量子力學(xué)公式.doc

量子力學(xué)常用積分公式(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) ()(8) (a0) (正偶數(shù))(9) = (正奇數(shù)) ()(10) ()(11) ()(12) (13) (14) (15) (16) () ()第二章：函數(shù)與波動方程1 試用量子化條件,求諧振子的能量諧振子勢能 (解)(甲法)可以用Wilson-Sommerfeld 的量子化條件式:在量子化條件中,令為振子動量, 為振子坐標,設(shè)總能量E則 代入公式得: 量子化條件的積分指一個周期內(nèi)的位移,可看作振幅的四倍,要決定振幅,注意在A或B點動能為0,(1)改寫為: (2)積分得:遍乘得乙法也是利用量子化條件,大積分變量用時間而不用位移,按題意振動角頻率為,直接寫出位移,用的項表示:求微分: (4)求積分: (5)將(4)(5)代量子化條件:T是振動周期,T=,求出積分,得 正整數(shù)#2用量子化條件,求限制在箱內(nèi)運動的粒子的能量,箱的長寬高分別為 (解)三維問題,有三個獨立量子化條件,可設(shè)想粒子有三個分運動,每一分運動是自由運動.設(shè)粒子與器壁作彈性碰撞,則每碰一次時,與此壁正交方向的分動量變號(如),其余分動量不變,設(shè)想粒子從某一分運動完成一個周期,此周期中動量與位移同時變號,量子化條件: (1) (2) (3)都是常數(shù),總動量平方總能量是: =但 正整數(shù).#3 平面轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量為,求能量允許值.(解)解釋題意:平面轉(zhuǎn)子是個轉(zhuǎn)動體,它的位置由一坐標（例如轉(zhuǎn)角）決定,它的運動是一種剛體的平面平行運動.例如雙原子分子的旋轉(zhuǎn).按剛體力學(xué),轉(zhuǎn)子的角動量,但是角速度,能量是利用量子化條件,將理解成為角動量,理解成轉(zhuǎn)角,一個周期內(nèi)的運動理解成旋轉(zhuǎn)一周,則有 (1)(1) 說明是量子化的(2) (.) (2)(3) 代入能量公式,得能量量子化公式: (3)#4有一帶電荷質(zhì)量的粒子在平面內(nèi)運動,垂直于平面方向磁場是B,求粒子能量允許值.(解)帶電粒子在勻強磁場中作勻速圓周運動,設(shè)圓半徑是,線速度是,用高斯制單位，洛倫茲與向心力平衡條件是: (1)又利用量子化條件,令電荷角動量 轉(zhuǎn)角 (2)即 (3)由(1)(2)求得電荷動能=再求運動電荷在磁場中的磁勢能,按電磁學(xué)通電導(dǎo)體在磁場中的勢能=,是電荷的旋轉(zhuǎn)頻率, ,代入前式得運動電荷的磁勢能= (符號是正的)點電荷的總能量=動能+磁勢能=E= ( )#5對高速運動的粒子(靜質(zhì)量)的能量和動量由下式給出: (1) (2)試根據(jù)哈密頓量 (3)及正則方程式來檢驗以上二式.由此得出粒子速度和德布羅意的群速度相等的關(guān)系.計算速度并證明它大于光速.(解)根據(jù)(3)式來組成哈氏正則方程式組:,本題中,因而 (4)從前式解出(用表示)即得到(2).又若將(2)代入(3),就可得到(1)式. 其次求粒子速度和它的物質(zhì)波的群速度間的關(guān)系.運用德氏的假設(shè): 于(3)式右方, 又用于(3)式左方,遍除:按照波包理論，波包群速度是角頻率丟波數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)： =最后一式按照（4）式等于粒子速度，因而。又按一般的波動理論，波的相速度是由下式規(guī)定 （是頻率）利用（5）式得知 （6）故相速度（物質(zhì)波的）應(yīng)當超過光速。