廣東省高考數(shù)學(xué) 2.5指數(shù)函數(shù)配套課件 理 新人教A版.ppt

第五節(jié)指數(shù)函數(shù) 三年4考高考指數(shù) 1 了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景 2 理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義 了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義 掌握冪的運(yùn)算 3 理解指數(shù)函數(shù)的概念 理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性 掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn) 1 指數(shù)冪的運(yùn)算 指數(shù)函數(shù)的圖象 單調(diào)性是高考考查的熱點(diǎn) 2 常與函數(shù)的其他性質(zhì) 方程 不等式等交匯命題 考查分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想 3 多以選擇 填空題形式出現(xiàn) 但若以e為底的指數(shù)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)交匯命題則以解答題形式出現(xiàn) 1 根式 1 根式的概念若 則x叫做a的n次方根 其中n 1且n n 式子叫做 這里n叫做 a叫做 xn a 根式 根指數(shù) 被開方數(shù) 2 根式的性質(zhì) a的n次方根的表示 n n 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí) 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí) a a a 即時(shí)應(yīng)用 1 若x4 16 則x的值為 2 化簡下列各式結(jié)果分別為 解析 1 x 答案 1 2 2 4 4 a 2 3 2 有理指數(shù)冪 1 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義 正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 a 0 m n n 且n 1 負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 a 0 m n n 且n 1 0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于 0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 0 沒有意義 2 有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) ar as a 0 r s q ar s a 0 r s q ab r a 0 b 0 r q 上述有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) 對于無理數(shù)指數(shù)冪也適用 ar s ars arbr 即時(shí)應(yīng)用 1 判斷下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化是否正確 請?jiān)诶ㄌ栔刑?或 2 化簡得 3 化簡的結(jié)果是 解析 2 3 原式 答案 1 2 2x2y 3 a4 3 指數(shù)函數(shù)的概念 1 解析式 2 自變量 3 定義域 y ax a 0 且a 1 x r 即時(shí)應(yīng)用 1 判斷下列函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù) 在括號中填 是 或 否 y 3 2x y 2x2 1 y ax y 2a 1 x a 且a 1 2 若函數(shù)y a2 3a 3 ax是指數(shù)函數(shù) 則實(shí)數(shù)a的值為 解析 2 由已知解得 a 2 答案 1 否 否 否 是 2 2 4 指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 0 r 0 1 y 1 0 y 1 增函數(shù) 減函數(shù) 0 y 1 y 1 即時(shí)應(yīng)用 1 如圖是指數(shù)函數(shù) y ax y bx y cx y dx的圖象 則a b c d與1的大小關(guān)系是 2 函數(shù)f x ax a 0 a 1 在 1 2 中的最大值比最小值大 則a的值為 3 函數(shù)y ax 2012 2012 a 0 且a 1 的圖象恒過定點(diǎn) 解析 1 在圖中畫出直線x 1 分別與 交于a b c d四點(diǎn) 是a 1 a b 1 b c 1 c d 1 d 由圖象可知c d 1 a b 2 當(dāng)01時(shí) 有a2 a1 解得 a 3 y ax a 0且a 1 恒過定點(diǎn) 0 1 y ax 2012 2012恒過定點(diǎn) 2012 2013 答案 1 b a 1 d c 2 3 2012 2013 冪的運(yùn)算 方法點(diǎn)睛 冪的運(yùn)算的一般規(guī)律及要求 1 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式根據(jù) a 0 m n n 且n 1 可以相互轉(zhuǎn)化 2 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪中的指數(shù)不能隨便約分 例如要將寫成等必須認(rèn)真考查a的取值才能決定 如無意義 3 在進(jìn)行冪的運(yùn)算時(shí) 一般是先將根式化成冪的形式 并化小數(shù)指數(shù)冪為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 再利用冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算 例1 計(jì)算下列各式的值 1 2012 