二次函數(shù)(基礎(chǔ)思想)講義.doc

二 次 函 數(shù)考點解析：一、認識二次函數(shù)1、二次函數(shù)的常見解析式及其三要素函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標當時開口向上當時開口向下（軸）（0,0）（軸）(0, )(,0)(,)()的符號決定拋物線的開口方向；相等，拋物線的開口大小、形狀相同；如果相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同。平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線.二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中當時拋物線開口向上頂點為其最低點；當時拋物線開口向下頂點為其最高點。2、二次函數(shù)的性質(zhì)：增減性：以對稱軸為界，具有雙向性。對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以拋物線的對稱軸垂直平分對稱點的連線.即：若、兩點是拋物線上關(guān)于對稱軸對稱的兩點，則有：；(即)。基礎(chǔ)練習(xí)題：1、拋物線y = - 2 ( x 3 )2 7 對稱軸 x = , 頂點坐標為 ；2、拋物線 y = 2x2 + 12x 25的對稱軸為 x = , 頂點坐標為 .3、若將二次函數(shù)y=x22x + 3配方為y =（xh）2 + k的形式，則y= 4、拋物線y= - 4（x+2）2+5的對稱軸是 。5、拋物線 y = - 3x2 + 5x - 4開口 , y = 4x2 6x + 5 開口 .6、已知P1（）、P2（）、P3（）是拋物線上的三個點，若，則的大小關(guān)系是_。7、已知函數(shù)y=x2-2x-2的圖象如圖所示，根據(jù)其中提供的信息，可求得使y1成立的x的取值范圍是( )A-1x3 B-3x1 Cx-3 Dx-1或x38、如圖中有相同對稱軸的兩條拋物線,下列關(guān)系不正確的是( )A h=m B k=n C kn D h0,k09、拋物線的頂點在原點，則m= 10、如圖拋物線對稱軸是x=1,與x軸交于A、B兩點,若B點的坐標是(,0),則A點的坐標是 11、請選擇一組你喜歡的的值，使二次函數(shù)的圖象同時滿足下列條件：（1）開口向下，（2）當時，y隨x的增大而增大；當時，y隨x的增大而減小。這樣的二次函數(shù)的解析式可以是_。拓展提升：1、已知拋物線y=(x - 4)2 - 3的部分圖像(如圖) 圖像再次與x軸相交時的坐標是（ ）(A) (5，0) (B) (6，0) (C) (7，0) (D) (8，0)2、如圖，已知二次函數(shù)y= (a0)的圖象的頂點P的橫坐標是4，圖象交x軸于點A(m，0)和點B，且m4，那么AB的長是 ( )(A)4+m (B)m (C)2m一8 (D)82m3、已知點A（1,）、B（）、C（）在函數(shù)上，則、的大小關(guān)系是( )A B C D 4、開口向下的拋物線的對稱軸經(jīng)過點（1，3），則_。5、拋物線上有兩點（3，8）和（5，8），則對稱軸是 。6、已知二次函數(shù)，則當m= 時，其最大值為0.二、函數(shù)與方程要點： y = ax2 + bx + c ( a 0 ) 二元二次不定方程 有無數(shù)組解 在直角坐標系中有無數(shù)個點（確定函數(shù)y的值） 如： ax2 + bx + c =3 ( a 0 ) 一元二次方程 有確定解 確定在直角坐標系中的點1、已知函數(shù)解析式，求點的問題，可用方程或方程組解決（代入法）。2、已知點的坐標，求函數(shù)解析式中待定系數(shù)的問題，也可用方程思想解決?；A(chǔ)練習(xí)題：1、拋物線 y = 2x2 + bx 5 過點A ( - 2, 9 )，則關(guān)于“b”的方程為 ，此拋物線的解析式為 .2、已知函數(shù) y = x2 + bx 1 的圖象經(jīng)過點（3，2），則這個函數(shù)的解析式為 ；圖象的頂點坐標為 。3、拋物線 y = 2x2 - 3x 5 過點A ( n, 9 )，解得 n = .4、y = - 2x2 + 5x 3 與 y軸的交點的坐標為 ，5、y = 2x2 5x + c 與 y 軸的交點為（ 0，3 ），則有c = .6、y = - 2x2 + 5x 3 與x 軸的交點坐標為 、 .應(yīng)用1：用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 （1）一般式：.