高考數(shù)學一輪復習 第二章 函數(shù) 第三節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性課件 文.ppt

第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性 總綱目錄 教材研讀 1 函數(shù)的奇偶性 考點突破 2 奇 偶 函數(shù)的性質(zhì) 3 周期性 考點二函數(shù)周期性的判斷與應用 考點一函數(shù)奇偶性 考點三函數(shù)性質(zhì)的綜合問題 1 函數(shù)的奇偶性 教材研讀 2 奇 偶 函數(shù)的性質(zhì) 1 奇 偶 函數(shù)的定義域關于原點對稱 2 奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性 相同 偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性 相反 3 在公共定義域內(nèi) i 兩個奇函數(shù)的和是 奇函數(shù) 兩個奇函數(shù)的積是 偶函數(shù) ii 兩個偶函數(shù)的和 積都是 偶函數(shù) iii 一個奇函數(shù) 一個偶函數(shù)的積是 奇函數(shù) 4 若函數(shù)f x 是奇函數(shù)且在x 0處有定義 則f 0 0 與函數(shù)奇偶性有關的結論 1 如果函數(shù)f x 是偶函數(shù) 那么f x f x 2 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型 即f x 0 x d 其中定義域d是關于原點對稱的非空數(shù)集 3 偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的最大 小 值 取最值時的自變量互為相反數(shù) 奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù) 取最值時的自變量也互為相反數(shù) 3 周期性 1 周期函數(shù) 對于函數(shù)y f x 如果存在一個非零常數(shù)t 使得當x取定義域內(nèi)的任何值時 都有f x t f x 那么就稱函數(shù)y f x 為周期函數(shù) 稱t為這個函數(shù)的周期 2 最小正周期 如果在周期函數(shù)f x 的所有周期中存在一個最小的正數(shù) 那么這個最小正數(shù)就叫做f x 的最小正周期 有關周期函數(shù)的幾個常用結論周期函數(shù)y f x 滿足 1 若f x a f x a 則函數(shù)的周期為2 a 2 若f x a f x 則函數(shù)的周期為2 a 3 若f x a 則函數(shù)的周期為2 a 4 若f x a 則函數(shù)的周期為2 a 5 若函數(shù)f x 的圖象關于直線x a與x b對稱 則函數(shù)f x 的周期為2 b a 6 若函數(shù)f x 的圖象既關于點 a 0 對稱 又關于點 b 0 對稱 則函數(shù)f x 的周期是2 b a 7 若函數(shù)f x 的圖象既關于直線x a對稱 又關于點 b 0 對稱 則函數(shù)f x 的周期是4 b a 8 若函數(shù)f x 是偶函數(shù) 其圖象關于直線x a對稱 則其周期為2 a 9 若函數(shù)f x 是奇函數(shù) 其圖象關于直線x a對稱 則其周期為4 a 1 2018北京東城期末 下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是 a y x 2 2b y lnx c y x cosxd y e x 答案d偶函數(shù)需具備 定義域關于原點對稱 滿足f x f x 只有d項符合 故選d d 2 2017北京朝陽期中 下列四個函數(shù)中 在其定義域上既是奇函數(shù)又是單調(diào)遞增函數(shù)的是 a y x 1b y tanxc y x3d y 答案ca y x 1是非奇非偶函數(shù) 不符合題意 b y tanx是奇函數(shù) 但在定義域上不是單調(diào)函數(shù) 不符合題意 c y x3是奇函數(shù) 在定義域上為增函數(shù) 符合題意 d y 是奇函數(shù) 在定義域上不是單調(diào)函數(shù) 不符合題意 故選c c 3 2016北京東城二模 已知函數(shù)g x f x x是偶函數(shù) 且f 3 4 則f 3 a 4b 2c 0d 4 答案b g x f x x是偶函數(shù) g x g x b g 3 f 3 3 4 3 1 g 3 f 3 3 1 f 3 2 4 2018北京海淀期中 已知函數(shù)f x 是定義在r上的周期為2的奇函數(shù) 當0 x 1時 f x 則f f 0 答案 2 解析 函數(shù)f x 是定義在r上的奇函數(shù) f 0 0 f f 函數(shù)f x 的周期為2 f f 2 f f 0 2 2 5 若函數(shù)f x ax2 bx 3a b是偶函數(shù) 定義域為 a 1 2a 則a b 答案 0 解析因為偶函數(shù)的定義域關于原點對稱 所以a 1 2a 解得a 由函數(shù)f x x2 bx b 1為偶函數(shù) 結合偶函數(shù)圖象的特點 圖略 易得b 0 6 2015北京東城一模 已知函數(shù)f x 是定義在r上的奇函數(shù) 當x0時 f x 的解析式為 不等式f x 0的解集為 答案f x x2 4 2 0 2 解析當x 0時 x 0 f x x2 4 又f x f x f x x2 4 當x0時 f x x2 42 x 2 不等式f x 0的解集為 2 0 2 考點一函數(shù)奇偶性命題角度一函數(shù)奇偶性的判斷 考點突破 典例1 1 2017北京西城期末 下列函數(shù)中 定義域為r的奇函數(shù)是 a y x2 1b y tanxc y 2xd y x sinx 2 2017北京石景山一模 下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是 