清遠(yuǎn)模擬 化簡 2 解題指南 先將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 底數(shù)為小數(shù)的化成分?jǐn)?shù) 負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)化為正分?jǐn)?shù)指數(shù) 然后根據(jù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算 規(guī)范解答 1 原式 2 原式 反思 感悟 指數(shù)冪的一般運(yùn)算步驟 有括號先算括號里的 無括號先做指數(shù)運(yùn)算 先乘除后加減 負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù) 底數(shù)是負(fù)數(shù) 先確定符號 底數(shù)是小數(shù) 先要化成分?jǐn)?shù) 底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的 先化成假分?jǐn)?shù) 若是根式 應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 盡可能用冪的形式表示 運(yùn)用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì) 變式訓(xùn)練 計(jì)算下列各式的值 解析 1 2 指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用 方法點(diǎn)睛 1 應(yīng)用指數(shù)函數(shù)圖象研究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)對指數(shù)型函數(shù)的圖象與性質(zhì) 單調(diào)性 最值 大小比較 零點(diǎn)等 的求解往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象 通過平移 對稱變換得到其圖象 然后數(shù)形結(jié)合使問題得解 2 利用圖象解指數(shù)型方程 不等式一些指數(shù)方程 不等式問題的求解 往往利用相應(yīng)指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解 提醒 在利用指數(shù)函數(shù)圖象解決上述問題時(shí) 圖象形狀 變化趨勢及經(jīng)過的特殊點(diǎn)要準(zhǔn)確 否則數(shù)形結(jié)合時(shí)易產(chǎn)生失誤 例2 已知f x 2x 1 1 求f x 的單調(diào)區(qū)間 2 比較f x 1 與f x 的大小 3 試確定函數(shù)g x f x x2零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 解題指南 1 作出f x 的圖象 數(shù)形結(jié)合求解 2 在同一坐標(biāo)系中分別作出f x f x 1 圖象 數(shù)形結(jié)合求解 3 在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)f x 與y x2的圖象 數(shù)形結(jié)合求解 規(guī)范解答 1 由f x 2x 1 可作出函數(shù)的圖象如圖 因此函數(shù)f x 在 0 上遞減 函數(shù)f x 在 0 上遞增 1 2 在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)f x f x 1 的圖象 如圖所示 由圖象知 當(dāng)時(shí) 解得 兩圖象相交 從圖象可見 當(dāng)時(shí) f x f x 1 當(dāng)時(shí) f x f x 1 當(dāng)時(shí) f x f x 1 1 2 1 1 x0 3 將g x f x x2的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)f x 與y x2圖象的交點(diǎn)問題 在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)f x 2x 1 和y x2的圖象如圖所示 有四個(gè)交點(diǎn) 故g x 有四個(gè)零點(diǎn) 反思 感悟 求解指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性 最值 零點(diǎn)及指數(shù)型方程 不等式問題時(shí)能用數(shù)形結(jié)合的盡量用數(shù)形結(jié)合法求解 但要注意畫出的函數(shù)圖象的基本特征必須要準(zhǔn)確 否則很容易失誤 如本例 3 若圖象不標(biāo)準(zhǔn) 則易將零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷錯誤 變式訓(xùn)練 k為何值時(shí) 方程 3x 1 k無解 有一解 有兩解 解析 函數(shù)y 3x 1 的圖象是由函數(shù)y 3x的圖象向下平移一個(gè)單位后 再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的 函數(shù)圖象如圖所示 當(dāng)k 0時(shí) 直線y k與函數(shù)y 3x 1 的圖象無交點(diǎn) 即方程無解 當(dāng)k 0或k 1時(shí) 直線y k與函數(shù)y 3x 1 的圖象有唯一的交點(diǎn) 所以方程有一解 當(dāng)0 k 1時(shí) 直線y k與函數(shù)y 3x 1 的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn) 所以方程有兩解 變式備選 若直線y 2a與函數(shù)y ax 1 a 0 a 1 的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn) 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 解析 分底數(shù)01兩種情況 分別在同一直角坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)的圖象 