變量U也服從正態(tài)分布 因此 由任意正態(tài)分布隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化得到的隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布常稱為u分布 18 變換后的正態(tài)分布密度函數(shù)為 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布均具有 0 2 1的特性 如果隨機(jī)變量u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 可記為 u N 0 1 19 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)函數(shù) 20 事實(shí)上 上面的計(jì)算已經(jīng)制成了表格 只要知道了平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差即可查出相應(yīng)的區(qū)間概率 21 特殊區(qū)間的概率 若X N 則對(duì)于任何實(shí)數(shù)a 0 概率為如圖中的陰影部分的面積 對(duì)于固定的和而言 該面積隨著的減少而變大 這說(shuō)明越小 落在區(qū)間的概率越大 即X集中在周圍概率越大 特別地有 22 我們從上圖看到 正態(tài)總體在以外取值的概率只有4 6 在以外取值的概率只有0 3 由于這些概率值很小 一般不超過(guò)5 通常稱這些情況發(fā)生為小概率事件 23 T分布幾個(gè)重要概念 從一個(gè)正態(tài)總體中抽取的樣本統(tǒng)計(jì)量的分布樣本平均數(shù)和樣本方差S2是描述樣本特征的兩個(gè)最重要的統(tǒng)計(jì)量 如果原總體的平均數(shù)為 標(biāo)準(zhǔn)差為 那么樣本平均數(shù)抽樣總體 平均數(shù)為 標(biāo)準(zhǔn)差為 為樣本平均數(shù)抽樣總體的標(biāo)準(zhǔn)誤差簡(jiǎn)稱為標(biāo)準(zhǔn)誤 標(biāo)準(zhǔn)誤表示平均數(shù)抽樣誤差的大小 反映樣本平均數(shù)與新總體平均數(shù)之間的離散程度 24 經(jīng)計(jì)算得出兩個(gè)重要結(jié)論 抽樣的樣本平均數(shù)的平均數(shù)等于總體平均數(shù) 即 抽樣的抽樣平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差等于總體標(biāo)準(zhǔn)差除以樣本單位數(shù)的平方根 即 25 4 t 分布 不要求 設(shè)有服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量x 正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化公式為 對(duì)于總體方差 2已知的總體 根據(jù)公式可以知道樣本平均數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的概率 公式為 附 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 26 假如 2未知 而且樣本容量又比較小 n 30 時(shí) 標(biāo)準(zhǔn)化公式可變換為 它不再服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 T分布類似于正態(tài)分布 也是一種對(duì)稱分布 它只有一個(gè)參數(shù) 就是自由度所謂自由度是指獨(dú)立觀測(cè)值的個(gè)數(shù) 應(yīng)為計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)所使用的n個(gè)觀測(cè)值 受到平均數(shù)x的約束 這就等于有一個(gè)觀測(cè)值不能獨(dú)立取值 因此自由度為df n 1 服從具有n 1自由度t 分布 27 T分布的密度函數(shù)為 T分布的計(jì)算已列成表格 應(yīng)用時(shí)可根據(jù)需要由t值 自由度查概率 也可以由概率 自由度查t值 28 t分布的雙側(cè)分位點(diǎn) 假定X t n 給定 0 1 如果一個(gè)數(shù)c滿足 P X c 則稱這個(gè)數(shù)c是自由度n的t分布的雙側(cè) 分位點(diǎn) 數(shù) 記成t 2 n 對(duì)稱分布的雙側(cè) 分位點(diǎn)就是上側(cè) 2分位點(diǎn) 29 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N 0 1 的雙側(cè) 分位點(diǎn) 記為 u 2 如 雙側(cè)0 05分位點(diǎn)u0 025 1 96 30 t 分布的特點(diǎn) 1 t分布為對(duì)稱分布 關(guān)于t 0對(duì)稱 只有一個(gè)峰 峰值在t 0處 與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線相比 t分布曲線頂