2019_2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理1.2排列與組合1.2.2組合第1課時(shí)組合與組合數(shù)公式講義新人教A版.docx

第1課時(shí)組合與組合數(shù)公式知識(shí)點(diǎn)組合的定義從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素合成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合知識(shí)點(diǎn)組合與組合數(shù)公式組合的定義包含兩個(gè)基本內(nèi)容：一是“取出元素”；二是“合成一組”，表示與元素的順序無(wú)關(guān)，排列與組合的相同點(diǎn)是從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素，不同點(diǎn)是組合是“不管元素的順序合成一組”，而排列是要求元素按照一定的順序排成一列因此區(qū)分某一問(wèn)題是組合還是排列，關(guān)鍵是看取出的元素有無(wú)順序組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)，性質(zhì)1反映了組合數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，在m時(shí)，通常不直接計(jì)算C而改為C，對(duì)于性質(zhì)2，CCC要會(huì)正用、逆用、變形用1判一判(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)從a，b，c三個(gè)不同的元素中任取兩個(gè)元素的一個(gè)組合是C.()(2)從1,3,5,7中任取兩個(gè)數(shù)相乘可得C個(gè)積()(3)1,2,3與3,2,1是同一個(gè)組合()(4)C54360.()答案(1)(2)(3)(4)2做一做(1)從6名學(xué)生中選出3名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的不同選法種數(shù)是_(2)C_.(3)CC_.答案(1)20(2)190(3)161700解析(1)由組合數(shù)公式知C20.(2)CC190.(3)CCC161700.探究組合的有關(guān)概念例1給出下列問(wèn)題：(1)從a，b，c，d四名學(xué)生中選2名學(xué)生完成一件工作，有多少種不同的選法？(2)從a，b，c，d四名學(xué)生中選2名學(xué)生完成兩件不同的工作，有多少種不同的選法？(3)a，b，c，d四支足球隊(duì)之間進(jìn)行單循環(huán)比賽，共需賽多少場(chǎng)？(4)a，b，c，d四支足球隊(duì)爭(zhēng)奪冠亞軍，有多少種不同的結(jié)果？(5)某人射擊8槍?zhuān)?槍?zhuān)颐械?槍均為2槍連中，不同的結(jié)果有多少種？(6)某人射擊8槍?zhuān)?槍?zhuān)颐械?槍中恰有3槍連中，不同的結(jié)果有多少種？在上述問(wèn)題中，哪些是組合問(wèn)題？哪些是排列問(wèn)題？解(1)2名學(xué)生完成的是同一件工作，沒(méi)有順序，是組合問(wèn)題(2)2名學(xué)生完成兩件不同的工作，有順序，是排列問(wèn)題(3)單循環(huán)比賽要求每?jī)芍蜿?duì)之間只打一場(chǎng)比賽，沒(méi)有順序，是組合問(wèn)題(4)冠亞軍是有順序的，是排列問(wèn)題(5)命中的4槍均為2槍連中，為相同的元素，沒(méi)有順序，是組合問(wèn)題(6)命中的4槍中恰有3槍連中，即連中3槍和單中1槍?zhuān)许樞颍桥帕袉?wèn)題拓展提升判斷是否為組合問(wèn)題，關(guān)鍵是判斷問(wèn)題是否與順序有關(guān)，可以結(jié)合條件理解，也可以選擇一個(gè)結(jié)果，交換這個(gè)結(jié)果中兩個(gè)元素先后順序，看是否對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響，若無(wú)新變化，則是組合問(wèn)題總之，與順序有關(guān)是排列問(wèn)題，若與順序無(wú)關(guān)，則是組合問(wèn)題判斷下列問(wèn)題是排列問(wèn)題，還是組合問(wèn)題(1)從集合A1,1,10,8,6,4中任取兩個(gè)數(shù)相加，得到的和共有多少個(gè)？(2)從集合A1,1,10,8,6,4中任取兩個(gè)數(shù)相除，得到的商共有多少個(gè)？(3)從a，b，c，d這四名同學(xué)中任取兩名同學(xué)去參加某一活動(dòng)，共有多少種不同的選法？(4)四個(gè)人互發(fā)一個(gè)電子郵件，共寫(xiě)了多少個(gè)電子郵件？解(1)從集合A中取出兩個(gè)數(shù)后，改變兩個(gè)數(shù)的順序，其和不變因此此問(wèn)題，只與取出的元素有關(guān)，與元素的順序無(wú)關(guān)，故是組合問(wèn)題(2)從集合A中取出兩個(gè)數(shù)相除，若改變其分子、分母的位置，其結(jié)果就不同，因此其商的值與元素的順序有關(guān)，是排列問(wèn)題(3)由于從4名同學(xué)中取出的兩名同學(xué)參加的同一項(xiàng)活動(dòng)，沒(méi)有順序，因此是組合問(wèn)題(4)四人互發(fā)電子郵件，由于發(fā)信人與收信人是有區(qū)別的，與順序有關(guān)，是排列問(wèn)題探究組合數(shù)及組合數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用例2(1)計(jì)算：CCA；(2)已知，求C；(3)求CC的值；(4)證明：mCnC.