已知圖像上三點或三組（、）的值，通常選擇一般式. （2）頂點式：.已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式. （3）交點式：已知圖像與軸的交點橫坐標、，通常選用交點式：.基礎(chǔ)練習(xí)題：1、二次函數(shù) y = ax2 + bx+ c的圖象的頂點A 的坐標為 ( 1, - 3 )，且經(jīng)過點 B ( -1, 5 )，則設(shè) y = , 得方程為 ，解得 ，此函數(shù)解析式為 . 2、二次函數(shù) y = ax2 + bx + c的圖象與 x 軸交于點A ( - 3, 0 )，對稱軸x = -1，頂點C到x軸的距離為2，則設(shè) y = , 得方程為 ，解得 ，此函數(shù)解析式為 . 3、已知拋物線過點（-1，0）、（3，0）、（2，5），則設(shè) y = , 得方程為 ，解得 ，此函數(shù)解析式為 。4、拋物線經(jīng)過(1,3).(0,-2)和(-2,4),則拋物線的解析式為 . 綜合練習(xí)題：1、如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A、B、C三點.（1）觀察圖象寫出A、B、C三點的坐標，并求出此二次函數(shù)的解析式；（2）求出此拋物線的頂點坐標和對稱軸。2、已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(0,3),且頂點坐標為（1，-4）。（1）求這個函數(shù)關(guān)系式；（2）當x 為何值時,函數(shù)值為0?當x為何值時,函數(shù)值y隨著x的增大而增大?當x 為何值時,y 隨 x的增大而減小?xyO3911AB圖1 13、如圖1，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點A和點B（1）求該二次函數(shù)的表達式；（2）寫出該拋物線的對稱軸及頂點坐標；（3）點P（m，m）與點Q均在該函數(shù)圖像上（其中m0），且這兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，求m的值及點Q 到x軸的距離4、在直角坐標平面內(nèi)，二次函數(shù)圖象的頂點為，且過點（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）將該二次函數(shù)圖象向右平移幾個單位，可使平移后所得圖象經(jīng)過坐標原點？并直接寫出平移后所得圖象與軸的另一個交點的坐標應(yīng)用2：直線與拋物線的交點（1）拋物線與軸（或平行于軸的直線）的交點該交點是由所得，且只有一個(,).特別地，當x=0時，交點為(0, ).（2）拋物線與軸（或平行于軸的直線）的交點由方程組所得，故交點的橫坐標是方程的解；交點的個數(shù)受方程根的判別式?jīng)Q定，即：拋物線與軸相交有兩個交點（x1、k）（x2、k）；拋物線與軸相切有一個交點（x、k）（即頂點在上）；拋物線與軸相離沒有交點.特別地，當時，即表示為與x軸的交點。一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點由方程組 的解的數(shù)目來確定：方程組有兩組不同的解時與有兩個交點; 方程組只有一組解時與只有一個交點；方程組無解時與沒有交點.拋物線與軸兩交點之間的距離：若與軸的兩交點為，由于、是方程的兩根，故：所以：基礎(chǔ)練習(xí)題：1、若二次函數(shù)y=x24x+c的圖象與x軸沒有交點，其中c為整數(shù)，則c=_ _（只寫一個）2、已知二次函數(shù) y = ax2 2 的圖象經(jīng)過點（1，- 1），則這個二次函數(shù)的解析式為 ，該函數(shù)圖象與 x 軸的交點個數(shù)為 .3、拋物線y = x2 - 6x + c 的頂點在 x軸上，則 c 的值是（ ）.（A） 9 （B） 3 （C） - 9 （D） 04、函數(shù)的圖象與x軸有公共點，則k的取值范圍是 拓展提升：1、二次函數(shù)的值永遠為負值的條件是a 0, 02、二次函數(shù)y=x26x5，當時，y0，且隨的增大而減小。3、二次函數(shù)y=x22x3與x軸兩交點之間的距離為_.4、已知： 二次函數(shù) y = ( m 3 ) x2 + 2mx + m + 2，其中m 為常數(shù)，且滿足-2 m 3，此拋物線的開口 ，與 x 軸 交點（填有、無），與 y 軸的交點在x 軸 （填上方、下方）.5、如果二次函數(shù)y = 2x2 + ( 2a b )x + b，當且僅當1 x 2 時，y 0； b = 2a； a + b + c；a b + c ，正確的個數(shù)是（ ）.