第3講 第二章 隨機變量及其分布.ppt

第二章隨機變量及其分布 第一節(jié)隨機變量 第二節(jié)離散型隨機變量及其分布律 第三節(jié)隨機變量的分布函數(shù) 第四節(jié)連續(xù)型隨機變量及其概率密度 第五節(jié)隨機變量的函數(shù)的分布 第一節(jié)隨機變量 隨機變量概念的產生引入隨機變量的意義隨機變量的分類 一 隨機變量概念的產生 在實際問題中 隨機試驗的結果可以用數(shù)量來表示 由此就產生了隨機變量的概念 1 有些試驗結果本身與數(shù)值有關 本身就是一個數(shù) 例如 擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點數(shù) 8月份蕪湖市的最高溫度 每天進入一號樓的人數(shù) 昆蟲的產卵數(shù) 2 在有些試驗中 試驗結果看來與數(shù)值無關 但我們可以引進一個變量來表示它的各種結果 也就是說 把試驗結果數(shù)值化 正如裁判員在運動場上不叫運動員的名字而叫號碼一樣 二者建立了一種對應關系 這種對應關系在數(shù)學上理解為定義了一種實值單值函數(shù) e X e R 這種實值函數(shù)與在高等數(shù)學中大家接觸到的函數(shù)不一樣 1 它隨試驗結果的不同而取不同的值 因而在試驗之前只知道它可能取值的范圍 而不能預先肯定它將取哪個值 2 由于試驗結果的出現(xiàn)具有一定的概率 于是這種實值函數(shù)取每個值和每個確定范圍內的值也有一定的概率 稱這種定義在樣本空間S上的實值單值函數(shù)X X e 為 隨 量 機 變 簡記為r v 隨機變量通常用大寫字母X Y Z W N等表示 有了隨機變量 隨機試驗中的各種事件 就可以通過隨機變量的關系式表達出來 二 引入隨機變量的意義 如 單位時間內某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)用X表示 它是一個隨機變量 事件 收到不少于1次呼叫 沒有收到呼叫 X1 X 0 隨機變量概念的產生是概率論發(fā)展史上的重大事件 引入隨機變量后 對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究 就由對事件及事件概率的研究擴大為對隨機變量及其取值規(guī)律的研究 事件及事件概率 隨機變量及其取值規(guī)律 我們將研究兩類隨機變量 如 取到次品的個數(shù) 收到的呼叫數(shù) 等 隨機變量 離散型隨機變量 其它型隨機變量 例如 電視機的壽命 實際中常遇到的 測量誤差 等 三 隨機變量的分類 連續(xù)型隨機變量 非離散型隨機變量 這兩種類型的隨機變量因為都是隨機變量 自然有很多相同或相似之處 但因其取值方式不同 又有其各自的特點 學習時請注意它們各自的特點和描述方法 解 分析 例1一報童賣報 每份0 15元 其成本為0 10元 報館每天給報童1000份報 并規(guī)定他不得把賣不出的報紙退回 設X為報童每天賣出的報紙份數(shù) 試將報童賠錢這一事件用隨機變量的表達式表示 當0 15X 1000 0 1時 報童賠錢 故 報童賠錢 X666 四 小結 在這一節(jié)中我們介紹了隨機變量及其分類 第二節(jié)離散型隨機變量及其分布律 離散型隨機變量分布律的定義離散型隨機變量表示方法三種常見分布小結 從中任取3個球 取到的白球數(shù)X是一個隨機變量 1 X可能取的值是0 1 2 2 取每個值的概率為 看一個例子 一 離散型隨機變量分布律的定義 定義1 某些隨機變量X的所有可能取值是有限多個或可列無限多個 這種隨機變量稱為離散型隨機變量 其中 k 1 2 滿足 2 定義2 設xk k 1 2 是離散型隨機變量X所取的一切可能值 稱 為離散型隨機變量X的分布律 用這兩條性質判斷一個函數(shù)是否是分布律 解 依據(jù)分布律的性質 a 0 從中解得 即 例2 設隨機變量X的分布律為 k 0 1 2 試確定常數(shù)a 二 離散型隨機變量表示方法 1 公式法 2 列表法 例3某籃球運動員投中籃圈概率是0 9 求他兩次獨立投籃投中次數(shù)X的概率分布 P X 0 0 1 0 1 0 01 P X 1 2 0 9 0 1 0 18 P X 2 0 9 0 9 0 81 解 X可取值為0 1 2 常常表示為 這就是X的分布律 例4某射手連續(xù)向一目標射擊 直到命中為止 已知他每發(fā)命中的概率是p 求所需射擊發(fā)數(shù)X的分布律 解 顯然 X可能取的值是1 2 P X 1 P A1 p 為計算P X k k 1 2 Ak 第k發(fā)命中 k 1 2 設 于是 可見 這就是求所需射擊發(fā)數(shù)X的分布律 例5一汽車沿一街道行駛 需要通過三個均設有紅綠信號燈的路口 每個信號燈為紅或綠與其它信號燈為紅或綠相互獨立 且紅綠兩種信號燈顯示的時間相等 