第3講 第二章 隨機(jī)變量及其分布.ppt

第二章隨機(jī)變量及其分布 第一節(jié)隨機(jī)變量 第二節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布律 第三節(jié)隨機(jī)變量的分布函數(shù) 第四節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度 第五節(jié)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 第一節(jié)隨機(jī)變量 隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生引入隨機(jī)變量的意義隨機(jī)變量的分類 一 隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生 在實(shí)際問題中 隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)量來表示 由此就產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念 1 有些試驗(yàn)結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān) 本身就是一個數(shù) 例如 擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) 8月份蕪湖市的最高溫度 每天進(jìn)入一號樓的人數(shù) 昆蟲的產(chǎn)卵數(shù) 2 在有些試驗(yàn)中 試驗(yàn)結(jié)果看來與數(shù)值無關(guān) 但我們可以引進(jìn)一個變量來表示它的各種結(jié)果 也就是說 把試驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化 正如裁判員在運(yùn)動場上不叫運(yùn)動員的名字而叫號碼一樣 二者建立了一種對應(yīng)關(guān)系 這種對應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種實(shí)值單值函數(shù) e X e R 這種實(shí)值函數(shù)與在高等數(shù)學(xué)中大家接觸到的函數(shù)不一樣 1 它隨試驗(yàn)結(jié)果的不同而取不同的值 因而在試驗(yàn)之前只知道它可能取值的范圍 而不能預(yù)先肯定它將取哪個值 2 由于試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率 于是這種實(shí)值函數(shù)取每個值和每個確定范圍內(nèi)的值也有一定的概率 稱這種定義在樣本空間S上的實(shí)值單值函數(shù)X X e 為 隨 量 機(jī) 變 簡記為r v 隨機(jī)變量通常用大寫字母X Y Z W N等表示 有了隨機(jī)變量 隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件 就可以通過隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來 二 引入隨機(jī)變量的意義 如 單位時(shí)間內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)用X表示 它是一個隨機(jī)變量 事件 收到不少于1次呼叫 沒有收到呼叫 X1 X 0 隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件 引入隨機(jī)變量后 對隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究 就由對事件及事件概率的研究擴(kuò)大為對隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究 事件及事件概率 隨機(jī)變量及其取值規(guī)律 我們將研究兩類隨機(jī)變量 如 取到次品的個數(shù) 收到的呼叫數(shù) 等 隨機(jī)變量 離散型隨機(jī)變量 其它型隨機(jī)變量 例如 電視機(jī)的壽命 實(shí)際中常遇到的 測量誤差 等 三 隨機(jī)變量的分類 連續(xù)型隨機(jī)變量 非離散型隨機(jī)變量 這兩種類型的隨機(jī)變量因?yàn)槎际请S機(jī)變量 自然有很多相同或相似之處 但因其取值方式不同 又有其各自的特點(diǎn) 學(xué)習(xí)時(shí)請注意它們各自的特點(diǎn)和描述方法 解 分析 例1一報(bào)童賣報(bào) 每份0 15元 其成本為0 10元 報(bào)館每天給報(bào)童1000份報(bào) 并規(guī)定他不得把賣不出的報(bào)紙退回 設(shè)X為報(bào)童每天賣出的報(bào)紙份數(shù) 試將報(bào)童賠錢這一事件用隨機(jī)變量的表達(dá)式表示 當(dāng)0 15X 1000 0 1時(shí) 報(bào)童賠錢 故 報(bào)童賠錢 X666 四 小結(jié) 在這一節(jié)中我們介紹了隨機(jī)變量及其分類 第二節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布律 