不等式的基本性質(zhì)和證明的基本方法1.5.2綜合法和分析法導(dǎo)學(xué)案新人教B版.docx

1.5.2綜合法和分析法1.理解綜合法和分析法的概念.2.會用綜合法、分析法證明較為簡單的不等式.自學(xué)導(dǎo)引1. 綜合法：就是要從命題的已知條件出發(fā)，利用公理、已知的定義及定理，逐步推導(dǎo)，從而最后導(dǎo)出要證明的命題.2.分析法：從需要證明的命題出發(fā)，分析使這個命題成立的充分條件，利用已知的一些定理，逐步探索，最后達(dá)到命題所給出的條件(或者一個已證明過的定理或一個明顯的事實).基礎(chǔ)自測1.設(shè)a，bR，A，B，則A、B的大小關(guān)系是()A.aB B.ABC.AB D.A，只須證ab2ab，即20，a，bR，20，AB，選C.答案C2.若1x10，下面不等式中正確的是()A.(lg x)2lg x2lg(lg x)B.lg x2(lg x)2lg(lg x)C.(lg x)2lg(lg x)lg x2D.lg(lg x)(lg x)2lg x2解析1x10，0lg x1，lg(lg x)x，lg x2lg x(lg x)2，lg x2(lg x)2lg(lg x)，選D.答案D3.已知a，b，m都是正數(shù)，在空白處填上適當(dāng)?shù)牟坏忍?(1)當(dāng)a_b時，(2)當(dāng)a_b時，.解析當(dāng)ab時，才有，當(dāng)a8.證明x、y、z是互不相等的正數(shù)，且xyz1.1，11又0x1.同理1，18.知識點2分析法證明不等式【例2】 已知函數(shù)f(x)lg，x，若x1，x2且x1x2，求證：f(x1)f(x2)f.證明要證明原不等式，只需證明.事實上：0x1，x20，.即有l(wèi)glg，故f(x1)f(x2)f.反思感悟：在分析法中，每次所尋求的應(yīng)是使上一個結(jié)論成立的充分條件或充要條件，若只找到結(jié)論成立的必要條件則不一定能得到相應(yīng)的結(jié)論.從而造成證明上的邏輯錯誤.2.若a、bR，且ab1，求證： 2.證明 2ab12 4 1ab1ab.ab成立.原不等式成立.知識點3綜合利用綜合法與分析法證明不等式【例3】 在某兩個正數(shù)x，y之間，若插入一個數(shù)a，使x，a，y成等差數(shù)列；若插入兩個數(shù)b，c，使x，b，c，y成等比數(shù)列，求證：(a1)2(b1)(c1).證明由條件，得消去x，y，即得2a，且有a0，b0，c0.要證(a1)2(b1)(c1)只需證a1要證2abc，而2a，只需證bc即b3c3bc(bc)，b2c2bcbc(bc)20，上式顯然成立(a1)2(b1)(c1)得證.反思感悟：綜合法和分析法是思路完全相反的兩種方法.分析法易于探求解題思路.綜合法易于表述，在證明較復(fù)雜的不等式時，有時把分析法和綜合法結(jié)合起來使用.3.已知a、b是不等的正數(shù)，且a3b3a2b2.求證：1aba2abb2ab，且ab0，兩邊同除以ab，得ab1.欲證ab，即證3(ab)0，可證3(ab)24(ab)，而aba2abb2，即3(a22abb2)0.(ab)20，ab，則不等式成立，故ab成立.1ab.課堂小結(jié)用綜合法和分析法證明時應(yīng)注意證明的思路和方向上的差別，一個是“執(zhí)因索果”，而另一個則是“執(zhí)果求因”.在實際解題中，常用分析法思維，用綜合法表達(dá).對于比較復(fù)雜的問題，常常把分析法和綜合法結(jié)合起來使用.隨堂演練1.若a，b，cR，且abbcac1，則下列不等式成立的是() A.a2b2c22 B.(abc)23C.2 D.abc(abc)解析(abc)2a2b2c22ab2ac2bc3(abacbc)3，故應(yīng)選B.答案B2.已知0a10 B.logablogba20C.logablogba20 D.logablogba20解析0a1b，則logab0，logba0，且logab，logablogba2，logablogba2220，選D.答案D3.求證：2.證明2()2(2)21021042210，y0，證明：(1xy2)(1x2y)9xy.證明因為x0，y0，所以1xy230，1x2y30，故(1xy2)(1x2y)339xy.基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.a0，b0，下列不等式中不成立的是()A.2 B.a2b22abC.ab D.2解析由(0，)且(0，)，得2 ，所以A成立，B顯然成立，不等式C可變形為a3b3a2bab2(a2b2)(ab)0.答案D2.設(shè)a、b、x、y均為正數(shù)，且a、b為常數(shù)，x、y為變量，若xy1，則的最大值為()A. B.C. D.解析，故選B.答案B3.已知xyz，且xyz0，下列不等式中成立的是()A.xyyz B.xzyzC.xyxz D.x|y|z|y|解析由已知3xxyz0，3z0，zxz.答案C4.已知x0，y0，M，N，則M、N的大小關(guān)系是_.解析NNM0，NM.答案NM5.設(shè)a、b、cR，且a、b、c不全相等，則不等式a3b3c33abc成立的一個充要條件是_.解析a3b3c33abc(abc)(a2b2c2abacbc)(abc)(ab)2(bc)2(ac)2而a、b、c不全相等(ab)2(bc)2(ac)20a3b3c33abcabc0.答案abc06.已知|a|1，|b|1，求證：1.證明要證1，只需證|ab|1ab|，也只需證a22abb20，也就是(1a2)(1b2)0，|a|1，|b|1，最后一個不等式顯然成立.因此原不等式成立.綜合提高7.如果0mba，那么()A.coscoscosB.coscoscosC.coscoscosD.coscoscos解析用分析法易證(或用特值法)，01.由ycos x在上是減函數(shù)可得.答案A8.設(shè)0ab，ab1，下列不等式正確的是()A.b2aba2b2B.2aba2b2bC.2abba2b2D.2aba2b2bc，則與的大小關(guān)系為_.解析ab0，bc0，.答案10.設(shè)abc，且恒成立，則m的取值范圍是_.解析abc，ab0，bc0，ac0.又(ac)(ab)(bc)224，m(，4.答案(，411.已知實數(shù)a，b，c，d，且a2b21，c2d21，求證：|acbd|1.證明方法一：(分析法)要證|acbd|1，只需證明(acbd)21.即證a2c22abcdb2d21.a2b21，c2d21.上式即證a2c22abcdb2d2(a2b2)(c2d2)，即證(adbc)20.a，b，c，d都是實數(shù)，(adbc)20成立.|acbd|1.方法二：(綜合法)a，b，c，d都是實數(shù)，且a2b21，c2d21，|acbd|ac|bd|1.方法三：(三角換元法)a2b21，c2d21，可令asin ，bcos ，csin ，dcos ，|acbd|sin sin cos cos |cos()|1.12.設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且abcd.證明：(1)若abcd，則；(2)是|ab|cd|的充要條件.證明(1)因為()2ab2，()2cd2，由題設(shè)abcd，abcd，得()2()2.因此.(2)若|