以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù) 求X的分布律 解 依題意 X可取值0 1 2 3 P X 0 P A1 1 2 X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù) 即 X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù) 三 三種常見分布 1 0 1 分布 也稱兩點分布 隨機變量X只可能取0與1兩個值 其分布律為 看一個試驗將一枚均勻骰子拋擲3次 X的分布律是 2 伯努利試驗和二項分布 令X表示3次中出現(xiàn) 4 點的次數(shù) 擲骰子 擲出4點 未擲出4點 抽驗產品 是正品 是次品 一般地 設在一次試驗E中我們只考慮兩個互逆的結果 A或 這樣的試驗E稱為伯努利試驗 重復 是指這n次試驗中P A p保持不變 將伯努利試驗E獨立地重復地進行n次 則稱這一串重復的獨立試驗為n重伯努利試驗 獨立 是指各次試驗的結果互不影響 用X表示n重伯努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù) 則 易證 1 稱r vX服從參數(shù)為n和p的二項分布 記作 X b n p 例6已知100個產品中有5個次品 現(xiàn)從中有放回地取3次 每次任取1個 求在所取的3個中恰有2個次品的概率 解 因為這是有放回地取3次 因此這3次試驗的條件完全相同且獨立 它是貝努里試驗 依題意 每次試驗取到次品的概率為0 05 于是 所求概率為 若將本例中的 有放回 改為 無放回 那么各次試驗條件就不同了 此試驗就不是伯努利試驗 此時 只能用古典概型求解 請注意 伯努利試驗對試驗結果沒有等可能的要求 但有下述要求 1 每次試驗條件相同 二項分布描述的是n重伯努利試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)X的分布律 2 每次試驗只考慮兩個互逆結果A或 3 各次試驗相互獨立 可以簡單地說 且P A p 例7某類燈泡使用時數(shù)在1000小時以上的概率是0 2 求三個燈泡在使用1000小時以后最多只有一個壞了的概率 解 設X為三個燈泡在使用1000小時已壞的燈泡數(shù) X b 3 0 8 把觀察一個燈泡的使用時數(shù)看作一次試驗 使用到1000小時已壞 視為事件A 每次試驗 A出現(xiàn)的概率為0 8 P X1 P X 0 P X 1 0 2 3 3 0 8 0 2 2 0 104 3 泊松分布 設隨機變量X所有可能取的值為0 1 2 且概率分布為 其中 0是常數(shù) 則稱X服從參數(shù)為的泊松分布 記作X 例8一家商店采用科學管理 由該商店過去的銷售記錄知道 某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù) 5的泊松分布來描述 為了以95 以上的把握保證不脫銷 問商店在月底至少應進某種商品多少件 解 設該商品每月的銷售數(shù)為X 已知X服從參數(shù) 5的泊松分布 設商店在月底應進某種商品m件 進貨數(shù) 銷售數(shù) 查泊松分布表得 P X m 0 05 也即 于是得m 1 10 m 9件 對于離散型隨機變量 如果知道了它的分布律 也就知道了該隨機變量取值的概率規(guī)律 在這個意義上 我們說 這一節(jié) 我們介紹了離散型隨機變量及其分布律 并給出兩點分布 二項分布 泊松分布三種重要離散型隨機變量 離散型隨機變量由它的分布律唯一確定 四 小結 練習題 五 布置作業(yè) 概率統(tǒng)計 標準化作業(yè) 二 第三節(jié)隨機變量的分布函數(shù) 隨機變量分布函數(shù)的定義分布函數(shù)的性質小結 一 分布函數(shù)的定義 1 在分布函數(shù)的定義中 X是隨機變量 x是參變量 2 F x 是r vX取值不大于x的概率 3 對任意實數(shù)x1 x2 隨機點落在區(qū)間 x1 x2 內的概率為 P x1 Xx2 因此 只要知道了隨機變量X的分布函數(shù) 它的統(tǒng)計特性就可以得到全面的描述 P Xx2 P Xx1 F x2 F x1 請注意 分布函數(shù)是一個普通的函數(shù) 正是通過它 我們可以用高等數(shù)學的工具來研究隨機變量 當x 0時 Xx 故F x 0 例1 設隨機變量X的分布律為 當0 x 1時 F x P Xx P X 0 求X的分布函數(shù)F x 當1x 2時 F x P X 0 P X 1 當x2時 F x P X 0 P X 1 P X 2 1 故 注意右連續(xù) 下面我們從圖形上來看一下 的分布函數(shù)圖 設離散型r vX的分布律是 P X xk pk k 1 2 3 F x P Xx 即F x 是X取的諸值xk的概率之和 一般地 則其分布函數(shù) 二 分布函數(shù)的性質 1 