如何理解分式方程和分式方程的根.doc

如何理解分式方程和分式方程的根學習分式方程和求解分式方程的根時，容易產生一些模糊的認識，要真正弄懂學好，應注意以下幾點：1. 分式方程是分母含未知數(shù)的有理方程。這告訴我們：分式方程是形式上的定義。如方程與是不同的兩個方程，前者為分式方程，后者為整式方程。分式方程強調分母是含未知數(shù)而不是含有字母，這與分式定義中分母規(guī)定不一定。如關于的方程，它不是分式方程，而是整式方程。分式方程是有理方程。如方程不是分式方程。2. 解分式方程時，去分母的方法不一定要乘最簡公分母，但乘以最簡公分母意義在于它不僅能使去分母具有可行性，同時演算簡潔，有時還可減少增根個數(shù)。如：解方程，若方程兩邊乘以，解得，而為增根；若方程兩邊乘以，解得為原方程的根。3. 分式方程與它變形之后的整式方程的關系表現(xiàn)在：一方面，分式方程的根是從整式方程中求出來的，它一定是整式方程的根。但整式方程的根不一定是分式方程的根，若是它的根的條件是要使分母不為零。另一方面，分式方程的要求解要依靠整式方程，只不過其中排除分母不為零這一因素。如關于的方程的解為負數(shù)，求的范圍。分式方程變形后得整式方程為，若整式方程解為負時，則。但分式方程解為負數(shù)時，不僅且即且。4. 解分式方程時常常出現(xiàn)增根，我們要全面認識它。分式方程增根產生的原因是在分式方程左右兩邊乘的最簡公分母為了零。如分式方程一定不會產生增根，因為最簡公分母。使最簡公分母為零的未知數(shù)的值均可能是增根，且增根也只可能在這些值中。如分式方程，與均有可能為它的增根，解后知增根為。分式方程的增根不是它的根，但它是變形后的整式方程的根。如解分式方程若產生增根，則為何值？由上知均可以為增根，增根又是變形后整式方程的根，故或。幾何第二章相交線、平行線復習指導本章的主要內容是兩條直線的兩種位置關系相交和平行。重點是垂線的概念和平行線的性質和判定。由于本章是幾何推理論證的入門階段，所以這一章的內容是很重要的基礎知識。同學們一定要認真學習，打好基礎，為幫助同學們復習好本章內容，筆者談以下幾點：一、從整體上把握本章的知識結構本章分三大節(jié)，第一大節(jié)介紹相交線，研究兩條相交直線有公共頂點的四個角的關系；第二大節(jié)介紹平行線的概念、平行公理及其推論，研究平行線的判定及性質；第三大節(jié)介紹命題、定理、證明。其知識網絡是：二、熟練判斷有關的角由兩條相交的直線引出了對頂角、鄰補角；由一條直線分別與兩條直線相交引出了同位角、內錯角、同旁內角。對這些角要求同學們能準確地進行判斷。1. 對頂角。兩條直線相交所成的四個角中，有一個公共點而沒有公共邊的兩個角叫對頂角。如圖1中的1與3，2與4就是對頂角。特點是：對頂角是相互的，互為對頂角的兩個角有公共頂點，兩邊互為反向延長線。對頂角有一個重要性質，即：對頂角相等。2. 鄰補角。兩條直線相交所成的四個角中，不僅有一個公共頂點，而且還有一條公共邊的兩個角叫作鄰補角。如圖1中1與2，2與3就是鄰補角。鄰補角的和是一個平角。因此，鄰補角可以看成是由一條直線被經過它上面的一點的一條射線分成的兩個角。鄰補角是有特殊關系的兩個互補的角。3. 同位角，一條直線與兩條直線相交，便松成了“三線八角”，如圖2所示。在圖2中的1與5，這兩個角分別在直線AB、CD的上方，并且都在直線EF同側，像這樣位置相同的一對角叫作同位角。同樣4與8、2與6、3與7也是同位角。4. 內錯角。圖2中的3與5，這兩個角都在直線AB、CD之間，并且分別在直線EF的兩側，像這樣的一對角叫作內錯角。同樣4與6也是內錯角。5. 同旁內角。圖2中的3與6，這兩個角都在直線AB、CD之間，并且分別都在直線EF的同側，像這樣的一對角叫作同旁內角。同樣4與5也是同旁內角。在識別同位角、內錯角和同旁內角時，要按下面的口訣來識別：“一看三線，二找截線，三再根據(jù)位置來分辨”。所謂“看三線”：因為這三種角是由兩條直線被第三條直線所截而成的，所以，一對同位角（或內錯角、或同旁內角）的四條邊應分別在這三直線上。否則，就一定不是這三種角。所謂“找截線”：既然一對角的四條邊分別在三條直線上，因此必定各有一條邊共線，即在同一條直線上，這條直線就是截線?！霸僖晕恢脕矸直妗保和唤且欢ㄔ诮鼐€的“同旁”，被截兩直線的“同側”；內錯角一定在被截兩直線的“內部”，交“錯”于截線的兩旁；同旁內角一定在截線的“同旁”，被截兩直線的“內部”。三、牢固掌握垂線的定義和性質。1. 垂線。當兩條直線相交所成的四個角之中有一個是直角時，就說這兩條直線互相垂直，這兩條直線互為垂線，它們的交點叫作垂足。2. 