離散型隨機(jī)變量分布律的定義離散型隨機(jī)變量表示方法三種常見分布小結(jié) 從中任取3個球 取到的白球數(shù)X是一個隨機(jī)變量 1 X可能取的值是0 1 2 2 取每個值的概率為 看一個例子 一 離散型隨機(jī)變量分布律的定義 定義1 某些隨機(jī)變量X的所有可能取值是有限多個或可列無限多個 這種隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量 其中 k 1 2 滿足 2 定義2 設(shè)xk k 1 2 是離散型隨機(jī)變量X所取的一切可能值 稱 為離散型隨機(jī)變量X的分布律 用這兩條性質(zhì)判斷一個函數(shù)是否是分布律 解 依據(jù)分布律的性質(zhì) a 0 從中解得 即 例2 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為 k 0 1 2 試確定常數(shù)a 二 離散型隨機(jī)變量表示方法 1 公式法 2 列表法 例3某籃球運(yùn)動員投中籃圈概率是0 9 求他兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù)X的概率分布 P X 0 0 1 0 1 0 01 P X 1 2 0 9 0 1 0 18 P X 2 0 9 0 9 0 81 解 X可取值為0 1 2 常常表示為 這就是X的分布律 例4某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊 直到命中為止 已知他每發(fā)命中的概率是p 求所需射擊發(fā)數(shù)X的分布律 解 顯然 X可能取的值是1 2 P X 1 P A1 p 為計(jì)算P X k k 1 2 Ak 第k發(fā)命中 k 1 2 設(shè) 于是 可見 這就是求所需射擊發(fā)數(shù)X的分布律 例5一汽車沿一街道行駛 需要通過三個均設(shè)有紅綠信號燈的路口 每個信號燈為紅或綠與其它信號燈為紅或綠相互獨(dú)立 且紅綠兩種信號燈顯示的時(shí)間相等 以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù) 求X的分布律 解 依題意 X可取值0 1 2 3 P X 0 P A1 1 2 X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù) 即 X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù) 三 三種常見分布 1 0 1 分布 也稱兩點(diǎn)分布 隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個值 其分布律為 看一個試驗(yàn)將一枚均勻骰子拋擲3次 X的分布律是 2 伯努利試驗(yàn)和二項(xiàng)分布 令X表示3次中出現(xiàn) 4 點(diǎn)的次數(shù) 擲骰子 擲出4點(diǎn) 未擲出4點(diǎn) 抽驗(yàn)產(chǎn)品 是正品 是次品 一般地 設(shè)在一次試驗(yàn)E中我們只考慮兩個互逆的結(jié)果 A或 這樣的試驗(yàn)E稱為伯努利試驗(yàn) 重復(fù) 是指這n次試驗(yàn)中P A p保持不變 將伯努利試驗(yàn)E獨(dú)立地重復(fù)地進(jìn)行n次 則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn) 獨(dú)立 是指各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響 用X表示n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù) 則 易證 1 稱r vX服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布 記作 X b n p 例6已知100個產(chǎn)品中有5個次品 現(xiàn)從中有放回地取3次 每次任取1個 求在所取的3個中恰有2個次品的概率 解 因?yàn)檫@是有放回地取3次 因此這3次試驗(yàn)的條件完全相同且獨(dú)立 它是貝努里試驗(yàn) 依題意 每次試驗(yàn)取到次品的概率為0 05 于是 所求概率為 若將本例中的 有放回 改為 無放回 那么各次試驗(yàn)條件就不同了 此試驗(yàn)就不是伯努利試驗(yàn) 此時(shí) 只能用古典概型求解 請注意 伯努利試驗(yàn)對試驗(yàn)結(jié)果沒有等可能的要求 但有下述要求 1 每次試驗(yàn)條件相同 二項(xiàng)分布描述的是n重伯努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)X的分布律 2 每次試驗(yàn)只考慮兩個互逆結(jié)果A或 3 各次試驗(yàn)相互獨(dú)立 可以簡單地說 且P A p 例7某類燈泡使用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上的概率是0 2 求三個燈泡在使用1000小時(shí)以后最多只有一個壞了的概率 解 設(shè)X為三個燈泡在使用1000小時(shí)已壞的燈泡數(shù) X b 3 0 8 把觀察一個燈泡的使用時(shí)數(shù)看作一次試驗(yàn) 使用到1000小時(shí)已壞 