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培優(yōu)點九 線性規(guī)劃一、求線性目標的最值例1:設(shè)變量,滿足約束條件,則目標函數(shù)的最大值為【答案】【解析】由約束條件,作出可行域如圖,化目標函數(shù)為,由圖可知,當直線過時,直線在軸上的截距最大,有最大值為二、求非線性目標的最值例2:若滿足約束條件,則的取值范圍為()ABCD【答案】A【解析】作出約束條件所表示的的可行域如圖:表示區(qū)域內(nèi)的點與點連線的斜率,聯(lián)立方程組,可解得,同理可得,當直線經(jīng)過點時,斜率取最小值:;當直線經(jīng)過點時,斜率取最大值,則的取值范圍是,故選A三、線性規(guī)劃的含參問題例3:已知,滿足約束條件,若的最大值為,則()ABCD【答案】B【解析】作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖:(陰影部分)則,若過時取得最大值為,則,解得,此時,目標函數(shù)為,即,平移直線,當直線經(jīng)過時,截距最大,此時最大為,滿足條件,若過時取得最大值為,則,解得,此時,目標函數(shù)為,即,平移直線,當直線經(jīng)過時,截距最大,此時最大為,不滿足條件,故,故選B四、線性規(guī)劃的實際應用例4:某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品和產(chǎn)品需要甲、乙兩種新型材料生產(chǎn)一件產(chǎn)品需要甲材料,乙材料,用個工時;生產(chǎn)一件產(chǎn)品需要甲材料,乙材料,用個工時,生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為元該企業(yè)現(xiàn)有甲材料,乙材料,則在不超過個工時的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品、產(chǎn)品的利潤之和的最大值為元【答案】【解析】設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品、產(chǎn)品分別為、件,利潤之和為元,那么,目標函數(shù),二元一次不等式組等價于,作出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域(如圖),即可行域?qū)⒆冃?,得,平移直線,當直線經(jīng)過點時,取得最大值,解方程組,得的坐標,所以當,時,元對點增分集訓一、選擇題1已知滿足,若對任意都有成立,則的取值范圍是()ABCD【答案】D【解析】令,畫出表示的可行域,由可行域知,目標函數(shù)過點時取最大值,由可得,可得時,的最大值為要使恒成立,只需使目標函數(shù)的最大值小于等于即可,的取值范圍為故選D2已知變量,滿足的不等式組表示的平面區(qū)域是一個直角三角形,則實數(shù)()ABCD或【答案】D【解析】由約束條件作出可行域如圖,直線過定點,不等式組表示的平面區(qū)域是一個直角三角形,當時,平面區(qū)域為直角三角形及其內(nèi)部區(qū)域;當時,平面區(qū)域為直角三角形及其內(nèi)部區(qū)域的值應為或,故選D3若實數(shù)、滿足,則的最小值為()ABCD【答案】B【解析】,滿足,表示的可行域如圖,它的幾何意義是可行域內(nèi)的點與點的距離的平方減去顯然點到直線的距離最小,且最小值為,故選B4設(shè),滿足約束條件,則的最大值為()ABCD【答案】C【解析】由根據(jù)題意畫出對應的平面區(qū)域如圖,區(qū)域為滿足不等式組的所有點的集合,設(shè),當直線過點時,取最小值,且;當直線過點時,取最大值,且;,則,故選C5如果點在平面區(qū)域上,則的最大值和最小值分別是()A,B,C,D,【答案】B【解析】如圖,先作出點所在的平面區(qū)域:表示動點到定點距離的平方,當點在時,而點到直線的距離的平方為,的最小值為;當點在時,離最遠,的最大值為故選B6設(shè)變量,滿足約束條件,則的取值范圍是()ABCD【答案】C【解析】令,則,代入,得,作出可行域如圖,化為分別聯(lián)立方程組,解得,的范圍為故選C7設(shè)變量滿足約束條件,則目標函數(shù)的最大值為()ABCD【答案】C【解析】已知不