15桿件的塑性變形.doc

桿件的塑性變形15.1 概 述工程問題中絕大部分構(gòu)件必須在彈性范圍內(nèi)工作，不允許出現(xiàn)塑性變形。但有些問題確須考慮塑性變形。 15.2 金屬材料的塑性性質(zhì) 圖15.1是低碳鋼拉伸的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。過屈服極限后，應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系是非線性的有 （15.1）圖 15.1 低碳鋼拉伸的應(yīng)力-應(yīng)變曲線圖15.2 彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變 彈性范圍內(nèi)，應(yīng)力和應(yīng)變之間是單值對(duì)應(yīng)的。塑性階段卻并非如此，應(yīng)力和應(yīng)變不再是單值對(duì)應(yīng)的關(guān)系（如圖15.2）。 下面是幾種常見的塑性材料模型。圖15.3 理想彈塑性材料模型圖15.4剛塑性材料模型圖15.6剛塑性線性強(qiáng)化材料模型圖15.5線性強(qiáng)化材料模型圖15.7冪強(qiáng)化材料模型有時(shí)也把應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系近似地表為冪函數(shù)，冪強(qiáng)化材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線如圖15.7所示。15.3 拉伸和壓縮桿系的塑性分析現(xiàn)以圖15.8所示兩端固定的桿件為例來說明靜不定拉壓桿系的塑性分析，當(dāng)載荷逐漸增加時(shí)，桿件兩端的反力是圖15.8 兩端固支桿 (a)力作用點(diǎn)的位移是 (b)如則。隨著的增加，段的應(yīng)力將首先達(dá)到屈服極限。若相應(yīng)的載荷為，載荷作用點(diǎn)的位移為，由（）、（）兩式求得 由平衡方程可知 (c)載荷作用點(diǎn)的位移為 (d)段也進(jìn)入塑性階段時(shí)，由（）式求出相應(yīng)的載荷為圖15.9 三桿桁架載荷達(dá)到后，整個(gè)桿件都已進(jìn)入塑性變形。 例18.1 在圖15.9所示靜不定結(jié)構(gòu)中，設(shè)三桿的材料相同，橫截面面積同為。試求使結(jié)構(gòu)開始出現(xiàn)塑性變形的載荷、極限載荷。 解：以和分別表和桿的軸力，表?xiàng)U的軸力。令，得 (e)當(dāng)載荷逐漸增加時(shí)，桿的應(yīng)力首先達(dá)到，這時(shí)的載荷即為。由（）式的第二式得由此解出載荷繼續(xù)增加，中間桿的軸力保持為,兩側(cè)桿件仍然是彈性的。直至兩側(cè)的桿件的軸力也達(dá)到，相應(yīng)的載荷即為極限載荷。這時(shí)由節(jié)點(diǎn)的平衡方程知加載過程中，載荷與點(diǎn)位移的關(guān)系已表示于圖15.9中。15.4 圓軸的塑性扭轉(zhuǎn)圓軸受扭時(shí)，橫截面上的剪應(yīng)力沿半徑按線性規(guī)律分布，即 (a) 圖15.10 圓軸受扭轉(zhuǎn)隨著扭矩的逐漸增加，截面邊緣處的最大剪應(yīng)力首先達(dá)到剪切屈服極限（圖15.10）。若相應(yīng)的扭矩為，由（）式知 (b)極限扭矩，其值為取代入上式后完成積分，得 (15.4)達(dá)到極限扭矩后，軸已經(jīng)喪失承載能力。例18.2 設(shè)材料受扭時(shí)剪應(yīng)力和剪應(yīng)變的關(guān)系如圖15.11所示，并可近似地表為 式中m和皆為常量。試導(dǎo)出實(shí)心圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)力和變形的計(jì)算公式。