a f x 2x b f x xsinxc f x excosxd f x x2 sinx 答案 1 d 2 b 解析 1 a y x2 1是偶函數(shù) 不滿足條件 b y tanx是奇函數(shù) 但函數(shù)的定義域不是r 不滿足條件 c y 2x為增函數(shù) 為非奇非偶函數(shù) 不滿足條件 d y x sinx是r上的奇函數(shù) 滿足條件 故選d 2 四個函數(shù)的定義域均為r 對于a 易判斷是奇函數(shù) 對于b f x x sin x x sinx f x 是偶函數(shù) 對于c f x e x cos x e x cosx 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) 對于d f x x 2 sin x x2 sinx 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) 方法技巧判斷函數(shù)奇偶性的常用方法 1 定義法 首先判斷定義域是否關于原點對稱 然后判斷f x 與f x 的關系 2 圖象法 若圖象關于原點對稱 則函數(shù)為奇函數(shù) 若圖象關于y軸對稱 則函數(shù)為偶函數(shù) 3 性質(zhì)法 奇 奇 是奇 奇 奇 奇 奇 是偶 偶 偶 是偶 偶 偶 偶 偶 是偶 奇 偶 是奇 奇 偶 是奇 命題角度二函數(shù)奇偶性的應用典例2已知函數(shù)f x 在區(qū)間 0 上是增函數(shù) 函數(shù)g x f x 若g lgx g 1 則x的取值范圍是 a 0 10 b 10 c d 10 d 答案d 解析 g x f x g x f x f x g x g x 為偶函數(shù) 又 f x 在 0 上為增函數(shù) g x 在 0 上為減函數(shù) 在 0 上為增函數(shù) 當 x 越大時 g x 越大 若g lgx g 1 則 lgx 1 lgx 1或lgx10或0 x 故選d 1 1 2018北京海淀期中 下列函數(shù)中 既是偶函數(shù)又在 0 上單調(diào)遞增的是 a f x x2b f x 3 xc f x ln x d f x x sinx 1 1 2018北京海淀期中 下列函數(shù)中 既是偶函數(shù)又在 0 上單調(diào)遞增的是 a f x x2b f x 3 xc f x ln x d f x x sinx 答案c符合偶函數(shù)的只有a c 函數(shù)f x x2在 0 上單調(diào)遞減 故選c c 1 2 2015北京海淀一模 已知函數(shù)f x 是奇函數(shù) 且當x 0時 f x ex 則f 1 a b c ed e 答案d 函數(shù)f x 是奇函數(shù) f 1 f 1 e d 1 3函數(shù)f x 1 是r上的奇函數(shù) x1 x2 r x1 x2 f x1 f x2 0 則f 1 x 0的解集是 a 0 b 0 c 2 d 2 答案c由于函數(shù)f x 1 是r上的奇函數(shù) 故有f x 1 f x 1 令x 0 則有f 1 f 1 于是有f 1 0 x1 x2 r x1 x2 f x1 f x2 1 解得x 2 故選c c 答案 1 d 2 1008 解析 1 因為f x 是周期為3的周期函數(shù) 所以f f f 4 2 1 故選d 2 f x 2 f x 函數(shù)f x 的周期t 2 又當x 0 2 時 f x 2x x2 所以f 0 0 f 1 1 所以f 0 f 2 f 4 f 2016 0 f 1 f 3 f 5 f 2015 1 故f 0 f 1 f 2 f 2016 1008 規(guī)律總結判斷函數(shù)周期性的幾個常用結論若對于函數(shù)f x 定義域內(nèi)的任意一個x都有 1 f x a f x a 0 則函數(shù)f x 必為周期函數(shù) 2 a 是它的一個周期 2 f x a a 0 f x 0 則函數(shù)f x 必為周期函數(shù) 2 a 是它的一個周期 3 f x a a 0 f x 0 則函數(shù)f x 必為周期函數(shù) 2 a 是它的一個周期 2 1已知f x 是定義在r上的偶函數(shù) 并且滿足f x 2 當2 x 3時 f x x 則f 105 5 答案2 5 解析由f x 2 得f x 4 f x 2 2 f x f x 是以4為周期的周期函數(shù) f 105 5 f 26 4 1 5 f 1 5 f 2 5 4 f 2 5 f x 為偶函數(shù) 且當2 x 3時 f x x f 105 5 f 2 5 f 2 5 2 5 2 5 考點三函數(shù)性質(zhì)的綜合問題 典例4 2016北京東城 上 期中 定義在r上的函數(shù)f x 滿足f x f x 對于任意x1 x2 0 0 x2 x1 則 a f 1 f 2 f 3 b f 3 f 1 f 2 c f 2 f 1 f 3 d f 3 f 2 f 1 答案d 解析由f x f x 得f x 為偶函數(shù) 所以f 2 f 2 f 1 f 1 對于任意x1 x2 0 0 所以當x 0時 f x 為減函數(shù) 所以f 3 f 2 f 1 即f 3 f 2 f 1 故選d d 方法技巧 1 利用函數(shù)性質(zhì)求值的關鍵是利用函數(shù)的奇偶性 對稱性以及函數(shù)的周期性將自變量轉(zhuǎn)化到指定區(qū)間內(nèi) 然后代入函數(shù)解析式求值 2 利用函數(shù)性質(zhì)解不等式問題 主要利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性等將函數(shù)值的大小關系轉(zhuǎn)化為自變量之間的大小關系求解 3 1 2016廣東廣州模擬 已知f x 在r上是奇函數(shù) 且滿足f x 4 f x 當x 0 2 時 f x 2x2 則f 7 a 2b 2c 98d 98 答案a因為f x 4 f x 所以函數(shù)f x 的周期為4 所以f 7 f 7 8 f 1 又因為f x 為奇函數(shù) 且當x 0 2 時 f x 2