5.幾何變式教學(xué)的思考.doc

教學(xué)案例：幾何變式教學(xué)的思考 -從一堂公開(kāi)課說(shuō)起【主題闡述】變式教學(xué)是指教師在引導(dǎo)學(xué)生解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，變更概念非本質(zhì)的特征，變更問(wèn)題的條件或結(jié)論；轉(zhuǎn)換問(wèn)題的形式或內(nèi)容；創(chuàng)設(shè)實(shí)際應(yīng)用的各種環(huán)境，使概念或本質(zhì)不變的一種教學(xué)方式。數(shù)學(xué)變式的研究能幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的質(zhì)疑、多思的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高類比推理的思維能力和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力，點(diǎn)燃創(chuàng)新思維的火花。而利用 變式教學(xué)”和 變式訓(xùn)練”， 通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題多角度， 多方位、多層次的討論和思考， 能幫助學(xué)生打通關(guān)節(jié)， 構(gòu)建有價(jià)值的變式探索研究， 展示數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程， 有意識(shí)、有目的地引導(dǎo)學(xué)生從 “變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)， 從 “不變”的本質(zhì)中探究 “變”的規(guī)律， 使所有知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通， 使思維在所學(xué)知識(shí)中游刃有余、順暢飛翔。筆者有幸于2007年4月在西湖區(qū)的初三復(fù)習(xí)研討會(huì)上，上了一節(jié)問(wèn)題變式探究的公開(kāi)課，對(duì)變式教學(xué)有了一些新的感受，請(qǐng)同行們批評(píng)指正?！菊n例描述】一、 引例教學(xué)：給大家展示的是2006年江西南昌的中考題：某課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到了如下兩個(gè)命題： 如圖1，在正三角形ABC中，M，N分別是AC、AB上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若BON=60則BM=CN： 如圖2，在正方形ADBC中，M、N分別是AC、AD上的點(diǎn)BM 與CN相交于點(diǎn)O，若BON=90則BM=CN.然后運(yùn)用類似的思想提出了如下命題： 如圖3，在正五邊形AEDBC中，M、N分別是AC，AE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若BON=108，則BM=CN.請(qǐng)你從，三個(gè)命題中選擇一個(gè)進(jìn)行證明。在同學(xué)們選擇其中之一證明以后提出了以下問(wèn)題：?jiǎn)栴}1：這個(gè)中考題為什么讓你從三個(gè)命題中選擇一個(gè)進(jìn)行證明？問(wèn)題2：三個(gè)命題的證明方式為什么是一樣的？用到了哪些知識(shí)點(diǎn)？問(wèn)題3：你能將命題推廣嗎？問(wèn)題4：這些命題在證明過(guò)程中哪些條件起到解決問(wèn)題的決定性作用？師生共同探究條件“正多邊形”的作用是：(1) BC=CM 邊等創(chuàng)造三角形全等的條件 (2) BCA=CAN=BON角等讓同學(xué)們體會(huì)引例中的條件“正多邊形”只是作為命題的背景，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要學(xué)會(huì)抓住每個(gè)條件所起的作用，即抓住問(wèn)題的本質(zhì)。二、 例題教學(xué)：例題：操作：如圖，ABC中，A60，ABAC，BDC是頂角BDC120的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60角，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點(diǎn)，連結(jié)MN探究：線段BM、MN、NC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明。引導(dǎo)學(xué)生用旋轉(zhuǎn)DCN至DCN1的方法證明命題成立。