圖15.11剪應(yīng)力和剪應(yīng)變的關(guān)系解：根據(jù)圓軸扭轉(zhuǎn)的平面假設(shè)，可以直接引用3.4中的（）式，求得橫截面上任意點(diǎn)處的剪應(yīng)變?yōu)?(d)式中是扭轉(zhuǎn)角沿軸線的變化率，為橫截面上一點(diǎn)到圓心的距離，即為該點(diǎn)剪應(yīng)變。（）式表明，沿橫截面半徑，各點(diǎn)的剪應(yīng)變是按直線規(guī)律變化的（圖15.11）。由（）、（）兩式求出 (e)或者寫成 (f)橫截面上的扭矩應(yīng)為取,并以(f)式代入上式， (g)從（）和（）兩式中消去，得剪應(yīng)力的計(jì)算公式 (h)令，得最大剪應(yīng)力為當(dāng)時(shí)，材料變?yōu)榫€彈性的，上式變?yōu)橛桑ǎ┦街视?積分求得相距為的兩個(gè)橫截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)為 (i)當(dāng)，時(shí)，上式化為這就是公式（3.17）。15.5 塑性彎曲和塑性鉸1551純彎曲 根據(jù)平面假設(shè)，橫截面上距中性軸為y的點(diǎn)的應(yīng)變?yōu)?(a)式中是曲線的曲率。靜力方程： (b) (c)在線彈性階段，有 (d)若以表示開始出現(xiàn)塑性變形時(shí)的彎距，由（）式知 (e) 載荷逐漸增加，橫截面上塑性區(qū)逐漸擴(kuò)大，且塑性區(qū)內(nèi)的應(yīng)力保持為（圖15.12）。最后，橫截面上只剩下鄰近中性軸的很小區(qū)域內(nèi)材料是彈性的。此時(shí)，無論在拉應(yīng)力區(qū)或壓應(yīng)力區(qū)，都有 如以和分別表示中性軸兩側(cè)拉應(yīng)力區(qū)和壓應(yīng)力區(qū)的面積，則靜力方程（）化為若整個(gè)橫截面面積為，則應(yīng)有故有 (15.5)圖 15.12 純彎曲極限情況下的彎矩即為極限彎矩，由靜力方程（）得圖15.14 矩形截面梁的橫力彎曲和塑性鉸 式中和分別是和的形心到中性軸的距離。利用公式（18.5）又可把上式寫成 (15.6)【例15.3】在純彎曲情況下，計(jì)算矩形截面梁和圓截面梁開始出現(xiàn)塑性變形時(shí)的彎矩和極限彎距。解：對(duì)矩形截面梁（圖15.13），由（）式得開始出現(xiàn)塑性變形的彎矩為由公式（15.13）求得極限彎矩為圖 15.13 矩形截面和圓截面和之比為所以從出現(xiàn)塑性變形到極限情況，彎矩增加了50%。 對(duì)圓截面梁,從開始塑性變形到極限情況，彎矩增加70%。15.5.2 橫力彎曲 橫力彎曲情況下，彎矩沿梁軸線變化，橫截面上除彎矩外還有剪力。圖15.14中陰影線的部分，為梁內(nèi)形成的塑性區(qū)。把坐標(biāo)原點(diǎn)放在跨度中點(diǎn)，并將坐標(biāo)為的橫截面上的應(yīng)力分布情況放大成圖15.14。在這一截面的塑性區(qū)內(nèi)，；彈性區(qū)內(nèi)，。為塑性區(qū)和彈性區(qū)的分界線到中性軸的距離。故截面上的彎矩應(yīng)為 (15.7)還可由載荷及反力算出這一橫截面上的彎矩為令以上兩式相等，得 (f)這就是梁內(nèi)塑性區(qū)邊界的方程。設(shè)開始出現(xiàn)塑性變形的截面的坐標(biāo)為，在（）式中，令，得由此求得塑性區(qū)的長(zhǎng)度為式中隨著載荷的增加,跨度中點(diǎn)截面上的最大彎矩最終達(dá)到極限值。15.6 梁的塑性分析對(duì)圖15.14中的靜定梁，跨度中點(diǎn)截面上的最大彎矩為。當(dāng)達(dá)到極限彎矩時(shí)，梁就在最大彎矩的截面上出現(xiàn)塑性鉸。這就是梁的極限狀態(tài)，這時(shí)的載荷也就是極限載荷。若梁的截面為矩形，于是極限載荷為對(duì)其他形式的靜定梁，也可按同樣的方法進(jìn)行塑性分析。以圖15.15所示靜不定梁為例，說明靜不定梁塑性分析的特點(diǎn)。根據(jù)塑性鉸上的力偶矩為，并利用平衡方程，便可求得極限載荷。