數(shù)值分析典型例題.doc

第一章典型例題例3 ln2=0.69314718，精確到103的近似值是多少？解 精確到1030.001，即絕對(duì)誤差限是e0.0005, 故至少要保留小數(shù)點(diǎn)后三位才可以。ln20.693第二章典型例題例1 用順序消去法解線性方程組解 順序消元 于是有同解方程組回代得解x3=1, x2=1,x1=1,原線性方程組的解為X(1,1,1)T例2 取初始向量X(0)=(0,0,0)T,用雅可比迭代法求解線性方程組解 建立迭代格式(k=1,2,3,)第1次迭代,k=0X(0)0，得到X(1)(1,3,5)T第2次迭代，k=1 X(2)(5,3,3)T第3次迭代，k=2 X(3)(1,1,1)T第4次迭代，k=3 X(4)(1,1,1)T例4 證明例2的線性方程組，雅可比迭代法收斂，而高斯賽德爾迭代法發(fā)散。證明 例2中線性方程組的系數(shù)矩陣為 A于是 D D1D 雅可比迭代矩陣為 B0得到矩陣B0的特征根，根據(jù)迭代基本定理4，雅可比迭代法收斂。高斯賽德爾迭代矩陣為G 解得特征根為l1=0，l2,3=2。由迭代基本定理4知，高斯賽德爾迭代發(fā)散。例5 填空選擇題： 1. 用高斯列主元消去法解線性方程組作第1次消元后的第2，3個(gè)方程分別為 。答案：解答 選a21=2為主元，作行互換，第1個(gè)方程變?yōu)椋?x1+2x2+3x3=3，消元得到是應(yīng)填寫的內(nèi)容。3.用高斯賽德爾迭代法解線性方程組的迭代格式中 (k=0,1,2,)答案：解答：高斯賽德爾迭代法就是充分利用已經(jīng)得到的結(jié)果，求x2的值時(shí)應(yīng)該用上x1的新值。第三章典型例題例1 已知函數(shù)y=f(x)的觀察數(shù)據(jù)為xk2045yk5131試構(gòu)造拉格朗日插值多項(xiàng)式Pn (x)，并計(jì)算f(1)的近似值。只給4對(duì)數(shù)據(jù)，求得的多項(xiàng)式不超過3次解 先構(gòu)造基函數(shù) 所求三次多項(xiàng)式為P3(x)= f(1)P3(1)例3 設(shè)是n+1個(gè)互異的插值節(jié)點(diǎn)，是拉格朗日插值基函數(shù)，證明：(1) (2) 證明 (1) Pn(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+ynln(x)= 當(dāng)f(x)1時(shí)，1由于，故有(2) 對(duì)于f(x)=xm,m=0,1,2,n，對(duì)固定xm(0mn), 作拉格朗日插值多項(xiàng)式，有當(dāng)nm1時(shí)，f(n+1) (x)=0，Rn(x)=0，所以 注意：對(duì)于次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式,利用上結(jié)果，有 = =上式正是Qn(x)的拉格朗日插值多項(xiàng)式?？梢?，Qn(x)的拉格朗日插值多項(xiàng)式就是它自身，即次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式在n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)處的拉格朗日插值多項(xiàng)式就是它自身。例5 已知數(shù)據(jù)如表的第2，3列，試用直線擬合這組數(shù)據(jù)。 解 計(jì)算列入表中。n=5。a0,a1滿足的法方程組是kxkykxkyk11414224.5493369184481632558.52542.5S153155105.5 解得a0=2.45, a1=1.25。所求擬合直線方程為 y=2.45+1.25x例6選擇填空題1. 設(shè)y=f(x), 只要x0,x1,x2是互不相同的3個(gè)值，那么滿足P(xk)=yk(k=0,1,2)的f(x)的插值多項(xiàng)式P(x)是 (就唯一性回答問題)答案：唯一的3. 拉格朗日插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是( ),牛頓插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是( ) (A) (B) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn) (C) (D) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)答案：(A)，(D)。見教材有關(guān)公式。 第四章典型例題例1 試確定求積公式的代數(shù)精度。依定義，對(duì)xk(k=0,1,2,3,)，找公式精確成立的k數(shù)值解 當(dāng)f(x)取1,x,x2,時(shí)，計(jì)算求積公式何時(shí)精確成立。(1) 取f(x)=1,有左邊, 右邊(2) 取f(x)=x,有 左邊, 右邊(3) 取f(x)=x2,有 左邊=, 右邊=(4) 取f(x)=x3,有 左邊=, 右邊=(5) 取f(x)=x4,有 左邊=, 右邊=當(dāng)k3求積公式精確成立，而x4公式不成立，可見該求積公式具有3次代數(shù)。例5 試確定求積公式中的參數(shù)a，并證明該求積公式具有三次代數(shù)精度。解 公式中只有一個(gè)待定參數(shù)a。當(dāng)f(x)=1,x時(shí)，有,即h=h ,不能確定a，再令f(x)=x2, 代入求積公式，得到,即 得. 求積公式為將f(x)=x3代入上求積公式，有 可見，該求積公式至少具有三次代數(shù)精度。再將f(x)=x4代入上公式中，有 所以該求積公式具有三次代數(shù)精度。例6 選擇填空題1. 牛頓科茨求積公式與高斯型求積公式的關(guān)鍵不同點(diǎn)是 。解答：牛頓科茨求積公式的節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)確定后，再估計(jì)其精度；高斯型求積公式是由精度確定其節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)。第五章典型例題例1 證明方程1xsinx0在區(qū)間0,1內(nèi)有一個(gè)根，使用二分法求誤差不超過0.5104的根要迭代多少次？證明 令f(x)1xsinx f(0)=10，f(1)=sin10(x0，1),故f(x)0在區(qū)間0，1內(nèi)有唯一實(shí)根。給定誤差限e0.5104，有只要取n14。例2 用迭代法求方程x54x20的最小正根。計(jì)算過程保留4位小數(shù)。分析 容易判斷1，2是方程的有根區(qū)間。若建立迭代格式，此時(shí)迭代發(fā)散。建立迭代格式，此時(shí)迭代收斂。解 建立迭代格式 (可任取1，2之間的值)1.431 0 1.505 1 1.516 5 1.518 2 1.5185 取1.5185例3 試建立計(jì)算的牛頓迭代格式，并求的近似值，要求迭代誤差不超過105分析首先建立迭代格式。確定取幾位小數(shù),求到兩個(gè)近似解之差的絕對(duì)值不超過105。解 令，求x的值。牛頓迭代格式為迭代誤差不超過105，計(jì)算結(jié)果應(yīng)保留小數(shù)點(diǎn)后6位。當(dāng)x=7或8時(shí)，x3=343或512，,取x0=8,有 7.478 0787.439 956 7.4397607.439760于是，取7.439760例4 用弦截法求方程x3x210，在x=1.5附近的根。計(jì)算中保留5位小數(shù)點(diǎn)。分析 先確定有根區(qū)間。再代公式。解 f(x)= x3x21，f(1)=1，f(2)=3，有根區(qū)間取1,2取x1=1, 迭代公式為(n=1,2,) 1.37662 1.48881 1.46348 1.46553取1.46553，f(1.46553)0.000145例4 選擇填空題1. 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，若滿