高考數(shù)學一輪復習 3.5 數(shù)列的綜合應用課件 文 新人教A版.ppt

3 5數(shù)列的綜合應用 1 等差 等比數(shù)列以及遞推數(shù)列之間的綜合應用 2 緊扣等差 等比數(shù)列的定義和性質 作出合理的分析 靈巧地選擇公式或性質解決問題 二 數(shù)列的實際應用問題 1 構造等差 等比數(shù)列的模型 然后利用數(shù)列的通項公式和求和公式求解 2 通過歸納得到結論 再用數(shù)列知識求解 一 數(shù)列知識范圍內的綜合應用 運用數(shù)列知識解決實際應用問題時 應在認真審題的基礎上 認清問題的哪一部分是數(shù)列問題 又是哪種數(shù)列 等差數(shù)列 等比數(shù)列 的問題 在a d 或q n an sn中哪些量是已知的 哪些量是待求的 特別是認準項數(shù)n為多少 建立等差 比 數(shù)列 遞推數(shù)列的模型 再綜合利用其他相關知識來解決問題 三 數(shù)列與其他分支知識的綜合應用 1 主要為數(shù)列與函數(shù) 方程 不等式 三角等高考重點知 識的綜合 2 解決有關此類綜合問題時 首先要認真審題 弄清題意 分析出涉及哪些數(shù)學分支內容 在每個分支中各是什么問題 其次 要精心分解 把整個大題分解成若干個小題或若干步驟 使它們成為在各自分支中的基本問題 最后 分別求解這些小題或步驟 從而得到整個問題的結論 1 已知數(shù)列 an 的通項公式an log2 n n 設其前n項和為sn 則使sn 4成立的自然數(shù)n有 a 最大值15 b 最小值15 c 最大值16 d 最小值16 解析 由已知 sn log2 log2 log2 log2 log2 log215且n n n的最小值為16 答案 d 2 某工廠的產(chǎn)量第二年比第一年增長的百分率是p1 第三年比第二年增長的百分率為p2 若p1 p2 m 定值 則年平均增長的百分率的最大值是 p p的百分率的最大值是 答案 解析 設年平均增長的百分率為p 可知 1 p 2 1 p1 1 p2 2 1 p 1 3 函數(shù)y x2 x 0 的圖像在點 an 處的切線與x軸交點的橫坐標為an 1 n n 若a1 16 則a3 a5 數(shù)列 an 的通項公式為 解析 由導數(shù)的幾何意義可知 k 2x 2an 所以切線方程為y 2anx 切線與x軸交點的橫坐標0 2anan 1 可得an 1 an an 1 an an 是以16為首項 為公比的等比數(shù)列 an 16 n 1 25 n 答案 5an 25 n a1 16 a2 8 a3 4 a4 2 a5 1 a3 a5 5 題型1等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合題 例1已知正數(shù)數(shù)列 an 中 a1 2 且關于x的方程x2 x 0 n n 有相等的實根 1 求a2 a3的值 2 求證 n n 分析 因為關于x的一元二次方程有相等的實根 所以其判別式等于0 由此找出an 1與an的關系式 并對an 1與an的關系 式進行遞推或轉化為熟悉數(shù)列的通項問題 然后求出其通項an 再根據(jù)確定求和的類型 解析 1 由題意得 an 1 2an 1 0 得an 1 2an 1 又a1 2 所以a2 2 2 1 5 a3 2 5 1 11 2 法一 由an 1 2an 1 得an 2an 1 1 2 2an 2 1 1 22an 2 2 1 22 2an 3 1 2 1 23an 3 22 2 1 2n 2 2a1 1 2n 3 22 2 1 2n 1a1 2n 2 22 2 1 2n 3 2n 1 1 所以1 an 3 2n 1 得 所以 1 故 n n 法二 由an 1 2an 1 得an 1 1 2 an 1 因為a1 1 2 1 3 所以數(shù)列 an 1 是首項為3 公比為2的等比數(shù)列 所以an 1 3 2n 1 即得an 3 2n 1 1 以下同法一 點評 此題是以一元二次方程為載體的一道數(shù)列綜合題 通過一元二次方程的判別式構建起數(shù)列通項間的遞推關系是解決本題的關鍵 變式訓練1已知等差數(shù)列 an 的前n項和為sn 公差d 