視為事件A 每次試驗(yàn) A出現(xiàn)的概率為0 8 P X1 P X 0 P X 1 0 2 3 3 0 8 0 2 2 0 104 3 泊松分布 設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為0 1 2 且概率分布為 其中 0是常數(shù) 則稱X服從參數(shù)為的泊松分布 記作X 例8一家商店采用科學(xué)管理 由該商店過去的銷售記錄知道 某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù) 5的泊松分布來描述 為了以95 以上的把握保證不脫銷 問商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件 解 設(shè)該商品每月的銷售數(shù)為X 已知X服從參數(shù) 5的泊松分布 設(shè)商店在月底應(yīng)進(jìn)某種商品m件 進(jìn)貨數(shù) 銷售數(shù) 查泊松分布表得 P X m 0 05 也即 于是得m 1 10 m 9件 對于離散型隨機(jī)變量 如果知道了它的分布律 也就知道了該隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律 在這個意義上 我們說 這一節(jié) 我們介紹了離散型隨機(jī)變量及其分布律 并給出兩點(diǎn)分布 二項(xiàng)分布 泊松分布三種重要離散型隨機(jī)變量 離散型隨機(jī)變量由它的分布律唯一確定 四 小結(jié) 練習(xí)題 五 布置作業(yè) 概率統(tǒng)計(jì) 標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè) 二 第三節(jié)隨機(jī)變量的分布函數(shù) 隨機(jī)變量分布函數(shù)的定義分布函數(shù)的性質(zhì)小結(jié) 一 分布函數(shù)的定義 1 在分布函數(shù)的定義中 X是隨機(jī)變量 x是參變量 2 F x 是r vX取值不大于x的概率 3 對任意實(shí)數(shù)x1 x2 隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)間 x1 x2 內(nèi)的概率為 P x1 Xx2 因此 只要知道了隨機(jī)變量X的分布函數(shù) 它的統(tǒng)計(jì)特性就可以得到全面的描述 P Xx2 P Xx1 F x2 F x1 請注意 分布函數(shù)是一個普通的函數(shù) 正是通過它 我們可以用高等數(shù)學(xué)的工具來研究隨機(jī)變量 當(dāng)x 0時(shí) Xx 故F x 0 例1 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為 當(dāng)0 x 1時(shí) F x P Xx P X 0 求X的分布函數(shù)F x 當(dāng)1x 2時(shí) F x P X 0 P X 1 當(dāng)x2時(shí) F x P X 0 P X 1 P X 2 1 故 注意右連續(xù) 下面我們從圖形上來看一下 的分布函數(shù)圖 設(shè)離散型r vX的分布律是 P X xk pk k 1 2 3 F x P Xx 即F x 是X取的諸值xk的概率之和 一般地 則其分布函數(shù) 二 分布函數(shù)的性質(zhì) 1 如果一個函數(shù)具有上述性質(zhì) 則一定是某個r vX的分布函數(shù) 也就是說 性質(zhì) 1 3 是鑒別一個函數(shù)是否是某r v的分布函數(shù)的充分必要條件 3 F x 右連續(xù) 即 2 試說明F x 能否是某個r v的分布函數(shù) 例2設(shè)有函數(shù)F x 解注意到函數(shù)F x 在上下降 不滿足性質(zhì) 1 故F x 不能是分布函數(shù) 不滿足性質(zhì) 2 可見F x 也不能是r v的分布函數(shù) 或者 解設(shè)F x 為X的分布函數(shù) 當(dāng)x 0時(shí) F x P Xx 0 0 a 當(dāng)x a時(shí) F x 1 例3在區(qū)間 0 a 上任意投擲一個質(zhì)點(diǎn) 以X表示這個質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo) 設(shè)這個質(zhì)點(diǎn)落在 0 a 中意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比 試求X的分布函數(shù) 當(dāng)0 xa時(shí) P 0Xx kx k為常數(shù) F x P Xx P X 0 P 0Xx x a 故 這就是在區(qū)間 0 a 上服從均勻分布的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù) 三 小結(jié) 在這一節(jié)中 我們學(xué)習(xí)了隨機(jī)變量的分布函數(shù) 以及分布函數(shù)的性質(zhì) 練習(xí)題 F x P Xx 故 四 布置作業(yè) 概率統(tǒng)計(jì) 標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè) 二 