如果一個函數(shù)具有上述性質 則一定是某個r vX的分布函數(shù) 也就是說 性質 1 3 是鑒別一個函數(shù)是否是某r v的分布函數(shù)的充分必要條件 3 F x 右連續(xù) 即 2 試說明F x 能否是某個r v的分布函數(shù) 例2設有函數(shù)F x 解注意到函數(shù)F x 在上下降 不滿足性質 1 故F x 不能是分布函數(shù) 不滿足性質 2 可見F x 也不能是r v的分布函數(shù) 或者 解設F x 為X的分布函數(shù) 當x 0時 F x P Xx 0 0 a 當x a時 F x 1 例3在區(qū)間 0 a 上任意投擲一個質點 以X表示這個質點的坐標 設這個質點落在 0 a 中意小區(qū)間內的概率與這個小區(qū)間的長度成正比 試求X的分布函數(shù) 當0 xa時 P 0Xx kx k為常數(shù) F x P Xx P X 0 P 0Xx x a 故 這就是在區(qū)間 0 a 上服從均勻分布的連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù) 三 小結 在這一節(jié)中 我們學習了隨機變量的分布函數(shù) 以及分布函數(shù)的性質 練習題 F x P Xx 故 四 布置作業(yè) 概率統(tǒng)計 標準化作業(yè) 二 第四節(jié)連續(xù)型隨機變量及其概率密度 連續(xù)型隨機變量及其概率密度的定義概率密度的性質三種重要的連續(xù)型隨機變量小結 引例 一個靶子是半徑為2米的圓盤 設擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與圓盤的面積成正比 并設射擊都能中靶 以X表示彈著點與圓心的距離 求隨機變量X的分布函數(shù)F x 分布函數(shù)F x 對于任意x可以寫成形式 連續(xù)型隨機變量X所有可能取值充滿一個區(qū)間 對這種類型的隨機變量 不能象離散型隨機變量那樣 以指定它取每個值概率的方式 去給出其概率分布 而是通過給出所謂 概率密度函數(shù) 的方式 下面我們就來介紹對連續(xù)型隨機變量的描述方法 則稱X為連續(xù)型隨機變量 稱f x 為X的概率密度函數(shù) 簡稱為概率密度 一 連續(xù)型隨機變量及其概率密度的定義 有 連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)在上連續(xù) 二 概率密度的性質 1o 2o 利用概率密度可確定隨機點落在某個范圍內的概率 對于任意實數(shù)x1 x2 x1 x2 若f x 在點x處連續(xù) 則有 故X的密度f x 在x這一點的值 恰好是X落在區(qū)間上的概率與區(qū)間長度之比的極限 這里 如果把概率理解為質量 f x 相當于線密度 若x是f x 的連續(xù)點 則 對f x 的進一步理解 若不計高階無窮小 有 表示隨機變量X取值于的概率近似等于 要注意的是 密度函數(shù)f x 在某點處a的高度 并不反映X取值的概率 但是 這個高度越大 則X取a附近的值的概率就越大 也可以說 在某點密度曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度 1 連續(xù)型r v取任一指定實數(shù)值a的概率均為0 即 這是因為 請注意 當時 得到 2 對連續(xù)型r vX 有 由P B 1 不能推出B S 由P A 0 不能推出 1 均勻分布 則稱X在區(qū)間 a b 上服從均勻分布 X U a b 三 三種重要的連續(xù)型隨機變量 若r vX的概率密度為 記作 公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的時間 即乘客的候車時間等 均勻分布常見于下列情形 如在數(shù)值計算中 由于四舍五入 小數(shù)點后某一位小數(shù)引入的誤差 例2某公共汽車站從上午7時起 每15分鐘來一班車 即7 00 7 15 7 30 7 45等時刻有汽車到達此站 如果乘客到達此站時間X是7 00到7 30之間的均勻隨機變量 試求他候車時間少于5分鐘的概率 解 依題意 X U 0 30 以7 00為起點0 以分為單位 為使候車時間X少于5分鐘 乘客必須在7 10到7 15之間 或在7 25到7 30之間到達車站 所求概率為 即乘客候車時間少于5分鐘的概率是1 3 指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計研究中 如元件的壽命 2 指數(shù)分布 若r vX具有概率密度 為常數(shù) 則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布 若X服從參數(shù)為的指數(shù)分布 則其分布函數(shù)為 事實上 當時 當時 3 