0 且s3 s5 50 a1 a4 a13成等比數(shù)列 1 求數(shù)列 an 的通項公式 2 若從數(shù)列 an 中依次取出第2項 第4項 第8項 第2n項 按原來順序組成一個新數(shù)列 bn 記該數(shù)列的前n項和為tn 求tn的表達式 解析 1 依題意得解得 an a1 n 1 d 3 2 n 1 2n 1 即an 2n 1 2 由已知得 bn 2 2n 1 2n 1 1 tn b1 b2 bn 22 23 2n 1 n n 2n 2 4 n 題型2數(shù)列與函數(shù) 方程 不等式的綜合應用 例2已知二次函數(shù)f x x2 m 2 x m 2 x r 同時滿足 不等式f x 0的解集有且只有一個元素 在定義域內存在x1 x2 使得x1 x2 0 但f x1 f x2 設數(shù)列 an 的前n項和sn f n 1 求f x 的表達式 2 求數(shù)列 an 的通項公式 0 再由sn可得an 解析 1 f x 0的解集有且只有一個元素 m 2 2 4 m 2 0 m 2或m 2 當m 2時 函數(shù)f x x2是一個偶函數(shù) 故不存在x1 x2 使得x1 x2 0 且f x1 f x2 當m 2時 函數(shù)f x x2 4x 4 在定義域內存在x1 x2 使得x1 x2 0 分析 由不等式f x 0的解集有且只有一個元素 可得 且f x1 f x2 故f x x2 4x 4 2 由 1 可知sn n2 4n 4 當n 1時 a1 s1 1 當n 2時 an sn sn 1 n2 4n 4 n 1 2 4 n 1 4 2n 5 an 知識的綜合把握 符合高考在知識的交匯處命題的特點 點評 以函數(shù)知識為背景 以數(shù)列知識為主線 考查學生對 變式訓練2已知函數(shù)f x 滿足ax f x b f x ab 0 f 1 2 并且使f x 2x成立的實數(shù)x有且只有一個 1 求f x 的解析式 2 若數(shù)列 an 的前n項和為sn an滿足a1 當n 2時 sn n成立 求數(shù)列 an 的通項公式 由f x 2x 得ax 2x b 2x 即2ax2 2x b 0有兩相等的實根 4 8ab 0 由 解得a b 1 1 f x 1 且 1 0 f x x 2 解析 1 由f 1 2得2a b 2 ab 0 a 0 2 a1 當n 2時 sn n 當n 2時 sn n sn an n 2 當n 1時 s1 a1 2a1 1 2 a1 a1 也滿足 式 又當n 2 n n 時 sn an n 2 則sn 1 an 1 n 1 兩式相減得 2an an 1 1 n 2 2 an 1 an 1 1 即an 1 an 1 1 n 2 數(shù)列 an 1 是以為首項 為公比的等比數(shù)列 an 1 n 1 an 1 題型3數(shù)列在實際問題中的應用 例3流行性感冒 簡稱流感 是由流感病毒引起的急性呼吸道傳染病 某市去年11月份曾發(fā)生流感 據(jù)資料統(tǒng)計 11月1日 該市新的流感病毒感染者有20人 此后 每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人 由于該市醫(yī)療部門采取措施 使該種病毒的傳播得到控制 從某天起 每天的新感染者平均比前一天的新感染者減少30人 到11月30日止 該市在30日內感染該病毒的患者總共有8670人 問該市哪一天感染此病毒的新患者人數(shù)最多 并求出這一天的新患者人數(shù) 分析 設11月的第n日患者人數(shù)最多 根據(jù)題意可知8670是由兩個等差數(shù)列的和組成的 分別用n的代數(shù)式表示兩個等差數(shù)列的和可求出n的值 解析 設從11月1日起第n n n 1 n 30 日感染此病毒的新患者人數(shù)最多 則從11月1日至第n日止 每日新患者人數(shù)依次構成一個等差數(shù)列 這個等差數(shù)列的首項為20 公差為50 前n日的患者總人數(shù)即該數(shù)列前n項之和sn 20n 50 25n2 5n 從第n 1日開始 至11月30日止 每日的新患者人數(shù)依次構成另一個等差數(shù)列 這個等差數(shù)列的首項為 