（試題 試卷 真題）第20講 點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系

第20講點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系考綱要求備考指津1.了解直線和圓的位置關(guān)系，并會(huì)判斷直線和圓的位置關(guān)系2.了解點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，并會(huì)判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系3.了解切線的概念，并掌握切線的判定和性質(zhì)4.掌握三角形內(nèi)切圓的性質(zhì).直線與圓位置關(guān)系的判定是中考考查的熱點(diǎn)，通常出現(xiàn)在選擇題中中考考查的重點(diǎn)是切線的性質(zhì)和判定，題型多樣，常與三角形、四邊形、相似、函數(shù)等結(jié)合在一起綜合考查考點(diǎn)一點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1點(diǎn)和圓的位置關(guān)系：點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)2點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的判斷：如果圓的半徑是r，點(diǎn)到圓心的距離為d，那么點(diǎn)在圓外dr；點(diǎn)在圓上dr；點(diǎn)在圓內(nèi)dr.3過(guò)三點(diǎn)的圓(1)經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓：經(jīng)過(guò)在同一直線上的三點(diǎn)不能作圓；經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)圓(2)三角形的外心：經(jīng)過(guò)三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓；外接圓的圓心叫做三角形的外心 考點(diǎn)二直線與圓的位置關(guān)系1直線和圓的位置關(guān)系：相離、相切、相交2概念：(1)直線和圓有兩個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)我們就說(shuō)這條直線和圓相交；(2)直線和圓有唯一公共點(diǎn)，這時(shí)我們說(shuō)這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)點(diǎn)叫做切點(diǎn)；(3)直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)，這時(shí)我們說(shuō)這條直線和圓相離3直線和圓的位置關(guān)系的判斷：如果圓的半徑是r，直線l到圓心的距離為d，那么直線l和O相交dr；直線l和O相切dr；直線l和O相離dr.考點(diǎn)三切線的判定和性質(zhì)1切線的判定方法：(1)經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；(2)到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線2切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑 考點(diǎn)四三角形(多邊形)的內(nèi)切圓1與三角形(多邊形)內(nèi)切圓有關(guān)的一些概念：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心2三角形的內(nèi)心的性質(zhì)：三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，它到三邊的距離相等，且在三角形內(nèi)部1在數(shù)軸上，點(diǎn)A所表示的實(shí)數(shù)為3，點(diǎn)B所表示的實(shí)數(shù)為a，A的半徑為2.下列說(shuō)法中不正確的是()A當(dāng)a5時(shí)，點(diǎn)B在A內(nèi)B當(dāng)1a5時(shí)，點(diǎn)B在A內(nèi)C當(dāng)a1時(shí)，點(diǎn)B在A外D當(dāng)a5時(shí)，點(diǎn)B在A外2O的半徑為5，圓心O到直線l的距離為3，則直線l與O的位置關(guān)系是()A相交 B相切C相離 D無(wú)法確定3如圖，正三角形的內(nèi)切圓半徑為1，那么這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)為_(kāi)4如圖，AB是O的直徑，A30，延長(zhǎng)OB到D使BDOB(1)OBC是否是等邊三角形？說(shuō)明理由(2)求證：DC是O的切線一、直線與圓的位置關(guān)系【例1】 如圖，在RtABC中，C90，B30，BC4 cm，以點(diǎn)C為圓心，以2 cm的長(zhǎng)為半徑作圓，則C與AB的位置關(guān)系是()A相離B相切C相交D相切或相交解析：過(guò)點(diǎn)C作CDAB于DB30，BC4 cm，CD2 cm，即點(diǎn)C到AB的距離等于C的半徑故C與AB相切，故選B答案：B判斷某直線與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是計(jì)算圓心到該直線的距離并與圓的半徑進(jìn)行比較二、切線的性質(zhì)與判定【例2】 如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，AB經(jīng)過(guò)圓心O，且與小圓相交于點(diǎn)A，與大圓相交于點(diǎn)B小圓的切線AC與大圓相交于點(diǎn)D，且CO平分ACB(1)試判斷BC所在直線與小圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)試判斷線段AC，AD，BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)若AB8 cm，BC10 cm，求大圓與小圓圍成的圓環(huán)的面積(結(jié)果保留)解：(1)BC所在直線與小圓相切理由如下：如圖，過(guò)圓心O作OEBC，垂足為E，AC是小圓的切線，AB經(jīng)過(guò)圓心O，OAAC又CO平分ACB，OEBC，OEOABC所在直線是小圓的切線(2)ACADBC理由如下：如圖，連接ODAC切小圓O于點(diǎn)A，BC切小圓O于點(diǎn)E，CECA在RtOAD與RtOEB中，OAOE，ODOB，OADOEB90，RtOADRtOEB(HL)EBADBCCEEB，BCACAD(3)BAC90，AB8，BC10，AC6.BCACAD，ADBCAC4.