《材料力學》課件11-1能量法.ppt

能量法Energymethod 一概述 Generalintroduction 能量法 固體力學中 把一個和功 能的概念有關的理論和方法統(tǒng)稱為能量法 同靜力學方法平行的一種方法 恒力功 二功 能 應變能或變形能 1功 力作用于物體 力在其作用方向上發(fā)生位移 則該力對物體做了功 變形功 在線彈性范圍內 廣義力 廣義位移 軸向拉伸時外力做功 扭轉時外力做功 彎曲時外力做功 統(tǒng)一表示為 2能 應變能或變形能 能是一種可對物體做功的本領 應變能密度 單位體積內積蓄的應變能 若微元各邊分別為 若整個體積內相同 根據(jù)能量守恒定律 貯存在物體中的應變能等于外力在物體變形過程中所做的功W 圖示在線彈性范圍內工作的一端固定 另一端自由的圓軸 在自由端截面上承受扭轉力偶矩M1 材料的切變模量G和軸的長度l以及直徑d均已知 試計算軸在加載過程中所積蓄的應變能 利用應變能密度 三種方法 利用外力功 利用內力功 三卡氏第一定理 為最后位移的函數(shù) 卡氏第一定理應變能對于構件上某一位移之變化率 就等于與該位移相應的荷載 由于改變了 外力功相應改變量為 圖示在線彈性范圍內工作的一端固定 另一端自由的圓軸 在自由端截面上承受扭轉力偶矩M1 材料的切變模量G和軸的長度l以及直徑d均已知 試計算軸兩端的相對扭轉角 四余功 余能及卡氏第二定理 與外力功之和等于矩形面積 與余功相應的能稱為余能 線彈性范圍內外力功等于余功 能等于余能 試計算圖示結構在荷載作用下的余能 結構中兩桿的長度均為 橫截面面積均為A材料在單軸拉伸時的應力 應變曲線如圖所示 解 由結點C的平衡方程 可得兩桿的軸力為 于是兩桿橫截面上的應力為 由于軸向拉伸桿內各點應變狀態(tài)均相同 因此 結構在荷載作用下的余能為 由非線性彈性材料的應力應變關系曲線可得 余能密度為 卡氏第二定理 表明余能為一系列荷載的函數(shù) 由于改變了 外力余功相應改變量為 余能定理桿件的余能對于桿件上某一荷載的變化率就等于與該荷載相應的位移 在線彈性范圍內 卡氏第二定理線彈性范圍內 桿件的應變能對于桿件上某一荷載的變化率 就等于與該荷載相應的位移 試計算圖示結構在荷載作用下C點的豎向位移 結構中兩桿的長度均為 橫截面面積均為A材料在單軸拉伸時的應力 應變曲線如圖所示 解 由結點C的平衡方程 可得兩桿的軸力為 于是兩桿橫截面上的應力為 由于軸向拉伸桿內各點應變狀態(tài)均相同 因此 結構在荷載作用下的余能為 由非線性彈性材料的應力應變關系曲線可得 余能密度為 試求簡支梁Fp處的撓度 已知梁的抗彎剛度為EI 本題也可用功能原理 實功原理 求解 但這種方法有它的局限性 即只能求解單個力作用時沿其方向的位移 外伸梁ABC的自由端作用有鉛直荷載FP 求 1 C端撓度 2 C端轉角 解 1 C端撓度支座反力分別為內力為AB段BC段總應變能為 由功能原理或卡氏第二定理可得 五能量法解超靜定 1 簡單超靜定問題及其解法 未知力個數(shù)等于獨立的平衡方程數(shù)目 則僅由平衡方程即可解出全部未知力 這類問題稱為靜定問題 相應的結構稱為靜定結構 未知力個數(shù)多于獨立的平衡方程數(shù)目 則僅由平衡方程無法確定全部未知力 這類問題稱為超靜定問題或靜不定問題 相應的結構稱為超靜定結構或靜不定結構 所有超靜定結構 都是在靜定結構上再加一個或幾個約束 這些約束對于特定的工程要求是必要的 但對于保證結構平衡卻是多余的 故稱為多余約束 未知力個數(shù)與平衡方程數(shù)之差 稱為超靜定次數(shù)或靜不定次數(shù) 求解超靜定問題 需要綜合考察結構的平衡 變形協(xié)調和物理三個方面 一鉸接結構如圖示 在水平剛性橫梁的B端作用有載荷F垂直桿1 2的抗拉壓剛度分別為E1A1 E2A2 若橫梁AB的自重不計 求兩桿中的內力 變形協(xié)調方程 試計算圖示結構在荷載作用下的余能 結構中兩斜桿的長度均為 橫截面面積均為A材料在單軸拉伸時的應力 應變曲線如圖所示 求各桿內力 解 由結點C的平衡方程 得兩斜桿軸力為 于是兩桿橫截面上的應力為 由于軸向拉伸桿內各點應變狀態(tài)均相同 因此 結構在荷載作用下的余能為 由非線性彈性材料的應力應變關系曲線可得 余能密度為 試計算圖示結構的支座反力 這種以力為基本未知量 把它的求解當作關鍵性問題的方法稱為力法 平面內 由k根桿組成的桿系 在結點A處用鉸鏈結在一起 受