解(1)原式CA7652102100.(2)原方程可化為，即，1，即m223m420，解得m2或21(不符合題意，舍去)CC28.(3)9.5n10.5，nN*，n10，CCCC466.(4)證明：mCmnnC.拓展提升(1)像排列數(shù)公式一樣，公式C一般用于計(jì)算；而公式C及C一般用于證明、解方程(不等式)等(2)在解決與組合數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要注意隱含條件“mn且m，nN*”的運(yùn)用如本例(3)(3)要注意公式A mnCA的逆向運(yùn)用，如本例(1)中可利用“CAA”簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程(4)本例(4)所推導(dǎo)的結(jié)論“mCnC”以及它的變形公式是非常重要的公式，應(yīng)熟練掌握(1)求值：CC；求證：CC.(2)計(jì)算：CCC；CCCCCC；CC.解(1)解得4n5.又因?yàn)閚N*，所以n4或n5.當(dāng)n4時(shí)，原式CC5，當(dāng)n5時(shí)，原式CC16.證明：因?yàn)镃，C，所以CC.(2)原式C原式2(CCC)2(CC)232.原式CC(n1)nn2n.探究簡(jiǎn)單的組合問(wèn)題例3現(xiàn)有10名教師，其中男教師6名，女教師4名(1)從中選2名去參加會(huì)議，有多少種不同的選法？(2)從中選出2名男教師或2名女教師去外地學(xué)習(xí)，有多少種不同的選法？(3)從中選出男、女教師各2名去參加會(huì)議，有多少種不同的選法？解(1)從10名教師中選2名去參加會(huì)議的選法種數(shù)，就是從10個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)，即有C45種不同的選法(2)可把問(wèn)題分兩類(lèi)：第1類(lèi)，選出2名男教師，有C種方法；第2類(lèi)，選出2名女教師，有C種方法，即共有CC21種不同的選法(3)從6名男教師中選2名的選法有C種，從4名女教師中選2名的選法有C種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有CC90種不同的選法拓展提升解簡(jiǎn)單的組合應(yīng)用題時(shí)，首先要判斷它是不是組合問(wèn)題，組合問(wèn)題與排列問(wèn)題的根本區(qū)別在于：排列問(wèn)題與取出的元素之間的順序有關(guān)，而組合問(wèn)題與取出元素的順序無(wú)關(guān)其次要注意兩個(gè)基本原理的運(yùn)用，即分類(lèi)與分步的靈活運(yùn)用，在分類(lèi)與分步時(shí)，一定要注意有無(wú)重復(fù)和遺漏在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，某學(xué)校有12人通過(guò)了初試，學(xué)校要從中選出5人參加市級(jí)培訓(xùn)在下列條件下，有多少種不同的選法？(1)任意選5人；(2)甲、乙、丙三人必須參加；(3)甲、乙、丙三人不能參加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加解(1)從中任取5人是組合問(wèn)題，共有C792種不同的選法(2)甲、乙、丙三人必須參加，則只需要從另外9人中選2人，是組合問(wèn)題，共有C36種不同的選法(3)甲、乙、丙三人不能參加，則只需從另外的9人中選5人，共有C126種不同的選法(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加，可分兩步：先從甲、乙、丙中選1人，有C3種選法；再?gòu)牧硗?人中選4人，有C種選法共有CC378種不同的選法1下列問(wèn)題不是組合問(wèn)題的是 ()A10個(gè)朋友聚會(huì)，每?jī)扇宋帐忠淮?，一共握手多少次？B平面上有2015個(gè)不同的點(diǎn)，它們中任意三點(diǎn)不共線，連接任意兩點(diǎn)可以構(gòu)成多少條線段？C集合a1，a2，a3，an的含有三個(gè)元素的子集有多少個(gè)？D從高三(19)班的54名學(xué)生中選出2名學(xué)生分別參加校慶晚會(huì)的獨(dú)唱、獨(dú)舞節(jié)目，有多少種選法？答案D解析組合問(wèn)題與次序無(wú)關(guān)，排列問(wèn)題與次序有關(guān)，D項(xiàng)中，選出的2名學(xué)生，如甲、乙，其中“甲參加獨(dú)唱、乙參加獨(dú)舞”與“乙參加獨(dú)唱、甲參加獨(dú)舞”是兩個(gè)不同的選法，因此是排列問(wèn)題，不是組合問(wèn)題，選D.2若CCC，則n等于()A12 B13 C14 D15答案C解析CCCC，n178，n14，故選C.3把三張游園票分給10個(gè)人中的3人，分法有 ()AA種 BC種CCA種 D30種答案B解析三張票沒(méi)區(qū)別，從10人中選3人即可，即C，故選B.4若CC，則n的集合是_答案6,7,8,9解析CC，nN*，n6,7,8,9.n的集合為6,7,8,95在6名內(nèi)科醫(yī)生和4名外科醫(yī)生中，現(xiàn)要組成5人醫(yī)療小組送醫(yī)下鄉(xiāng)，依下列條件各有多少種