如圖 從圖中可以看出 只有當(dāng)0 a 1 且0 2a 1 即時(shí) 兩函數(shù)才有兩個(gè)交點(diǎn) 所以 指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用 方法點(diǎn)睛 利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求解的問題及方法 1 應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可以比較同底數(shù)冪值的大小 2 與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的指數(shù)型函數(shù)定義域 值域 最值 單調(diào)性 奇偶性的求解方法 與前面所講一般函數(shù)的求解這些問題的方法一致 只需根據(jù)條件靈活選擇即可 例3 1 函數(shù)y 的定義域是 2 函數(shù)f x 的單調(diào)遞減區(qū)間為 值域?yàn)?3 2012 金華模擬 已知函數(shù)f x a 0且a 1 求f x 的定義域和值域 討論f x 的奇偶性 討論f x 的單調(diào)性 解題指南 根據(jù)待求的指數(shù)型函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征 選擇恰當(dāng)?shù)那蠛瘮?shù)定義域 值域 最值 單調(diào)區(qū)間 奇偶性的方法求解 規(guī)范解答 1 由題意知 x 1 即定義域是 1 答案 1 2 令g x x2 4x 3 x 2 2 7 由于g x 在 2 上單調(diào)遞增 在 2 上單調(diào)遞減 而y 在r上為單調(diào)遞減 所以f x 在 2 上單調(diào)遞減 又g x x 2 2 7 7 f x 3 7 答案 2 3 7 3 f x 的定義域是r 令 ax 0 解得 1 y 1 f x 的值域?yàn)?y 1 y 1 f x f x 是奇函數(shù) f x 設(shè)x1 x2是r上任意兩個(gè)實(shí)數(shù) 且x1 x2 則f x1 f x2 x1 x2 當(dāng)a 1時(shí) 從而 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 f x 為r上的增函數(shù) 當(dāng)0 a 1時(shí) 從而 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 f x 為r上的減函數(shù) 互動探究 若將本例 2 中函數(shù)f x 變?yōu)閒 x 且其最大值為3 求a的值 解析 令h x 由于f x 有最大值3 y 為r上的減函數(shù) 所以h x 應(yīng)有最小值 1 因此必有解得a 1 即當(dāng)f x 有最大值3時(shí) 解得a 1 反思 感悟 在求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的性質(zhì)問題時(shí) 要根據(jù)解析式的結(jié)構(gòu)特征 選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?但對復(fù)合函數(shù)一定要注意其定義域 變式備選 已知定義域?yàn)閞的函數(shù)f x 是奇函數(shù) 1 求a b的值 2 若對任意的t r 不等式f t2 2t f 2t2 k 0恒成立 求k的取值范圍 解析 1 f x 是奇函數(shù) 且定義域?yàn)閞 f 0 0 即 0 解得b 1 從而有f x 又由f 1 f 1 知解得a 2 經(jīng)檢驗(yàn)a 2適合題意 所求a b的值分別為2 1 2 由 1 知f x 由上式易知f x 在r上為減函數(shù) 又 f x 是奇函數(shù) 不等式f t2 2t f 2t2 k 2t2 k對一切t r恒成立 即3t2 2t k 0 4 12k 0 解得 易錯誤區(qū) 指數(shù)函數(shù)圖象 性質(zhì)的應(yīng)用誤區(qū) 典例 2012 廣州模擬 已知函數(shù)y a b是常數(shù)且a 0 a 1 在區(qū)間 0 上有ymax 3 ymin 試求a b的值 解題指南 先確定t x2 2x在 0 上的值域 再分a 1 0 a 1兩種情況討論 構(gòu)建a b的方程組求解 規(guī)范解答 x 0 t x2 2x x 1 2 1 值域?yàn)?1 0 即t 1 0 1 若a 1 函數(shù)y at在 1 0 上為增函數(shù) at 1 則依題意得 2 若0 a 1 函數(shù)y at在 1 0 上為減函數(shù) at 1 則依題意得綜上 所求a b的值為 閱卷人點(diǎn)撥 通過對試題及閱卷數(shù)據(jù)分析 我們可以得到以下誤區(qū)警示和備考建議 1 2011 山東高考 若點(diǎn) a 9 在函數(shù)y 3x的圖象上 則的值為 解析 選d 因?yàn)辄c(diǎn) a 9 在函數(shù)y 3x的圖象上 所以3a 9 a 2 所以 2 2011 遼寧高考 設(shè)函數(shù)f x 則滿足f x 2的x的取值范圍是 a 1 2 b 0 2 c 1 d 0 解析 選d 若x 1 則 解得0 x 1 若x 1 則1 log2x 2 解得x 1 綜上 x 0 故選d 3 2011 湖北高考 已知定義在r上的奇函數(shù)f x 和偶函數(shù)g x 滿足f x g x ax a x 2 a 0 且a 1 若g 2 a 則f 2 解析 選b f x 是奇函數(shù) g x 是偶函數(shù) 由f x g x ax a x 2 得 f x g x a x ax 2 得g x 2 得f x ax a x 又g 2 a a 2 f x 2x 2 x f 2 22 2 2 4 2012 佛山模擬 當(dāng)a 0時(shí) 函數(shù)y ax b和y bax的圖象只可能是下圖中的 解析 選a 當(dāng)b 1 a 0時(shí) y bax為增函數(shù) 而直線y ax b與y軸交點(diǎn)應(yīng)為 0 b b 1 d不對 又c中a 0 也不對 當(dāng)0 b 1時(shí)