高中數(shù)學(xué) 332《函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)函數(shù)的最大（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù)》同步課件 新人教A版選修11.pptVIP

1 知識(shí)與技能結(jié)合函數(shù)的圖象 了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件 2 過程與方法會(huì)用導(dǎo)數(shù)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的極值 以及在給定區(qū)間上求最大值 最小值 本節(jié)重點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求函數(shù)的極值 本節(jié)難點(diǎn) 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求極值時(shí) 首先要確定函數(shù)的定義域 其次 為了清楚起見 可用導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn) 將函數(shù)的定義域分成若干小開區(qū)間 并列成表格 判斷導(dǎo)函數(shù)在各個(gè)小開區(qū)間的符號(hào) 求函數(shù)的最大值和最小值 需要先確定函數(shù)的極大值和極小值 極值是一個(gè)局部概念并且不唯一 極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系 f x0 0只是可導(dǎo)函數(shù)f x 在x0取得極值的必要條件 不是充分條件 例如 函數(shù)f x x3 f 0 0但x 0不是f x x3的極值點(diǎn) 1 理解極值概念時(shí)需注意的幾點(diǎn) 1 函數(shù)的極值是一個(gè)局部性的概念 是僅對(duì)某一點(diǎn)的左右兩側(cè)附近的點(diǎn)而言的 2 極值點(diǎn)是函數(shù)定義域內(nèi)的點(diǎn) 而函數(shù)定義域的端點(diǎn)絕不是函數(shù)的極值點(diǎn) 3 若f x 在 a b 內(nèi)有極值 那么f x 在 a b 內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù) 即在定義域區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)沒有極值 4 極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系 一個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)可以有許多個(gè)極小值和極大值 在某一點(diǎn)的極小值可能大于另一點(diǎn)的極大值 如圖 1 5 若函數(shù)f x 在 a b 上有極值 它的極值點(diǎn)的分布是有規(guī)律的 如圖 2 所示 相鄰兩個(gè)極大值點(diǎn)之間必有一個(gè)極小值點(diǎn) 同樣相鄰兩個(gè)極小值點(diǎn)之間必有一個(gè)極大值點(diǎn) 2 導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn) 3 正確理解 在閉區(qū)間 a b 上連續(xù)的函數(shù)f x 必有最值 此性質(zhì)包括兩個(gè)條件 4 正確區(qū)分極值和最值 1 函數(shù)的最值是比較整個(gè)定義區(qū)間的函數(shù)值得出的 函數(shù)的最大值和最小值可以在極值點(diǎn) 不可導(dǎo)點(diǎn) 區(qū)間的端點(diǎn)取得 函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近的函數(shù)值得出的 最值具有絕對(duì)性 極值具有相對(duì)性 2 函數(shù)的最值是一個(gè)整體性概念 最大值必須是整個(gè)區(qū)間上所有函數(shù)值中的最大的值 最小值是所有函數(shù)值中的最小的值 極值只能在區(qū)間內(nèi)取得 但最值可以在端點(diǎn)處取得 極值有可能成為最值 5 若連續(xù)函數(shù)在區(qū)間 a b 內(nèi)只有一個(gè)極值 那么極大值就是最大值 極小值就是最小值 1 已知函數(shù)y f x 及其定義域內(nèi)一點(diǎn)x 對(duì)于包含x0在內(nèi)的開區(qū)間內(nèi)的所有點(diǎn)x 如果都有 則稱函數(shù)f x 在點(diǎn)x0處取得 并把x0稱為函數(shù)f x 的一個(gè) 如果都有 則稱函數(shù)f x 在點(diǎn)x0處取得 并把x0稱為函數(shù)f x 的一個(gè) 極大值與極小值統(tǒng)稱為 極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為 f x f x0 極大值 極大值點(diǎn) f x f x0 極小值 極小值點(diǎn) 極值 極值點(diǎn) 2 假設(shè)函數(shù)y f x 在閉區(qū)間 a b 上的圖象是一條 該函數(shù)在 a b 上一定能夠取得與 該函數(shù)在 a b 內(nèi)是 該函數(shù)的最值必在取得 3 當(dāng)函數(shù)f x 在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí) 判斷f x0 是否存在極大 小 值的方法是 1 如果在x0附近的左側(cè) 