最后找出和的關(guān)系，將（1）（2）相除，再運用德氏波假設(shè)：， （7）#6（1）試用Fermat最小光程原理導(dǎo)出光的折射定律 （2）光的波動論的擁護者曾向光的微粒論者提出下述非難： 如認為光是粒子，則其運動遵守最小作用量原理 認為則這將導(dǎo)得下述折射定律這明顯違反實驗事實，即使考慮相對論效應(yīng)，則對自由粒子：仍就成立，E是粒子能量，從一種媒質(zhì)到另一種媒質(zhì)E仍不變，仍有，你怎樣解決矛盾？（解）甲法：光線在同一均勻媒質(zhì)中依直線傳播，因此自定點A到定點B的路徑是兩段直線：光程設(shè)A，B到界面距離是a,b(都是常量)有又AB沿界面的投影c也是常數(shù)，因而，存在約束條件： （2）求(1)的變分,而將,看作能獨立變化的,有以下極值條件 (3)再求（2）的變分 (3)與(4)消去和得 (5)乙法見同一圖,取為變分參數(shù),取0為原點，則有: 求此式變分,令之為零,有： 這個式子從圖中幾何關(guān)系得知,就是(5).(2)按前述論點光若看作微粒則粒子速度應(yīng)等于光波的群速度光程原理作,依前題相速,而,是折射率,是波前陣面更引起的,而波陣面速度則是相速度,這樣最小作用量原理仍可以化成最小光程原理.前一非難是將光子的傳播速度看作相速度的誤解.#7當勢能改變一常量C時,即,粒子的波函數(shù)與時間無關(guān)部分變否?能量本征值變否? (解)設(shè)原來的薛定諤方程式是 將方程式左邊加減相等的量得: 這兩個方程式從數(shù)學(xué)形式上來說完全相同,因此它們有相同的解,從能量本征值來說,后者比前者增加了C。#8設(shè)粒子勢能的極小值是 (證)先求粒子在某一狀態(tài)中的平均值能量其中動能平均值一定為正: = =用高斯定理: =中間一式的第一項是零,因為假定滿足平方可積條件,因而因此 ,能讓能量平均值 因此令(本征態(tài))則而 得證#9設(shè)粒子在勢場中運動 (1)證明其能量的平均值是: (1)其中W是能量密度 (2)證明能量守恒公式 (2)其中 (能流密度)(證明)(1)三維粒子的能量算符是: (3)求在狀態(tài)中的平均值 由于，將此式代入前一式：最末一式按高斯定理化為面積分若滿足平方可積條件，則，S考慮為無限遠處的界面。結(jié)果證得公式求式中能量密度W的時間偏導(dǎo)數(shù)，注意。一般都含時間，也是如此，因而： 粒子滿足含時間薛定諤方程及其共軛方程式： 又設(shè)則有公式得證。10設(shè)N個粒子的哈密頓量為： 是它的任一態(tài)函數(shù)，定義： 求證： 證明按定義： 多粒子的體系的狀態(tài)應(yīng)當滿足多粒子薛定諤方程式，寫出這個方程式和其共軛方程式： （6a） (6b)將前二式等式右方的式子代替左方的，代進式 又待證的公式的等號左方第二項是： -將式兩個求和合一，注意到的項不存在，因而等值異號。11設(shè)與是薛定諤方程式兩個解，證明與時間無關(guān)。證明試將此式對時間求偏導(dǎo)數(shù)，再利用，所滿足的薛定諤方程式，有：因 最后一道等號是利用高斯定理將題給的體積分（）變換成（）的包圍面S的面積分，若1，2滿足平方可積條件 等，可使這面積分等于零。所以體積分是與時間無關(guān)的。#12 考慮單粒子的薛定諤方程式： V1，V2為實函數(shù)，證明粒子的幾率不守恒。求出在空間體積內(nèi)，粒子幾率“喪失”或“增加”的速率。解：要證明幾率不守恒，可以計算總幾率的時間變化率，先考察空間一定體積中粒子出現(xiàn)的總幾率，按Born假設(shè)，總幾率是 求總幾率的時間變化率 （1）再根據(jù)薛定諤方程式和其共軛方程式求出和，有 （2）將（2）代入（1），化簡后得 利用高斯定理將右方第一項變形： （3）如果粒子的運動范圍是無限的，并且符合平方可積條件，則在無限遠處，因而（3）式的面積分等于0。 （4）這證明總幾率不守恒，因為。如果考察有限體積之內(nèi)總幾率的變化率，令：（3）式改寫為： （5）是空間內(nèi)粒子幾率減少或增加的速度，右方是指的包圍面S上幾率流動的速度（流進或流出），右方指由虛數(shù)勢能引起的，附加的幾率變化速率，題目所指的是這一項。 13對于一維自由運動粒子，設(shè)求。 （解）題給條件太簡單，可以假設(shè)一些合理的條件，既然是自由運動，可設(shè)粒子動量是，能量是E，為了能代表一種最普遍的一維自由運動，可以認為粒子的波函數(shù)是個波包（許多平面波的疊加），其波函數(shù)： （1）這是一維波包的通用表示法，是一種福里哀變換，上式若令應(yīng)有 （2）但按題意，此式等于。但我們知道一維函數(shù)一種表示是： （3）將（2）（3）二式比較：知道，并且求得，于是（1）成為 （4）這是符合初條件的波函數(shù)，但之間尚有約束條件（因為是自由粒子，總能量等于動能），代入（4） （5）將此式變形成高斯積分，容易得到所需結(jié)果： 利用積分 ： 寫出共軛函數(shù)（前一式變號）： 本題也可以用Fresnel積分表示，為此可將（6）式積分改為：用課本公式得，兩者相乘，可得相同的結(jié)果。# 14在非定域勢中粒子的薛定諤方程式是： （1）求幾率守恒對非定域勢的要求。此時，只依賴于波函數(shù)在空間一點的幾率波是否存在？ 解按題意，是要求寫出幾率守恒的條件，從這個條件尋出應(yīng)當遵守的要求。幾率守恒的條件是： 或 (2 )與13題類似，可寫出1的共軛方程式： (3 )將1和3中的和想等同的式子代入到2式中去，就得到如下的條件：將前式等號左方第一項變成面積分高斯定理，第二項變成六重積分： (4 )前式等號左方第一項由于波函數(shù)平方可積條件（）可消去，因和形式相同,對易： （5）這積分式定積分，它等于零的可能性要求被積函數(shù)為零，即： 因此必須是實函數(shù)。#15寫出動量表象中的薛定諤方程式。解本題可有二中A含時間薛定諤方程式，B定態(tài)薛定諤方程式。A寫出含時間薛氏方程式： （1）為將前式變換成動量表象，可寫出含時間的表象變換式： （2） （3）為了能用（3）變換（1）式，將（1）式遍乘，對空間積分： 左方變形 (4)等號右方第一積分是可以用三重積分的分部積分來變形的，這式寫成標量： (5)計算（5）的x部分分部積分法：關(guān)于的積分按同法計算，（5）式的結(jié)果是再計算（4）式右方第二積分 （7）但最后一個積分中指坐標空間，指動量相空間，最后將（4）（6）（7）綜合起來就得到動量表象的積分方程式如下： （8）若要將定態(tài)薛定諤方程式從坐標表象變成動量表象，運算步驟和上面只有很少的差別，設(shè)粒子能量為E，坐標表象的薛氏方程： 動量表象方程也是積分方程式，其中G（）是這個方程式的核（Kernel） （9）#16*設(shè)在曲線坐標（）中線元ds表為 寫出這曲線坐標中的薛定諤方程式，寫出球面坐標系中的薛定諤方程式。（解）同樣關(guān)于y,z有類似的二式。（這里為書寫方便q的上標改成下標。）*參看Amer.J.Phys.Vol.41.1973-11令為坐標變換系數(shù)：設(shè)沿曲線坐標等勢面的單位矢量是則 （1）代入直角坐標薛定諤方程式： （2）但 在球坐標情形式正交坐標系代入后得 化簡得#17證明從單粒子的薛定諤方程式得出的速度場是非旋的，即 （證明）薛定諤方程式為： （1）根據(jù)它的解和它的共軛波函數(shù)可寫出幾率密度和幾率流密度： 速度算符 因而證明v是一個標量場的對數(shù)的梯度。梯度