等差數(shù)列和.ppt

等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用 復(fù)習(xí)回顧 1 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 已知首項(xiàng)a1和公差d 則有 an a1 n 1 d已知第m項(xiàng)am和公差d 則有 an am n m d d an am n m 2 等差數(shù)列的性質(zhì) 在等差數(shù)列 an 中 如果m n p q m n p q N 那么 an am ap aq 例 如圖為一堆八層鋼管 起每一層的數(shù)目分別為 4 5 6 7 8 9 10 11 求這堆鋼管的數(shù)目中總和 解 方法 1 由累加法可得 sn 4 5 6 7 8 9 10 11 60 方法 2 4 11 5 10 6 9 7 8 15滿足等差數(shù)列的性質(zhì)sn 4 15 8 2 4 11 60 問題2 1 2 3 100 這個(gè)問題 德國(guó)著名數(shù)學(xué)家高斯 1777年 1855年 10歲時(shí)曾很快求出它的結(jié)果 你知道應(yīng)如何算嗎 這個(gè)問題 可看成是求等差數(shù)列1 2 3 n 的前100項(xiàng)的和 100個(gè)101 設(shè)等差數(shù)列a1 a2 a3 它的前n項(xiàng)和是Sn a1 a2 an 1 an 1 若把次序顛倒是Sn an an 1 a2 a1 2 由等差數(shù)列的性質(zhì)a1 an a2 an 1 a3 an 2 由 1 2 得2sn a1 an a1 an a1 an 即Sn n a1 an 2 因?yàn)閍n a1 n 1 d所以Sn na1 n n 1 d 2 下面將對(duì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行推導(dǎo) 即前n項(xiàng)的和與首項(xiàng)末項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)有關(guān) 若已知a1 n d 則如何表示Sn呢 由此得到等差數(shù)列的 an 前n項(xiàng)和的公式 即 等差數(shù)列前n項(xiàng)的和等于首末項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)乘積的一半 上面的公式又可以寫成 解題時(shí)需根據(jù)已知條件決定選用哪個(gè)公式 知三求二 2 1 3 5 2n 1 1 1 2 3 n 3 2 4 6 2n 上面習(xí)題的答案在以后會(huì)經(jīng)常用到 n n 1 2 n n 1 n2 例1如圖 一個(gè)堆放鉛筆的V形架的最下面一層放一支鉛筆 往上每一層都比它下面一層多一支 最上面一層放120支 這個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆 解 由題意可知 這個(gè)V形架上共放著120層鉛筆 且自下而上各層的鉛筆數(shù)成等差數(shù)列 記為 an 其中a1 1 a120 120 根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式 得 答 V形架上共放著7260支鉛筆 例2 例3等差數(shù)列 10 6 2 2 前多少項(xiàng)的和是54 解 設(shè)題中的等差數(shù)列為 an 前n項(xiàng)和是Sn 則a1 10 d 6 10 4 設(shè)Sn 54 根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式 得 n1 9 n2 3 舍去 等差數(shù)列 10 6 2 2 前9項(xiàng)的和是54 例4 已知等差數(shù)列an中a2 a5 a12 a15 36 求前16項(xiàng)的和 解 由等差數(shù)列的性質(zhì)可得 a1 a16 a2 a15 a5 a12 36 2 18sn 16 2 18 144答 前16項(xiàng)的和為144 分析 可以由等差數(shù)列性質(zhì) 直接代入前n項(xiàng)和公式 例5已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310 前20項(xiàng)的和是1220 求Sn 解 S10 310 S20 1220 1 在a b之間插入10個(gè)數(shù) 使它們同這兩個(gè)數(shù)成等差數(shù)列 求這10個(gè)數(shù)的和 變式 已知一個(gè)梯形梯子 兩底邊分別長(zhǎng)為a b 中間還有10蹬 且蹬之間距離相等 求這中間10級(jí)的長(zhǎng)度的之和 鞏固練習(xí) 2 1 求1000以內(nèi)能被11整除的所有自然數(shù)之和 3 求一切被7除余1的三位數(shù)之和 等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì) 知識(shí)點(diǎn)一 S11的函數(shù)性質(zhì)與通項(xiàng)式的求解 觀察上面的式子 我們可以看出它是關(guān)于n的二次函數(shù) 從而等差數(shù)列的前n項(xiàng)和可以寫成形如 反之 若數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn an2 bn n為自然數(shù) a b為常數(shù) 求an及公差d 探究 若Sn n2 3n 1呢 結(jié)論 P85 將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式寫成上述形式 有利于求其前n項(xiàng)和的極值 等差數(shù)列前n項(xiàng)和再認(rèn)識(shí) 例1 已知一個(gè)等差數(shù)列的a1 2 S5 20 求Sn和S12 例2 已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310 前20項(xiàng)的和是1220 求Sn 例3 一個(gè)首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列中 前3項(xiàng)的和等于前11項(xiàng)的和 問此數(shù)列前多少項(xiàng)的和最大 分析 S3 S11 這里可以找出a1與d的關(guān)系 則Sn是d的函數(shù) 若條件改為S3 S12呢 知識(shí)點(diǎn)二 S11的最大小值 若等差數(shù)列an的公差為d 前n項(xiàng)和為sn 那么數(shù)列sk s2k sk s3k s2k k為正整數(shù) 是等差數(shù)列 且公差為k2d 知識(shí)點(diǎn)三 S11的等差性質(zhì) 參考學(xué)案與測(cè)評(píng)P16 練習(xí)1 已知一個(gè)等差數(shù)列前4項(xiàng)的和為21 末4項(xiàng)的和為67 前n項(xiàng)的和為286 求項(xiàng)數(shù)n 2 已知兩個(gè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的比為4n 3 2n 5 求它們相應(yīng)第8項(xiàng)的比 3 等差數(shù)列 an 中 S12 354 前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比為33 27 求公差d 4 項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列 an 中 S奇 168 S偶 140 求中間項(xiàng)及項(xiàng)數(shù) n 16 C a1 1100 6 有30根水泥電線桿 要運(yùn)往1000m處放一根 以后每50m放一根 一輛汽車每次只能運(yùn)三根 如果用一輛汽車完成這項(xiàng)任務(wù) 這輛汽車的行程共有多少千米 M A B 解 如圖 假定30根電線桿均在點(diǎn)