(A) 4個 (B) 3個 (C) 2個 (D) 1個 6、二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖所示，則下列關(guān)于a、b、c間的關(guān)系判斷正確的是（ ） (A) ab 0 (B) bc 0 (D) a-b+c 0）的對稱軸為x1，交x軸的一個交點為（x1，0），且0x10 b0，其中正確的個數(shù)有（ ）A、0個 B、1個 C、2個 D、3個3、已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論： ； ； ； ； ，（的實數(shù)）其中正確的結(jié)論有（ ）A. 2個B. 3個C. 4個D. 5個6題4題4、如圖是二次函數(shù)yax2bxc圖象的一部分，圖象過點A（3， 0），對稱軸為x1給出四個結(jié)論：b24ac；2ab=0；abc=0；5ab其中正確結(jié)論是（） （A）（B）（C）（D）5、已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c，且a0，a-b+c0，則一定有（ ）（A）b2 - 4ac0 （B）b2 - 4ac=0 （C）b2 - 4ac0 （D）b2 - 4ac06、二次函數(shù)y =ax2bxc 的圖象如圖所示，且P=| abc | 2ab |，Q=| abc | 2ab |，則P、Q的大小關(guān)系為 . 7、如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點（-3，0），（x1，0），且21b0 6a+c0 9a+c0其中正確的結(jié)論是_（將你認為正確結(jié)論的序號都填上）綜合提升1、若用（1）、（2）、（3）、（4）四幅圖像分別表示量之間的關(guān)系，請按圖像所給順序，將下面的a、b、c、d對應(yīng)排序(a) 小車從光滑的斜面上滑下（小車速度與時間的關(guān)系）(b) 一個彈簧不掛重物到逐漸掛重物（彈簧長度與所掛重物重量的關(guān)系）(c) 運動員推出去的鉛球（鉛球高度與時間的關(guān)系）(d) 小楊從A到B后，停留一段時間，然后按原速度返回（路程與時間的關(guān)系）正確的順序是：（ ）(A)（c）（d）（b）（a） (B)（a）（b）（c）（d）(C)（b）（c）（a）（d） (D)（d）（a）（c）（b）2、在同一坐標系中一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象可能為（ ）OxyOxyOxyOxyABCDOxy3、反比例函數(shù)與二次函數(shù)在同一平面直角坐標系中的大致圖象如圖，它們的解析式可能分別是（ ）（A）y=，y=kx2-x （B）y=，y=kx2+x （C）y=-，y=kx2+x （D）y=-，y=-kx2-x 4、已知一次函數(shù) y = ax + c 與二次函數(shù) y = ax2 + bx + c，它們在同一坐標系內(nèi)的大致圖象是（ ）.(A) (B) (C) (D)5、下列圖中陰影部分的面積與算式|+（）2 + 2-1的結(jié)果相同的是 （ ）6、如圖，OAB是邊長為2+的等邊三角形，其中O是坐標原點，頂點B在y軸的正方向上，將OAB折疊，使點A落在邊OB上，記為A 折痕為EF（1）當 AE / x軸時，求點A 和E的坐標；（2）當 AE / x軸時，且拋物線y= x2 + bx + c經(jīng)過點A 和E時，求該拋物線與x軸的交點的坐標；（3）當點A 在OB上運動但不與O、B 重合時，能否使A EF成為直角三角形？若能，請求出此時點A 的坐標；若不能，請你說明理由。7、拋物線 y = x2 - 2x + c 與 x 軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與 y 軸交于點C，且OC =OB，求此拋物線的函數(shù)解析式及三角形ABC的面積.8、如圖、已知拋物線y=x2 ax+a+2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點D（0，8），直線DC平行于x軸，交拋物線于另一點C。動點P以每秒2個單位長度的速度從點C出發(fā)，沿CD運動，同時，點Q以每秒1個單位長度的速度從A出發(fā)，沿AB運動。連結(jié)PQ、CB.設(shè)點P的運動時間為t秒 . （1）求a的值；（2）當t為何值時，PQ