第四節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的定義概率密度的性質(zhì)三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量小結(jié) 引例 一個靶子是半徑為2米的圓盤 設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點(diǎn)的概率與圓盤的面積成正比 并設(shè)射擊都能中靶 以X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離 求隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F x 分布函數(shù)F x 對于任意x可以寫成形式 連續(xù)型隨機(jī)變量X所有可能取值充滿一個區(qū)間 對這種類型的隨機(jī)變量 不能象離散型隨機(jī)變量那樣 以指定它取每個值概率的方式 去給出其概率分布 而是通過給出所謂 概率密度函數(shù) 的方式 下面我們就來介紹對連續(xù)型隨機(jī)變量的描述方法 則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量 稱f x 為X的概率密度函數(shù) 簡稱為概率密度 一 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的定義 有 連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)在上連續(xù) 二 概率密度的性質(zhì) 1o 2o 利用概率密度可確定隨機(jī)點(diǎn)落在某個范圍內(nèi)的概率 對于任意實(shí)數(shù)x1 x2 x1 x2 若f x 在點(diǎn)x處連續(xù) 則有 故X的密度f x 在x這一點(diǎn)的值 恰好是X落在區(qū)間上的概率與區(qū)間長度之比的極限 這里 如果把概率理解為質(zhì)量 f x 相當(dāng)于線密度 若x是f x 的連續(xù)點(diǎn) 則 對f x 的進(jìn)一步理解 若不計(jì)高階無窮小 有 表示隨機(jī)變量X取值于的概率近似等于 要注意的是 密度函數(shù)f x 在某點(diǎn)處a的高度 并不反映X取值的概率 但是 這個高度越大 則X取a附近的值的概率就越大 也可以說 在某點(diǎn)密度曲線的高度反映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度 1 連續(xù)型r v取任一指定實(shí)數(shù)值a的概率均為0 即 這是因?yàn)?請注意 當(dāng)時(shí) 得到 2 對連續(xù)型r vX 有 由P B 1 不能推出B S 由P A 0 不能推出 1 均勻分布 則稱X在區(qū)間 a b 上服從均勻分布 X U a b 三 三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量 若r vX的概率密度為 記作 公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的時(shí)間 即乘客的候車時(shí)間等 均勻分布常見于下列情形 如在數(shù)值計(jì)算中 由于四舍五入 小數(shù)點(diǎn)后某一位小數(shù)引入的誤差 例2某公共汽車站從上午7時(shí)起 每15分鐘來一班車 即7 00 7 15 7 30 7 45等時(shí)刻有汽車到達(dá)此站 如果乘客到達(dá)此站時(shí)間X是7 00到7 30之間的均勻隨機(jī)變量 試求他候車時(shí)間少于5分鐘的概率 解 依題意 X U 0 30 以7 00為起點(diǎn)0 以分為單位 為使候車時(shí)間X少于5分鐘 乘客必須在7 10到7 15之間 或在7 25到7 30之間到達(dá)車站 所求概率為 即乘客候車時(shí)間少于5分鐘的概率是1 3 指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計(jì)研究中 如元件的壽命 2 指數(shù)分布 若r vX具有概率密度 為常數(shù) 則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布 若X服從參數(shù)為的指數(shù)分布 則其分布函數(shù)為 事實(shí)上 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) 3 正態(tài)分布 若連續(xù)型r vX的概率密度為 其中和 0 都是常數(shù) 則稱X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布或高斯分布 記作 事實(shí)上 則有 曲線關(guān)于軸對稱 x 為f x 的兩個拐點(diǎn)的橫坐標(biāo) 當(dāng)x 時(shí) f x 0 f x 以x軸為漸近線 根據(jù)對密度函數(shù)的分析 也可初步畫出正態(tài)分布的概率密度曲線圖 決定了圖形的中心位置 決定了圖形中峰的陡峭程度 正態(tài)分布的圖形特點(diǎn) 正態(tài)分布的分布函數(shù) 正態(tài)分布由它的兩個參數(shù) 和 唯一確定 當(dāng) 和 不同時(shí) 是不同的正態(tài)分布 