《材料力學(xué)》課件11-1能量法.ppt

能量法Energymethod 一概述 Generalintroduction 能量法 固體力學(xué)中 把一個(gè)和功 能的概念有關(guān)的理論和方法統(tǒng)稱為能量法 同靜力學(xué)方法平行的一種方法 恒力功 二功 能 應(yīng)變能或變形能 1功 力作用于物體 力在其作用方向上發(fā)生位移 則該力對(duì)物體做了功 變形功 在線彈性范圍內(nèi) 廣義力 廣義位移 軸向拉伸時(shí)外力做功 扭轉(zhuǎn)時(shí)外力做功 彎曲時(shí)外力做功 統(tǒng)一表示為 2能 應(yīng)變能或變形能 能是一種可對(duì)物體做功的本領(lǐng) 應(yīng)變能密度 單位體積內(nèi)積蓄的應(yīng)變能 若微元各邊分別為 若整個(gè)體積內(nèi)相同 根據(jù)能量守恒定律 貯存在物體中的應(yīng)變能等于外力在物體變形過程中所做的功W 圖示在線彈性范圍內(nèi)工作的一端固定 另一端自由的圓軸 在自由端截面上承受扭轉(zhuǎn)力偶矩M1 材料的切變模量G和軸的長(zhǎng)度l以及直徑d均已知 試計(jì)算軸在加載過程中所積蓄的應(yīng)變能 利用應(yīng)變能密度 三種方法 利用外力功 利用內(nèi)力功 三卡氏第一定理 為最后位移的函數(shù) 卡氏第一定理應(yīng)變能對(duì)于構(gòu)件上某一位移之變化率 就等于與該位移相應(yīng)的荷載 由于改變了 外力功相應(yīng)改變量為 圖示在線彈性范圍內(nèi)工作的一端固定 另一端自由的圓軸 在自由端截面上承受扭轉(zhuǎn)力偶矩M1 材料的切變模量G和軸的長(zhǎng)度l以及直徑d均已知 試計(jì)算軸兩端的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角 四余功 余能及卡氏第二定理 與外力功之和等于矩形面積 與余功相應(yīng)的能稱為余能 線彈性范圍內(nèi)外力功等于余功 能等于余能 試計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)在荷載作用下的余能 結(jié)構(gòu)中兩桿的長(zhǎng)度均為 橫截面面積均為A材料在單軸拉伸時(shí)的應(yīng)力 應(yīng)變曲線如圖所示 解 由結(jié)點(diǎn)C的平衡方程 可得兩桿的軸力為 于是兩桿橫截面上的應(yīng)力為 由于軸向拉伸桿內(nèi)各點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)均相同 因此 結(jié)構(gòu)在荷載作用下的余能為 由非線性彈性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線可得 余能密度為 卡氏第二定理 表明余能為一系列荷載的函數(shù) 由于改變了 外力余功相應(yīng)改變量為 余能定理?xiàng)U件的余能對(duì)于桿件上某一荷載的變化率就等于與該荷載相應(yīng)的位移 在線彈性范圍內(nèi) 卡氏第二定理線彈性范圍內(nèi) 桿件的應(yīng)變能對(duì)于桿件上某一荷載的變化率 就等于與該荷載相應(yīng)的位移 試計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)在荷載作用下C點(diǎn)的豎向位移 結(jié)構(gòu)中兩桿的長(zhǎng)度均為 橫截面面積均為A材料在單軸拉伸時(shí)的應(yīng)力 應(yīng)變曲線如圖所示 解 由結(jié)點(diǎn)C的平衡方程 可得兩桿的軸力為 于是兩桿橫截面上的應(yīng)力為 由于軸向拉伸桿內(nèi)各點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)均相同 因此 結(jié)構(gòu)在荷載作用下的余能為 由非線性彈性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線可得 余能密度為 試求簡(jiǎn)支梁Fp處的撓度 已知梁的抗彎剛度為EI 本題也可用功能原理 實(shí)功原理 求解 但這種方法有它的局限性 即只能求解單個(gè)力作用時(shí)沿其方向的位移 外伸梁ABC的自由端作用有鉛直荷載FP 求 1 C端撓度 2 C端轉(zhuǎn)角 解 1 C端撓度支座反力分別為內(nèi)力為AB段BC段總應(yīng)變能為 由功能原理或卡氏第二定理可得 五能量法解超靜定 1 簡(jiǎn)單超靜定問題及其解法 未知力個(gè)數(shù)等于獨(dú)立的平衡方程數(shù)目 則僅由平衡方程即可解出全部未知力 這類問題稱為靜定問題 相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為靜定結(jié)構(gòu) 未知力個(gè)數(shù)多于獨(dú)立的平衡方程數(shù)目 則僅由平衡方程無法確定全部未知力 這類問題稱為超靜定問題或靜不定問題 相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為超靜定結(jié)構(gòu)或靜不定結(jié)構(gòu) 所有超靜定結(jié)構(gòu) 都是在靜定結(jié)構(gòu)上再加一個(gè)或幾個(gè)約束 這些約束對(duì)于特定的工程要求是必要的 但對(duì)于保證結(jié)構(gòu)平衡卻是多余的 故稱為多余約束 未知力個(gè)數(shù)與平衡方程數(shù)之差 稱為超靜定次數(shù)或靜不定次數(shù) 求解超靜定問題 需要綜合考察結(jié)構(gòu)的平衡 變形協(xié)調(diào)和物理三個(gè)方面 一鉸接結(jié)構(gòu)如圖示 在水平剛性橫梁的B端作用有載荷F垂直桿1 2的抗拉壓剛度分別為E1A1 E2A2 若橫梁AB的自重不計(jì) 求兩桿中的內(nèi)力 變形協(xié)調(diào)方程 試計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)在荷載作用下的余能 結(jié)構(gòu)中兩斜桿的長(zhǎng)度均為 橫截面面積均為A材料在單軸拉伸時(shí)的應(yīng)力 應(yīng)變曲線如圖所示 求各桿內(nèi)力 解 由結(jié)點(diǎn)C的平衡方程 得兩斜桿軸力為 于是兩桿橫截面上的應(yīng)力為 由于軸向拉伸桿內(nèi)各點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)均相同 因此 結(jié)構(gòu)在荷載作用下的余能為 由非線性彈性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線可得 余能密度為 試計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)的支座反力 這種以力為基本未知量 把它的求解當(dāng)作關(guān)鍵性問題的方法稱為力法 平面內(nèi) 由k根桿組成的桿系 在結(jié)點(diǎn)A處用鉸鏈結(jié)在一起 受