20 n 1 50 30 50n 60 公差為 30 項數(shù)為 30 n 30 n 日的患者總人數(shù)為t30 n 30 n 50n 60 30 30 n 65n 495 65n2 2445n 14850 依題意得sn t30 n 8670 即 25n2 5n 65n2 2445n 14850 8670 化簡得n2 61n 588 0 解得n 12或n 49 1 n 30 n 12 故第12日的新患者人數(shù)為20 12 1 50 570 11月12日 該市感染此病毒的新患者人數(shù)最多 且這一天的新患者人數(shù)為570人 常量依次遞增 或遞減 則可建立等差數(shù)列模型 利用等差數(shù)列知識便可使問題順利解決 點評 在實際問題中 如果某一變量是離散型的 且按某一 變式訓練3某油庫已儲油料a噸 按計劃正式運營后的第一年進油量為已儲油量的25 以后每年的進油量為上一年年底儲油量的25 且每年運出b噸 設an為正式運營后第n年的儲油量 1 寫出an的表達式 不要求證明 2 為抵御突發(fā)事件 該油庫年底儲油量不得少于a噸 如果b a 該油庫能否長期按計劃運營 如果可以 請加以證明 如 果不行 請說明理由 取lg2 0 30 lg3 0 48 解析 1 依題意 油庫原有儲油量為a噸 則 a1 a b a2 a1 b 2a 1 b a3 a2 b 3a 2 1 b 猜想 an na n 1 n 2 1 b na 4 n 1 b n n 2 當b a時 該油庫第n年年底儲油量不少于a噸 即 na 4 n 1 a a 即 n 3 n lo3 4 8 所以不能長期運營 1 等差 等比數(shù)列是基本數(shù)列 往往結合實際問題出題 并與遞推公式相聯(lián)系 主要應用函數(shù)與方程 分類討論 化歸 整體等思想來解題 2 在解數(shù)列應用題時 要重視建模的方法 將實際問題轉化為數(shù)列問題 結論 其二是 存在性 問題 解題思路是 假設滿足條件的對象存在 在此基礎上 尋找出對象存在的條件 從而肯定假設 或推導出矛盾 從而推翻假設 得出結論 3 探索型問題是高考數(shù)列題中的重要題型之一 該問題有兩種形式 其一是不知結論 經(jīng)過自己去探索 發(fā)現(xiàn) 從而得到 例設數(shù)列 an 是由正數(shù)組成的等比數(shù)列 sn是其前n項和 證明 lgsn 1 錯解 sn sn 2 2qn 1 qn qn 2 q 1 2 qn0 q 0 sn sn 2 由對數(shù)函數(shù)的單調性知lg sn sn 2 lg 進而得 lgsn 1 剖析 上述過程中所用的求和公式 都是當q 1時才成立的 沒有考慮q 1時的情況 因此證明過程不完整 正解 需補上q 1時的情況 事實上 當q 1時 sn na1 sn sn 2 na1 n 2 a1 n 1 a1 2 0 sn sn 2 lgsn 1 一 選擇題 本大題共5小題 每小題6分 1 基礎再現(xiàn) 點pn n an n n 都在直線y x 1上 是 數(shù)列 an 為等差數(shù)列 的 a 充分但不必要條件 b 必要但不充分條件 c 充要條件 d 既不充分又不必要條件 件成立 若數(shù)列 an 為等差數(shù)列 則an不一定必須等于n 1 所以必要條件不成立 答案 a 解析 由已知可得 an n 1 an 是等差數(shù)列 所以充分條 2 視角拓展 某產(chǎn)品成本不斷下降 若每隔三年價格要降低25 現(xiàn)在價格是640元 則12年后的價格是 a 270元 b 210元 c 202 5元 d 125元 解析 由題意可知12年后價格應降了4次 所以12年后的價格為640 1 4 640 202 5元 答案 c 3 高度提升 已知正項數(shù)列 an 中 對一切正整數(shù)n 都有 anan 4 若a3 2 a7 4 則a15的值為 a 8 b 16 c 32 d 64 解析 由條件可知an an 2 an 4構成等比數(shù)列 a3 a5 a7 a9 a11 a13 a15構成等比數(shù)列 a3 a7 a11 a15構成公比為2的等比數(shù)列 故a15 16 答案 b 4 高度提升 在二次函數(shù)f x ax2 bx