正態(tài)分布 若連續(xù)型r vX的概率密度為 其中和 0 都是常數(shù) 則稱X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布或高斯分布 記作 事實上 則有 曲線關于軸對稱 x 為f x 的兩個拐點的橫坐標 當x 時 f x 0 f x 以x軸為漸近線 根據(jù)對密度函數(shù)的分析 也可初步畫出正態(tài)分布的概率密度曲線圖 決定了圖形的中心位置 決定了圖形中峰的陡峭程度 正態(tài)分布的圖形特點 正態(tài)分布的分布函數(shù) 正態(tài)分布由它的兩個參數(shù) 和 唯一確定 當 和 不同時 是不同的正態(tài)分布 標準正態(tài)分布 下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布 的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布 其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用和表示 標準正態(tài)分布 的性質 事實上 標準正態(tài)分布的重要性在于 任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉化為標準正態(tài)分布 定理1 證 Z的分布函數(shù)為 則有 根據(jù)定理1 只要將標準正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表 就可以解決一般正態(tài)分布的概率計算問題 于是 書末附有標準正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表 有了它 可以解決一般正態(tài)分布的概率計算查表 正態(tài)分布表 當x 0時 表中給的是x 0時 x 的值 若 若X N 0 1 由標準正態(tài)分布的查表計算可以求得 這說明 X的取值幾乎全部集中在 3 3 區(qū)間內 超出這個范圍的可能性僅占不到0 3 當X N 0 1 時 P X 1 2 1 1 0 6826 P X 2 2 2 1 0 9544 P X 3 2 3 1 0 9974 3準則 將上述結論推廣到一般的正態(tài)分布 這在統(tǒng)計學上稱作 3準則 N 0 1 時 標準正態(tài)分布的上分位點 設 若數(shù)滿足條件 解 P X h 0 01 或P X h 0 99 下面我們來求滿足上式的最小的h 看一個應用正態(tài)分布的例子 例公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機會在0 01以下來設計的 設男子身高X N 170 62 問車門高度應如何確定 設車門高度為hcm 按設計要求 因為X N 170 62 故P X h 查表得 2 33 0 9901 0 99 因而 2 33 即h 170 13 98184 設計車門高度為184厘米時 可使男子與車門碰頭機會不超過0 01 所以 這一節(jié) 我們介紹了連續(xù)型隨機變量及三種重要分布 即均勻分布 指數(shù)分布 正態(tài)分布 其中正態(tài)分布的應用極為廣泛 在本課程中我們一直要和它打交道 后面第五章中 我們還將介紹為什么這么多隨機現(xiàn)象都近似服從正態(tài)分布 四 小結 練習題 故 概率統(tǒng)計 標準化作業(yè) 二 五 布置作業(yè) 第五節(jié)隨機變量的函數(shù)的分布 問題的提出離散型隨機變量的函數(shù)的分布連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布小結 一 問題的提出 在實際中 人們常常對隨機變量的函數(shù)更感興趣 求截面面積A 的分布 比如 已知圓軸截面直徑d的分布 再比如 已知t t0時刻噪聲電壓V的分布 求功率W V2 R R為電阻 的分布等 設隨機變量X的分布已知 Y g X 設g是連續(xù)函數(shù) 如何由X的分布求出Y的分布 下面進行討論 這個問題無論在實踐中還是在理論上都是重要的 二 離散型隨機變量函數(shù)的分布 解 當X取值1 2 5時 Y取對應值5 7 13 而且X取某值與Y取其對應值是兩個同時發(fā)生的事件 兩者具有相同的概率 故 如果g xk 中有一些是相同的 把它們作適當并項即可 一般地 若X是離散型r v X的分布律為 則Y X2的分布律為 三 連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布 解設Y的分布函數(shù)為FY y FY y P Yy P 2X 8y P X FX 于是Y的密度函數(shù) 故 注意到0 x 4時 即8 y 16時 此時 Y 2X 8 當y 0時 注意到Y X20 故當y0時 解設Y和X的