垂線有兩條性質，它們是：（1）過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；（2）直線外一點與直線上各點連結的所有線段中，垂線段最短。對于性質（1）同學們應認識到：已知直線是給出的；要畫一條直線，使畫的這條直線垂直于已知直線；要畫的這條直線于已知直線的直線必須要過一個點，不論這個點是在直線上還是在直線外；這樣的直線能畫出一條而且只能畫出一條。性質（2）可以簡單地說成：垂線段最短。3. 點到直線的距離。從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離。這個定義是在垂線的性質（2）的基礎上給出的。借助于性質（2）很容易理解這一定義。四、正確使用平行線的性質和判定所謂“平行線的判定”是除直接利用定義外，根據(jù)其它一些條件，確定兩條直線平行的方法。課本上首先介紹了一個判定公理：同位角相等，兩直線平行。在此基礎上又導出了另外兩個判定方法。判定方法1：內錯角相等，兩直線平行。判定方法2：同旁內角互補，兩直線平行。這幾種判定方法的實質是從角之間的數(shù)量關系（相等或互補）來得出兩直線平行這一位置關系的。所謂“平行線的性質”是在已知兩直線平行這一前提下，能得到的一系列結論，與判定相對應，這些性質（結論）也有三個：性質公理：兩直線平行，同位角相等。性質1：兩直線平行，內錯角相等。性質2：兩直線平行，同旁內角互補。這三個性質的實質是從直線平行的位置關系來得到角之間的數(shù)量關系（相等或互補）的。從以上分析可見：平行線的判定和性質是相反的兩類問題：從角的數(shù)量關系（相等或互補）得到兩直線平行是判定；由兩直線平行得到角的數(shù)量關系（相等或互補）是性質。平行線的“判定”與“性質”的因果關系恰好相反，它們是互逆的?！芭卸ā钡摹耙颉鼻『檬菍摹靶再|”的“果”，而“判定”的“果”又恰好是對應的“性質”的“因”?？梢院唵蔚母爬椤耙C明平行用判定，已知平行用性質”。五、能區(qū)分命題的題設和結論、判斷命題的真假、了解證明的一般步驟。1. 命題。每個命題都是由題設和結論兩部分組成的。題設就是命題的條件，結論就是命題中判斷的結果，怎樣區(qū)分命題的題設和結論，是命題學習的重點。在學習中，要結合圖形，認真分析，不斷總結，體會。這樣就能達到明確區(qū)分命題的題設和結論的目的。在一般情況下，命題的條件是用“若”、“如果”或“已知”等字樣表示。命題的結論相應的用“則”、“那么”或“求證”等字樣表示。2. 命題有真假之分。如果題設成立，那么結論就一定成立的命題是真命題，如果題設成立時，不能保證結論總是正確的，即結論不成立，這樣的命題就是假命題。要說明一個命題是真命題，必須經過嚴格的推理論證，而要說明一個命題是假命題，只要舉出一個符合命題題設，但不滿足命題結論的例子就可以了，即舉一個反例就可以判定一個命題是假命題。3. 證明一個幾何命題的步驟是：（1）根據(jù)題意，畫出圖形；（2）根據(jù)題設、結論，根據(jù)圖形，寫出已知、求證；（3）經過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程。例如，證明“對頂角相等”的推理過程如下：在圖3中，1與3互補，2與3互補（鄰補角的定義），1=2（同角的補角相等）。六、通過本章的學習應掌握以下幾種重要的數(shù)學思想方法1. 定義的作用我們知道，定義具有雙重性的功能。數(shù)學概念的定義一方面反映了這個概念的本質屬性，另一方面又具有判斷的作用。例如，垂線定義一方面告訴了我們兩直線垂直的條件：如果四個角中有一個是直角，則兩直線就垂直；同時，又向我們提供了一個判定兩直線垂直的方法：四個角中只要有一個角是直角，這兩條直線就一定相互垂直。2. 性質定理和判定定理具有互逆性性質定理和判定定理是具有相反性的兩個問題，它們的這種“相反性”反映了命題之間的互逆關系，其中平行線的性質定理與判定定理就是典型的代表。如，兩條直線被第三條直線所截，（1）同位角相等，兩直線平行；（2）內錯角相等，兩直線平行；（3）同旁內角互補，兩直線平行。與這三個判定定理相對應的三個性質定理分別是：如果兩條直線平行被第三條直線所截，則（1）同位角相等；（2）內錯角相等；（3）同旁內角互補。3. 歸納推理的思想歸納推理是由特殊到一般的推理。垂線的性質“直線外一點與直線上各點連結的所有線段中，垂線段最短”就是利用歸納推理的方法得到的。如圖4，點P是直線L外的一點，POL，垂足為O，過點P畫直線PA、PB、PC、，交L于點A、B、C、，用圓規(guī)比較垂線段PO與線段PA、PB、PC，。故可得垂線的上述性質。4. 邏輯推理邏輯推理即演繹推理，它是由一般到特殊的推理。其思維方向與歸納推理的思維方向恰好相反。幾何命題的證明，都是通過邏輯推理的方