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布 的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用和表示 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 的性質(zhì) 事實(shí)上 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于 任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 定理1 證 Z的分布函數(shù)為 則有 根據(jù)定理1 只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表 就可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問題 于是 書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表 有了它 可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算查表 正態(tài)分布表 當(dāng)x 0時(shí) 表中給的是x 0時(shí) x 的值 若 若X N 0 1 由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計(jì)算可以求得 這說明 X的取值幾乎全部集中在 3 3 區(qū)間內(nèi) 超出這個范圍的可能性僅占不到0 3 當(dāng)X N 0 1 時(shí) P X 1 2 1 1 0 6826 P X 2 2 2 1 0 9544 P X 3 2 3 1 0 9974 3準(zhǔn)則 將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布 這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱作 3準(zhǔn)則 N 0 1 時(shí) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn) 設(shè) 若數(shù)滿足條件 解 P X h 0 01 或P X h 0 99 下面我們來求滿足上式的最小的h 看一個應(yīng)用正態(tài)分布的例子 例公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機(jī)會在0 01以下來設(shè)計(jì)的 設(shè)男子身高X N 170 62 問車門高度應(yīng)如何確定 設(shè)車門高度為hcm 按設(shè)計(jì)要求 因?yàn)閄 N 170 62 故P X h 查表得 2 33 0 9901 0 99 因而 2 33 即h 170 13 98184 設(shè)計(jì)車門高度為184厘米時(shí) 可使男子與車門碰頭機(jī)會不超過0 01 所以 這一節(jié) 我們介紹了連續(xù)型隨機(jī)變量及三種重要分布 即均勻分布 指數(shù)分布 正態(tài)分布 其中正態(tài)分布的應(yīng)用極為廣泛 在本課程中我們一直要和它打交道 后面第五章中 我們還將介紹為什么這么多隨機(jī)現(xiàn)象都近似服從正態(tài)分布 四 小結(jié) 練習(xí)題 故 概率統(tǒng)計(jì) 標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè) 二 五 布置作業(yè) 第五節(jié)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 問題的提出離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布小結(jié) 一 問題的提出 在實(shí)際中 人們常常對隨機(jī)變量的函數(shù)更感興趣 求截面面積A 的分布 比如 已知圓軸截面直徑d的分布 再比如 已知t t0時(shí)刻噪聲電壓V的分布 求功率W V2 R R為電阻 的分布等 設(shè)隨機(jī)變量X的分布已知 Y g X 設(shè)g是連續(xù)函數(shù) 如何由X的分布求出Y的分布 下面進(jìn)行討論 這個問題無論在實(shí)踐中還是在理論上都是重要的 二 離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 解 當(dāng)X取值1 2 5時(shí) Y取對應(yīng)值5 7 13 而且X取某值與Y取其對應(yīng)值是兩個同時(shí)發(fā)生的事件 兩者具有相同的概率 故 如果g xk 中有一些是相同的 把它們作適當(dāng)并項(xiàng)即可 一般地 若X是離散型r v X的分布律為 則Y X2的分布律為 三 連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 解設(shè)Y的分布函數(shù)為FY y FY y P Yy P 2X 8y P X FX 于是Y的密度函數(shù) 故 注意到0 x 4時(shí) 即8 y 16時(shí) 此時(shí) Y 2X 8 當(dāng)y 0時(shí) 注意到Y(jié) X20 故當(dāng)y0時(shí) 解設(shè)Y和X的