圓環(huán)的面積SOD2OA2(OD2OA2)，又OD2OA2AD2，S4216(cm2)1切線的常用判定方法有兩種：一是用圓心到直線的距離等于圓的半徑；二是用經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑來(lái)說(shuō)明直線是圓的切線當(dāng)被說(shuō)明的直線與圓的公共點(diǎn)沒(méi)有給出時(shí)，用方法一；當(dāng)圓與直線的公共點(diǎn)已經(jīng)給出時(shí)，常用方法二說(shuō)明2利用切線的性質(zhì)時(shí)，常連接切點(diǎn)和圓心，構(gòu)造直角如圖，已知RtABC，ABC90，以直角邊AB為直徑作O，交斜邊AC于點(diǎn)D，連接BD(1)若AD3，BD4，求邊BC的長(zhǎng)；(2)取BC的中點(diǎn)E，連接ED，試證明ED與O相切三、三角形的內(nèi)切圓【例3】 如圖，RtABC中，C90，AC6，BC8.則ABC的內(nèi)切圓半徑r_.解析：在RtABC中，AB10.SACBACBC6824，r2.答案：2三角形的內(nèi)切圓半徑r=，其中S是三角形面積a，b，c是三角形三邊長(zhǎng)1(2011山東棗莊)如圖，PA是O的切線，切點(diǎn)為A，PA2，APO30，則O的半徑為()A1BC2 D42(2012山東菏澤)如圖，PA，PB是O的切線，A，B為切點(diǎn)，AC是O的直徑，若P46，則BAC_.3(2011江蘇宿遷)如圖，從O外一點(diǎn)A引圓的切線AB，切點(diǎn)為B，連接AO并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)C，連接BC若A26，則ACB的度數(shù)為_(kāi)4(2011山東濟(jì)寧)如圖，在RtABC中，C90，A60，BC4 cm，以點(diǎn)C為圓心，以3 cm長(zhǎng)為半徑作圓，則C與AB的位置關(guān)系是_5(2012山東臨沂)如圖，點(diǎn)A，B，C分別是O上的點(diǎn)，B60，AC3，CD是O的直徑，P是CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且APAC(1)求證：AP是O的切線；(2)求PD的長(zhǎng)1在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)(3,2)為圓心，3為半徑的圓一定()A與x軸相切，與y軸相切B與x軸相切，與y軸相交C與x軸相交，與y軸相切D與x軸相交，與y軸相交2如圖，已知O的直徑AB與弦AC的夾角為35，過(guò)C點(diǎn)的切線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，則P等于()A15 B20C25 D303如圖，已知O的半徑為R，AB是O的直徑，D是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DC是O的切線，C是切點(diǎn)，連接AC，若CAB30，則BD的長(zhǎng)為()A2R BRCR DR4如圖，在直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為正方形，頂點(diǎn)A，C在坐標(biāo)軸上，以邊AB為弦的M與x軸相切，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,8)，則圓心M的坐標(biāo)為()A(4,5)B(5,4)C(4,6)D(4,5)5如圖，ACB60，半徑為1 cm的O切BC于點(diǎn)C，若將O在CB上向右滾動(dòng)，則當(dāng)滾動(dòng)到O與CA相切時(shí)，圓心O移動(dòng)的水平距離是_cm.6如圖，AC是O的直徑，CB與O相切于點(diǎn)C，AB交O于點(diǎn)D已知B51，則DOC等于_度7如圖，已知直線AB是O的切線，A為切點(diǎn)，OB交O于點(diǎn)C，點(diǎn)D在O上，且OBA40，則ADC_.8如圖，直線AB與半徑為2的O相切于點(diǎn)C，D是O上一點(diǎn)，且EDC30，弦EFAB，則EF的長(zhǎng)度為_(kāi)9如圖，在ABC中，ABAC，D是BC中點(diǎn)，AE平分BAD交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)O是AB上一點(diǎn)，O過(guò)A，E兩點(diǎn)，交AD于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)F. (1)求證：BC與O相切；(2)當(dāng)BAC120時(shí)，求EFG的度數(shù)參考答案基礎(chǔ)自主導(dǎo)學(xué)自主測(cè)試1A2.A3.24解：(1)OBC是等邊三角形理由：A30，OAOC，AOCA.BOC2A60.OBOC，OBC是等邊三角形(2)證明：OBC是等邊三角形，且OBBD，OBBDBC.OCD為直角三角形，OCD90.又點(diǎn)C在圓O上，DC是O的切線規(guī)律方法探究變式訓(xùn)練解：(1)AB為O的直徑，ADB90.在RtADB中，AD3，BD4，AB5.在RtADB和RtABC中，ADBABC90，DABBAC.RtADBRtABC.，即.BC.(2)證明：如圖，連接OD. OB=OD，OBD=ODB.在RtBDC中，點(diǎn)E為斜邊BC的中點(diǎn)，EB=ED.EBD=EDB.OBD+EBD=ODB+EDB=90.ODDE，又OD為O的半徑ED與O相切知能優(yōu)化訓(xùn)練中考回顧1C2.233.324.相交5(1)證明：連接OA.B60，AOC2B120.又OAOC，ACPCAO30.AOP60.又ACAP，PACP30.OAP90.OAAP，AP是O的切線(2)解：連接AD.CD是O的直徑，CAD90.ADACtan 303.ADC