高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 1.4 導數(shù)在實際生活中的應用 導數(shù)實際應用中的三類問題素材 蘇教版選修22.doc

1.4 導數(shù)實際應用中的三類問題導數(shù)有著廣泛的應用,比如:一.最優(yōu)化問題例1. 從一塊邊長為a的正三角形鐵皮的三個角上截去三個同樣大小的四邊形（如圖),然后按虛線把三邊折起做成一個無蓋的正棱柱形盒子，要截去多大的小四邊形方使盒子容積最大？分析: 將四邊形分解成兩個全等的直角三角形，將盒子高作為自變量，體積作為因變量，建立函數(shù)關系，運用導數(shù)求解解: 設盒子的高為x,則盒子的底面邊長為(), 得x或x.v在x(0,)上為增函數(shù)，在(,)上為減函數(shù)，v在x=處取得最大值，此時小四邊形面積.答：截去三個面積都為的四邊形時，盒子的容積最大.評析: 解空間幾何體有關的最值問題，要熟悉相關幾何體的形和數(shù)的特征二.學科間綜合問題例2.如圖,已知矩形的兩個頂點位于x軸上，另兩個頂點位于拋物線y=4-x2在x軸上方的曲線上，求這種矩形中面積最大者的邊長分析:由拋物線y=4-x2的圖象性質(zhì)可知，矩形是關于y軸對稱的，設矩形的長為2x，則寬為4-x2，利用面積公式，運用導數(shù)求解解: 設矩形的長為2x，則寬為4-x2,矩形面積s=2x(4-x2）=8x-2x3 (0x2),=8-6x2,令0得- x ,s在(0, )上為增函數(shù)，在(，2)上為減函數(shù)當x=時，矩形面積最大.答: 當矩形的長、寬分別為和時矩形面積最大.評析: 這是與解析幾何有關的問題，本題充分利用了拋物線的圖形特征和數(shù)量特征三.方案設計類例3. 有一塊邊長為4的正方形鋼板，現(xiàn)對其進行切割、焊接成一個長方體形無蓋容器（切、焊損耗忽略不計）.有人應用數(shù)學知識作了如下設計：如圖（a），在鋼板的四個角處各切去一個小正方形，剩余部分圍成一個長方體，該長方體的高為小正方形邊長，如圖（b）.（1）請你求出這種切割、焊接而成的長方體的最大容積v1；（2）由于上述設計存在缺陷（材料有所浪費），請你重新設計切、焊方法，使材料浪費減少，而且所得長方體容器的容積v2v1.分析: 本例主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、求最值等基礎知識，解決實際問題的關鍵在于建立數(shù)學模型和目標函數(shù)，若在函數(shù)的定義域內(nèi)函數(shù)只有一個極值點，該極值點即為函數(shù)的最值點.在第(2)問中,有多種設計方案,哪一種容器的容積最大呢?當然,原材料不浪費的情況下,最為優(yōu)化.解：（1）設切去正方形邊長為x，則焊接成的長方體的底面邊長為42x，高為x，v1=（42x）2x=4（x34x2+4x）（0x2）.v1=4（3x28x+4）.令v1=0，得x1=，x2=2（舍去）.而v1=12（x）（x2），又當x時，v10；當x2時，v10，當x=時，v1取最大值.（2）重新設計方案如下：如圖，在正方形的兩個角處各切下一個邊長為1的小正方形；如圖，將切下的小正方形焊在未切口的正方形一邊的中間；如圖，將圖焊成長方體容器.新焊長方體容器底面是一長方形，長為3，寬為2，此長方體容積v2=321=6，顯然v2v1.故第二種方案符合要求.解決實際應用問題的關鍵在于建立數(shù)學模型和目標函數(shù)，把“問題情景”譯為數(shù)學語言，找出問題的主要關系，并把問題的主要關系近似化、形式化，抽象