引導(dǎo)學(xué)生思考：（1）條件BDCD所起的作用是什么？（2）MDN60與條件BDC120有什么關(guān)聯(lián)性？所起的作用是什么？（3）是什么條件保證了A、B、N1三點(diǎn)共線？為什么要證三點(diǎn)共線？若三點(diǎn)不共線，結(jié)果會(huì)是什么？探究1：若將條件MDN60改為MDN50，若要使原結(jié)論成立，則如何修改原命題？探究2：ABC中必須滿足A80，ABAC嗎？你所添加的這個(gè)條件所起的作用是什么？可否用別的條件來(lái)替換它？師生共同探究命題的本質(zhì)：BDCD旋轉(zhuǎn)時(shí)，使C與B重合BDC2MDNMDN1MDNABDACD180保證了A、B、N1三點(diǎn)共線因此，可將該題一般化，如圖，圓的內(nèi)接四邊形ABDC中，BD=DC，M是AB上一點(diǎn)，作交AC于點(diǎn)N，則MN=BM+CN。三、 課堂練習(xí)：1、已知ABC中，A90，ABAC，D是BC的中點(diǎn)，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)90角，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點(diǎn)，連結(jié)MN.探究：線段BM、MN、NC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明對(duì)例題再次變式探究，以達(dá)到對(duì)命題本質(zhì)的再認(rèn)和多題一解的目的。要求：學(xué)生在解題之前先思考“這個(gè)題與例題有什么關(guān)聯(lián)性？”若有困難，可先解決問(wèn)題后再思考前面的問(wèn)題。共同探究：這個(gè)題即是例題的特例，是將例題歸納圖中的邊BC是圓的直徑，點(diǎn)D是圓心，但互補(bǔ)的條件不滿足，所以這個(gè)圖中的DCN旋轉(zhuǎn)后A、B、N1三點(diǎn)不共線，則三條線段之間應(yīng)不是原先的關(guān)系。而且這個(gè)題中的條件ABAC是多余的。2、已知ABCD是正方形，E是邊DC上一點(diǎn)，作EAF45交邊CB于點(diǎn)F，連結(jié)EF。試探究DE、EF、BF之間的數(shù)量關(guān)系. 要求：學(xué)生在解題之前先思考“這個(gè)題與例題有什么關(guān)聯(lián)性？”若有困難，可先解決問(wèn)題后再思考前面的問(wèn)題。共同探究：這個(gè)題也是例題的特例.變式1：若點(diǎn)E在射線DC上，則結(jié)論將是什么？變式2：若例題中的點(diǎn)M在射線AB上，則結(jié)論將是什么？四、 領(lǐng)悟提升：一般在做幾何題時(shí)，我們的方法是：解決問(wèn)題透過(guò)現(xiàn)象抓住本質(zhì)反思（1）命題中每個(gè)條件所起的作用是什么？（2）哪些條件起決定性作用？（3）能否將命題拓展、推廣？【教學(xué)反思】區(qū)教研員付蘭英老師的點(diǎn)評(píng)：本課例把一道中考題作為引例，在學(xué)生個(gè)體獨(dú)立探究的基礎(chǔ)上，教師讓學(xué)生在小組內(nèi)充分展示自己的思維方法及過(guò)程，相互討論分析，揭示圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)圖形變換的本質(zhì)特性，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的歸納能力和探究問(wèn)題的能力。本課例是數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)，問(wèn)題設(shè)計(jì)是關(guān)鍵，教師不斷創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，在學(xué)生自主、獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的過(guò)程中，不僅僅獲得知識(shí)與技能，更重要的是學(xué)生探索精神和創(chuàng)新能力得到發(fā)展，學(xué)生通過(guò)主動(dòng)探究而“生成”自己的知識(shí)。教師在教學(xué)中設(shè)計(jì)的具有一定探究空間的問(wèn)題情景對(duì)貫徹新課程理念，促進(jìn)每一位學(xué)生的發(fā)展具有重要的實(shí)際意義。課堂中教師積極引導(dǎo)，讓學(xué)生在思考問(wèn)題時(shí)從多方向、多角度、多手段、多途徑入手，教師善于把問(wèn)題延伸，拓展，培養(yǎng)學(xué)生思維的多樣性、流暢性、廣闊性；從而養(yǎng)成良好的思考問(wèn)題習(xí)慣與解決問(wèn)題的策略。