由圖15.15所示極限狀態(tài)為例，由段的平衡方程，得再由整條梁的平衡方程，得圖15.15靜不定梁受集中載荷把的值代入上式后，解出 例154 在均布載荷作用下的靜不定梁如圖15.16所示。試求載荷的極限值。圖 15.16靜不定梁受均布載荷解：梁的極限狀態(tài)一般是跨度或跨度變成機(jī)構(gòu)?，F(xiàn)將上述兩種情況分別進(jìn)行討論。要使跨變成機(jī)構(gòu)，除、兩截面形成塑性鉸外，還必須在跨度內(nèi)的某一截面上形成塑性鉸（圖15.16）。由于對(duì)稱的原因，塑性鉸一定在跨度中點(diǎn)，且。再由部分的平衡方程，得 將代入上式，解出 （a）這是使跨達(dá)到極限狀態(tài)時(shí)的均布載荷。 現(xiàn)在討論跨度。要使它變成機(jī)構(gòu)，除支座截面要成為塑性鉸外，還要在跨度內(nèi)的某一截面上形成塑性鉸。設(shè)截面到支座的距離為。這樣可把跨分成圖15.16中的和兩部分。對(duì)這兩部分分別列出以下平衡方程： （b）從以上兩式中消去，得顯然應(yīng)取前的正號(hào)，即將的值代入（b）式的第一式，即 （c）這是使跨達(dá)到極限狀態(tài)時(shí)的均布載荷。比較（a）、（c）兩式，可見整個(gè)靜不定梁的極限載荷是。 15.7 殘余應(yīng)力的概念 載荷作用下的構(gòu)件，當(dāng)其某些局部的應(yīng)力超過屈服極限時(shí)，這些部位將出現(xiàn)塑性變形，但構(gòu)件的其余部分還是彈性的。如再將載荷解除，已經(jīng)發(fā)生塑性變形的部分不能恢復(fù)其原來尺寸，必將阻礙彈性部分的變形的恢復(fù)，從而引起內(nèi)部相互作用的應(yīng)力，這種應(yīng)力稱為殘余應(yīng)力。例15.6在矩形截面梁形成塑性區(qū)后，將載荷卸盡，試求梁截面邊緣處的應(yīng)力。設(shè)材料是理想彈塑性的。 解：當(dāng)矩形截面梁的橫截面上出現(xiàn)塑性區(qū)時(shí)，應(yīng)力分布表示于圖15.14。根據(jù)公式（15.7），截面上的彎矩為這時(shí)梁內(nèi)的最大應(yīng)力為。卸載過程相當(dāng)于把與上列彎矩?cái)?shù)值相等、方向相反的另一彎矩加于梁上，且它引起的應(yīng)力按線彈性公式計(jì)算，即最大應(yīng)力為疊加兩種情況，得截面邊緣處的殘余應(yīng)力為圖 15.18 殘余應(yīng)力由正彎矩引起的殘余應(yīng)力，在上邊緣處為拉應(yīng)力，下邊緣處為壓應(yīng)力，如圖15.18所示。15.8 塑性條件和塑性曲面受力構(gòu)件一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)，由它的三個(gè)主應(yīng)力來表示。按照第三強(qiáng)度理論，如對(duì)主應(yīng)力的記號(hào)采取的規(guī)定，材料開始屈服的塑性條件為公式（15.2）。如對(duì)主應(yīng)力的記號(hào)不采取的規(guī)定，即中的任一個(gè)都可能是最大或最小的主應(yīng)力，這時(shí)塑性條件（15.2）應(yīng)寫成 （a）在二向應(yīng)力狀態(tài)下，以上條件變?yōu)閳D15.19 當(dāng)時(shí)的塑性條件 圖15.20 在主應(yīng)力空間中的特雷斯卡塑性條件， （b） 塑性條件（b）在平面中是一個(gè)六角形，如圖15.19所示。在三向應(yīng)力的情況下，塑性條件（a）在應(yīng)力空間中是六個(gè)平面。這就是特雷斯卡塑性條件的幾何表示。如圖15.20所示。柱面以內(nèi)的點(diǎn)代表不發(fā)生塑性形變的應(yīng)力狀態(tài)，而柱面上的點(diǎn)代表進(jìn)入塑性形變的應(yīng)力狀態(tài)。這樣的柱面稱為塑性曲面。按照第四強(qiáng)度理論，材料的塑性條件為公式（15.3），即