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分,目標函數(shù)的幾何意義是直線在軸上的截距,由圖可知目標函數(shù)在點處取得最大值由,點,所以,故選C8已知實數(shù)滿足約束條件,若目標函數(shù)的最大值為,則的值為()ABCD【答案】C【解析】由已知條件作出可行域如圖所示,其中,目標函數(shù)可化為,當直線過點時最大,所以,解得,故選C9已知實數(shù)滿足,若目標函數(shù)的最大值為,最小值為,則實數(shù)的取值范圍是()ABCD【答案】C【解析】畫出可行域如下圖所示,依題意可知,目標函數(shù)在點取得最大值,在點取得最小值由圖可知,當時,;當時,實數(shù)的取值范圍是,故選C10已知,滿足約束條件,當目標函數(shù)(,)在該約束條件下取得最小值時,則的最小值為()ABCD【答案】C【解析】如下圖,畫出可行域,目標函數(shù)的斜率為,當目標函數(shù)過點時函數(shù)取得最小值,即,那么,等號成立的條件為故選C11某化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料,需要,三種主要原料生產(chǎn)車皮甲種肥料和生產(chǎn)車皮乙種肥料所需三種原料的噸數(shù)如下表所示:已知生產(chǎn)車皮甲種肥料,產(chǎn)生的利潤為萬元;生產(chǎn)車皮乙種肥料,產(chǎn)生的利潤為萬元現(xiàn)有種原料噸,種原料噸,種原料噸,在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)甲乙兩種肥料的最大利潤為()萬元ABCD【答案】B【解析】設(shè),表示生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車皮數(shù),利潤為萬元由已知,滿足,該二元一次不等式組所表示的區(qū)域為圖中的陰影部分目標函數(shù)是斜率為,隨變化的一束平行直線,為直線在軸上的截距,當取最大值時,的值最大又因為,滿足約束條件,所以由圖可知,當直線經(jīng)過可行域中的點時,截距的值最大,即的值最大,解方程組,得點的坐標為,故選B12設(shè)實數(shù),滿足約束條件,則的取值范圍是()ABCD【答案】A【解析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖:則,設(shè),則,由圖象可知直線經(jīng)過點時,斜率取得最大值;經(jīng)過點時,斜率取得最小值,當時,;當時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,可得故選A二、填空題13已知實數(shù),滿足,若的最大值為,則的最小值為【答案】【解析】作出可行域如圖,目標函數(shù)化簡得:,故只可能在處取最大值聯(lián)立,解得,聯(lián)立,解得,聯(lián)立,解得,若目標函數(shù)過點時,不符合題意,過時取得最大值,此時,解得,過點時,14已知變量,滿足,則的取值范圍是【答案】【解析】由變量,滿足,作出可行域如圖:由,解得;由,解得,的幾何意義為可行域內(nèi)動點與定點連線的斜率,的取值范圍是15某紡紗廠生產(chǎn)甲、乙兩種棉紗,已知生產(chǎn)甲種棉紗噸消耗一級子棉噸、二級子棉噸,生產(chǎn)乙種棉紗噸消耗一級子棉噸、二級子棉噸,每噸甲種、乙種棉紗的利潤分別是元和元,工廠在生產(chǎn)中要求消耗一級子棉不超過噸、二級子棉不超過噸,且甲種棉紗的產(chǎn)量不能超過乙種棉紗的產(chǎn)量噸在此條件下,生產(chǎn)甲、乙兩種棉紗可以獲得的最大利潤為元【答案】【解析】設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種棉紗分別為噸、噸,利潤總額為元,則有,目標函數(shù)為作出不等式組所表示的可行域,把變形為,其中是這條直線在軸上的截距,當直線經(jīng)過可行域上點時,截距最大,即最大解方程組,得的坐標為,16太極圖被稱為“中華第一圖”從孔廟大成殿梁祝,到樓觀臺、三茅宮、白外五觀的標記物;從道袍、卦攤、中醫(yī)、氣功、武術(shù)到南韓國、新加坡空軍機徽太極圖無不躍居其上這種廣為人知的太
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