在課堂，教師及時(shí)評(píng)價(jià)，學(xué)生獲得了成功的體驗(yàn)，學(xué)生在變式探究中體會(huì)問(wèn)題反思的方法及反思的樂(lè)趣，學(xué)生通過(guò)反思激發(fā)了探究的興趣，在探究中的體驗(yàn)變成了一種學(xué)習(xí)的動(dòng)力，成為一種思維方式。在課堂，學(xué)生在合作交流中學(xué)會(huì)相互幫助，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)互補(bǔ)，增強(qiáng)合作意識(shí)，提高交往能力；師生交流情感融洽，充滿了鼓勵(lì)、愛(ài)心，體現(xiàn)了評(píng)價(jià)的人文關(guān)懷。我自己的體會(huì)：在以往的教學(xué)中我們也很喜歡變式教學(xué)，一般情形下都是老師將題變好后讓學(xué)生練習(xí)，至于題目為什么能變，如何去變，學(xué)生都是不知道的，甚至有些老師也只是把一些類似的題目串在一起而已，沒(méi)有將幾個(gè)題作類似性的分析，所以學(xué)生們經(jīng)常是跟著老師的思維為做題而做題，很少或很難去理解題與題之間的聯(lián)系，今天的教學(xué)，我試圖突破這一點(diǎn)。通過(guò)例題中三角形形狀的不斷改變，讓學(xué)生體會(huì)每個(gè)條件所起的作用，從而讓學(xué)生明白一般題目變式可以從改變非本質(zhì)的條件入手，有能力的同學(xué)可在平時(shí)的學(xué)習(xí)中嘗試改變題目，體會(huì)題目可以變的原因。這樣的嘗試是有價(jià)值的，它可以改變學(xué)生拿來(lái)題就做的習(xí)慣，如果能在初一就開(kāi)始培養(yǎng)這種習(xí)慣，我們不僅可以培養(yǎng)一支會(huì)解題的學(xué)生，還能培養(yǎng)一支會(huì)思考的學(xué)生，會(huì)編題的學(xué)生，會(huì)知一而知其二，那將是學(xué)生學(xué)習(xí)方法的一種突破。 通過(guò)本節(jié)課的教學(xué)，也讓我們老師在平時(shí)的教學(xué)中改變著自己的思維方式，老師們也在思考如何讓學(xué)生們體會(huì)題中本質(zhì)，抓住本質(zhì)起到事半功倍的作用?！就卣固嵘孔兪浇虒W(xué)是指教師在引導(dǎo)學(xué)生解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，變更概念非本質(zhì)的特征，變更問(wèn)題的條件或結(jié)論；轉(zhuǎn)換問(wèn)題的形式或內(nèi)容；創(chuàng)設(shè)實(shí)際應(yīng)用的各種環(huán)境，使概念或本質(zhì)不變的一種教學(xué)方式。變式教學(xué)的哲學(xué)基礎(chǔ)辯證唯物主義認(rèn)為：“任何事物都是內(nèi)容和形式的矛盾統(tǒng)一”，當(dāng)形式適合內(nèi)容時(shí),它對(duì)內(nèi)容有巨大的反作用,它對(duì)內(nèi)容的發(fā)展起積極的推動(dòng)作用；反之,則起消極的阻礙作用。所以,我們?cè)趯?shí)踐活動(dòng)中,都要設(shè)法使內(nèi)容和形式盡可能完美和諧地統(tǒng)一起來(lái)。實(shí)踐證明,教學(xué)形式對(duì)內(nèi)容具有不可忽視的作用，變式教學(xué)實(shí)際上是在教學(xué)中根據(jù)數(shù)學(xué)教學(xué)要求、授課對(duì)象、數(shù)學(xué)教材內(nèi)容和教學(xué)環(huán)境,形成的一種教學(xué)方法。變式教學(xué)是形式,要想對(duì)內(nèi)容有積極的促進(jìn)作用,就要求每個(gè)教師應(yīng)針對(duì)不同的教學(xué),盡可能地創(chuàng)設(shè)一種和諧愉悅的教學(xué)氣氛,采用學(xué)生所能接受的語(yǔ)言和良好的教學(xué)方法,以取得內(nèi)容和形式的統(tǒng)一,從而提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效益；變式教學(xué)就是外因，學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)則是內(nèi)因，變式教學(xué)就是教師為學(xué)生提供更多的主動(dòng)參與學(xué)習(xí)的時(shí)間、空間,促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)化的過(guò)程。