c中 a b c成等比數(shù)列 且f 0 4 則 a f x 有最大值2 b f x 有最小值1 c f x 有最小值 1 d f x 有最大值 3 而a 0 所以f x 有最大值 4 3 答案 d 解析 a b c成等比數(shù)列 b2 ac 又f 0 4 即c 4 從 5 能力綜合 已知數(shù)列 an bn 滿足a1 1 且an an 1是函數(shù)f x x2 bnx 2n的兩個零點 則b10等于 a 24 b 32 c 48 d 64 答案 d 解析 依題意有anan 1 2n 所以an 1an 2 2n 1 兩式相除 得 2 所以a1 a3 a5 成等比數(shù)列 a2 a4 a6 成等比數(shù)列 而a1 1 a2 2所以a10 2 24 32 a11 1 25 32 又因為an an 1 bn 所以b10 a10 a11 64 6 視角拓展 已知等差數(shù)列 an 對于函數(shù)f x x5 x3滿足 f a2 2 6 f a2013 4 6 sn是其前n項和 則s2014 解析 f x x5 x3 可知f x 是奇函數(shù)且遞增 由奇函數(shù)的性質可知 其圖像關于原點對稱 由f a2 2 6 f a2013 4 6 a2 2 a2013 4 即a2 a2013 6 s2014 6042 答案 6042 二 填空題 本大題共4小題 每小題7分 7 高度提升 已知函數(shù)f x 2x 等差數(shù)列 an 的公差為2 若f a2 a4 a6 a8 a10 4 則log2 f a1 f a2 f a3 f a10 解析 由條件和等差數(shù)列性質得a2 a4 a6 a8 a10 2 log2 f a1 f a2 f a10 log2 log2 log2 a1 a2 a10 2 a2 a4 a6 a8 a10 5 2 2 2 10 6 答案 6 8 視角拓展 如果一個數(shù)列 an 滿足an an 1 h 其中h為常數(shù) n n 且n 2 那么稱數(shù)列 an 為等和數(shù)列 h為公和 記sn是其前n項和 已知等和數(shù)列 an 中 a1 1 h 3 則a2012 s2013 解析 由an 3 an 1 得數(shù)列 an 為1 4 1 4 即an 故a2012 4 而s2013 s2012 a2013 1006 3 1 3017 答案 4 3017 9 高度提升 某學生聽到 周日去爬山 的喜訊后 1h內將這一喜訊傳給2個學生 這2個學生又以同樣的速度各傳給未聽到喜訊的另外2個學生 如果每個人只傳2人 這樣繼續(xù)下去 要把喜訊傳遍一個有2047個學生 包括第一人 的學校 所需時間為 即 2046 解得x 10 答案 10h 解析 設所需的時間為xh 則依題意有2 4 2x 2046 10 視角拓展 在數(shù)列 an 中 a1 2 an 1 4an 3n 1 n n 1 證明 數(shù)列 an n 是等比數(shù)列 2 求數(shù)列 an 的前n項和sn 三 解答題 本小題共3小題 每小題14分 所以數(shù)列 an 的前n項和sn a1 a2 an 1 4 42 4n 1 1 2 n 解析 1 由題設an 1 4an 3n 1 得an 1 n 1 4 an n n n 又a1 1 1 所以數(shù)列 an n 是首項為1 且公比為4的等比數(shù)列 2 由 1 可知an n 4n 1 于是數(shù)列 an 的通項公式為an 4n 1 n 11 高度提升 等差數(shù)列 an 的各項均為正數(shù) a1 3 前n項和為sn bn 為等比數(shù)列 b1 1 且b2s2 64 b3s3 960 1 求an與bn 2 求 由題意有 解得或 舍去 故an 3 2 n 1 2n 1 bn 8n 1 2 sn 3 5 2n 1 n n 2 解析 1 設 an 的公差為d bn 的公比為q 則d為正整數(shù) an 3 n 1 d bn qn 1 1 1 12 能力綜合 甲 乙兩個鋼鐵廠2010年的年產(chǎn)量均為100萬噸 兩廠通過革新煉鋼技術 改善生產(chǎn)條件等措施 預計從2011年起 在今后10年內 甲廠的年產(chǎn)量每年都比上一年增加10萬噸 以201