右側(cè) 那么f x0 是極值 連續(xù)不斷的曲線 最大值 最小值 可導(dǎo)的 極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn) f x 0 f x 0 大 2 如果在x0附近的左側(cè) 右側(cè) 那么f x0 是極值 3 如果f x 在點(diǎn)x0的左右兩側(cè)符號(hào)不變 則f x0 函數(shù)f x 的極值 f x 0 f x 0 小 不是 例1 求函數(shù)y 3x3 x 1的極值 分析 首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo) 求得y 然后求方程y 0的根 再檢查y 在方程根左右的值的符號(hào) 如果左正右負(fù) 那么y在這個(gè)根處取得極大值 如果左負(fù)右正 那么y在這個(gè)根處取得極小值 點(diǎn)評(píng) 熟記極值的定義是做好本題的關(guān)鍵 要利用求函數(shù)極值的一般步驟求解 函數(shù)y x3 3x2 9x 2 x 2 有 a 極大值為5 極小值為 27b 極大值為5 極小值為 11c 極大值為5 無極小值d 極大值為 27 無極小值 答案 c 解析 f x 3x2 6x 9 3 x 1 x 3 令f x 0得x1 1 x2 3 舍去 當(dāng) 2 x 1時(shí) f x 0當(dāng) 1 x 2時(shí) f x 0 當(dāng)x 1時(shí)f x 有極大值 f x 極大值 f 1 5 無極小值 故應(yīng)選c 例2 求函數(shù)f x x3 2x2 1在區(qū)間 1 2 上的最大值與最小值 分析 首先求f x 在 1 2 內(nèi)的極值 然后將f x 的各極值與f 1 f 2 比較 其中最大的一個(gè)是最大值 最小的一個(gè)是最小值 解析 f x 3x2 4x 故f x 最大值 1 f x 最小值 2 點(diǎn)評(píng) 利用求最值的步驟求解 函數(shù)最大值及最小值點(diǎn)必在下面各種點(diǎn)之中 導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)或區(qū)間的端點(diǎn) 函數(shù)在區(qū)間 a b 上連續(xù)是f x 在 a b 上存在最大值的充分而非必要條件 求函數(shù)f x x4 8x2 2在 1 3 上的最大值與最小值 解析 f x 4x3 16x 4x x 2 x 2 令f x 0 解得x1 2 x2 0 x3 2 其中x2 0 x3 2在 1 3 內(nèi) 計(jì)算得f 0 2 f 2 14 f 1 5 f 3 11 故f x 在 1 3 上的最大值是11 最小值是 14 例3 已知f x ax3 bx2 cx a 0 在x 1時(shí)取得極值 且f 1 1 1 試求常數(shù)a b c的值 2 試判斷x 1時(shí)函數(shù)取得極小值還是極大值 并說明理由 解析 1 由f 1 f 1 0 得3a 2b c 0 3a 2b c 0 又f 1 1 a b c 1 點(diǎn)評(píng) 若函數(shù)f x 在x0處取得極值 則一定有f x0 0 因此我們可根據(jù)極值得到一個(gè)方程 來解決參數(shù) 而x10 x 1 再代入f x1 或f x2 得a 2 a 2 b 0 例4 已知函數(shù)f x ax4lnx bx4 c x 0 在x 1處取得極值 3 c 其中a b c為常數(shù) 1 試確定a b的值 2 若對(duì)任意x 0 不等式f x 2c2恒成立 求c的取值范圍 點(diǎn)評(píng) 恒成立轉(zhuǎn)化為最值 即用導(dǎo)數(shù)求最值 函數(shù)的極值 最值常與單調(diào)性 不等式結(jié)合出解答題 是歷年考試的重點(diǎn) 一般分為二至三問 要注意它們之間的內(nèi)在聯(lián)系 另外解此類問題要注意極值 最值的注意事項(xiàng) 例5 已知f x x3 3ax2 bx a2在x 1時(shí)有極值0 求常數(shù)a b的值 誤解 因?yàn)閒 x 在x 1時(shí)有極值0 且f x 3x2 6ax b 辨析 根據(jù)極值定義 函數(shù)先減后增為極小值 函數(shù)先增后減為極大值 此題未驗(yàn)證x 1時(shí)函數(shù)兩側(cè)的單調(diào)性 故求錯(cuò) 正解 在上述解法之后繼續(xù) 當(dāng)a 1 b 3時(shí) f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 所以f x 在r上為增函數(shù) 無極值 故舍去 當(dāng)a 2 b 9時(shí) f x 3x2 12x 9 3 x 1 x 3 當(dāng)x 3 1 時(shí) f x 為減函數(shù) 當(dāng)x 1 時(shí) f x 為增函數(shù) 所以f x 在x 1時(shí)取得極小值 因此a 2 b 9 一 選擇題1 若函數(shù)y f x 是定義在r上的可導(dǎo)函數(shù) 則f x 0是x0為函數(shù)y f x 的極值點(diǎn)的 a 充分不必要條件b 必要不充分條件c 充要條件d 既不充分也不必要條件 答案 b 解析 如y x3 y 3x2 y x 0 0 但x 0不是函數(shù)y x3的極值點(diǎn) 答案 a 3 函數(shù)y x3 1的極大值是 a 1b 0c 2d 不存在 答案 d 解析 y 3x2 0在r上恒成立 函數(shù)y x3 1在r上是單調(diào)增函數(shù) 函數(shù)y x3 1無極值 4 y f x 2x3 3x2 a的極大值是6 那么a等于 a 6b 0c 5d 1 答案 a 解析 f x 6x2 6x 令f x 0 得