維果茨基關(guān)于最近發(fā)展區(qū)的理論認(rèn)為：每個(gè)學(xué)生都存在兩種水平：一是現(xiàn)有水平,二是潛在水平，這兩者之間的差距即學(xué)生的現(xiàn)有水平與經(jīng)過(guò)他人的啟發(fā)幫助可以達(dá)到的潛在水平的差距，教學(xué)是一個(gè)由現(xiàn)有水平轉(zhuǎn)化為潛在水平即新的現(xiàn)有水平,并不斷創(chuàng)造新的最近發(fā)展區(qū)的過(guò)程。根據(jù)這種理論,變式教學(xué)從學(xué)生的這兩種水平的實(shí)際差異出發(fā),首先在教學(xué)中用不同形式的材料引導(dǎo)學(xué)生自己想,自己試,相互磋商,幫助學(xué)生達(dá)到潛在水平即新的現(xiàn)有水平,然后根據(jù)新的最近發(fā)展區(qū)圍繞本節(jié)教材知識(shí)線索中的本質(zhì)問(wèn)題,變換同類事物的非本質(zhì)特征,幫助學(xué)生達(dá)到更高的潛在水平?，F(xiàn)代教育理論認(rèn)為變式教學(xué)可以體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。首先，學(xué)生在教學(xué)認(rèn)識(shí)活動(dòng)中處于主體地位。教學(xué)活動(dòng)本質(zhì)上是一種認(rèn)識(shí)活動(dòng),學(xué)生是這種認(rèn)識(shí)活動(dòng)的主體，學(xué)生的認(rèn)識(shí)活動(dòng)歸根到底是學(xué)生自己的事情，教師永遠(yuǎn)無(wú)法包辦代替，因此,只有確立學(xué)生在教學(xué)活動(dòng)中的主體地位，發(fā)揮其主體作用，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，才能真正保證教學(xué)的質(zhì)量；其次,教師在教學(xué)活動(dòng)中起主導(dǎo)作用。在教學(xué)活動(dòng)中,學(xué)生是教學(xué)認(rèn)識(shí)的主體，但由于青少年學(xué)生是一個(gè)不成熟的主體，他們的知識(shí)!經(jīng)驗(yàn)還不夠豐富，能力還不夠強(qiáng)大,還不可能掌握認(rèn)識(shí)活動(dòng)的方向、內(nèi)容和方法等，此他們的認(rèn)識(shí)活動(dòng)需要由師領(lǐng)導(dǎo)著進(jìn)行。再次，教師的主導(dǎo)作用與學(xué)生的主體地位之間是辯證統(tǒng)一的。學(xué)習(xí)了以上理論之后，結(jié)合自己的日常教學(xué)體會(huì)，我對(duì)幾何變式教學(xué)又有一點(diǎn)認(rèn)識(shí)：幾何變式可從變條件、變位置、變形狀三個(gè)角度進(jìn)行研究。如圖1,ABC是一個(gè)正三角形，E、F分別是邊BC、CA上的點(diǎn)，且BE=CF，AE、BF交于點(diǎn)O,則BOE的度數(shù)是多少？本題的解題思路是利用等邊三角形的邊等和角等的條件，構(gòu)造了ABEBCF，三角形全等的性質(zhì)可得BAE=FBC，所以BOE=BAE+FBA=FBC+FBA=ABC=60。變式一：變條件要使的結(jié)論不變，你認(rèn)為可把BE=CF換成其它什么條件？ 變條件必須抓住ABEBCF不變，要變只能改變判定這對(duì)三角形全等的方法，因此本題有兩個(gè)思路變條件：思路一：直接替換三角形全等的條件：思路二：簡(jiǎn)接替換三角形全等的條件：思路三：構(gòu)造逆命題：將BE=CF與結(jié)論BOE =60對(duì)換。變式二：變位置若題中的條件與結(jié)論不變，你認(rèn)為可以改變E、F的位置嗎？可將E、F的位置改在BC、CA的延長(zhǎng)線上(或CB、AC的延長(zhǎng)線上)，如圖2，這時(shí)ABEBCF仍沒(méi)改變，因此結(jié)論不變。圖5但若E在BC的延長(zhǎng)線上、F在AC的延長(zhǎng)線上，如圖3，這時(shí)圖中也有ABEBAF，但它已經(jīng)改變了ABEBCF的本質(zhì)，因此這種改變只是形似而已，對(duì)學(xué)生的思維培養(yǎng)不能起到較好的效果，這也是我們?cè)谧兪浇虒W(xué)中要注意的地方。圖3圖2圖4 變式三：變背景如：將題中的正三角形ABC改為正方形ABCD，如圖5，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且BE=CF，AE、BF交于點(diǎn)O,則AE和BF相等嗎？BOE的度數(shù)是多少？在前面研究的基礎(chǔ)上，可讓學(xué)生象前一個(gè)問(wèn)題的方式去研究，從而體會(huì)兩者的本質(zhì)是如圖6，ABEBCF，所以只要能抓住ABEBCF這個(gè)本質(zhì)，正ABC(或正方形ABCD)的形狀可以改變，從而將命題推廣到正多邊形的條件下仍能成立。利用變式教學(xué)