函數(shù)的極限(一).doc

函數(shù)的極限（一） 首先要求同學(xué)們用自己的語言，將數(shù)列和函數(shù)的極限在自變量一定趨向下的極限定義，準(zhǔn)確地寫在自己的筆記本上，并畫出極限的幾何意義，結(jié)合做習(xí)題，仔細體會其中的幾套特殊數(shù)學(xué)語言的含義，在邏輯上弄清哪個在先，哪個在后，哪個是前提，哪個是結(jié)果。更重要的是，應(yīng)努力使自己理解極限的動態(tài)過程，區(qū)別這樣的研究方式與中學(xué)所學(xué)習(xí)的內(nèi)容的研究方式究竟有什么不同，其本質(zhì)在哪里？ 第二，要把極限的性質(zhì)（以幾個定理形式出現(xiàn)），無窮大與無窮小，無窮小運算法則，極限的運算法則，和極限存在的兩個著名準(zhǔn)則等，逐步去理解，自己給自己多提些疑問。（說到這里，我還是感覺到大多數(shù)同學(xué)還不會提問，他只能按書上的話去劃線打杠杠，這實在令人失望。你沒有自己的語言嗎？不會用自己的語言把書上的內(nèi)容講出來，等于沒有學(xué)明白?。?總之，使自己能盡快適應(yīng)大學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)方式，否則，你很快就會落后，從差不多同一個起跑線上拉下來。 這個材料，我想針對我的教學(xué)體會，通過例子的形式，講一些書上沒有的東西，講一些大家通常容易犯的毛病，重點在基本概念和方法。我想，通過近一個星期的教學(xué)活動，大家對極限有了初步的認識，這個材料正逢其時，講早了，不行，講晚了，也不行，因為后面的內(nèi)容還多著呢，大家來不及消化。 我還是先把數(shù)列極限的概念進行再次消化。我提醒過大家：不要追求學(xué)習(xí)速度，把書看得飛快，只以會做書上的習(xí)題為衡量尺碼，不求深入理解，這樣的學(xué)習(xí)要不得。與其講速度，不如追求深度！ 好，請大家現(xiàn)在消化吧！一有關(guān)數(shù)列極限概念的一些問題例1.1 若不管是怎樣的正數(shù)，在A的鄰域內(nèi)總有數(shù)列的無窮多個項，那么能否講數(shù)列以A為極限？解：粗看似乎數(shù)列應(yīng)以A為極限，其實不然。按照數(shù)列極限的定義，是要求當(dāng)充分大后，所有的項都落在A的鄰域內(nèi)，幾何上是落在兩條平行線構(gòu)成的帶子內(nèi)?，F(xiàn)在題目說，在這個帶子內(nèi)有無窮多項。但是這里籠統(tǒng)地說無窮多項，并沒有一定包括了充分大以后的項，很可能有項序數(shù)小于的項，所以，還不能說以A為極限。例如下列數(shù)列： 可以看出，在2的鄰域內(nèi)（不管是怎樣的正數(shù)）總有數(shù)列的無窮多項，但是此數(shù)列不以A=2為極限，它在點O的鄰域內(nèi)總有其無窮個項，此數(shù)列是發(fā)散的（為什么？明白嗎？）。例1.2 若存在一個正數(shù)，在A的鄰域里只存在數(shù)列有限多個項，那么能否講數(shù)列不以A為極限？解：除了常數(shù)列外（包括當(dāng)充分大后數(shù)列為常數(shù)的情況），可以這樣講，因為不管取多大，總有數(shù)列的項不在A的鄰域之內(nèi)，這樣，當(dāng)時，總有數(shù)列中的項，使得，所以，數(shù)列不以A為極限。例1.3 如果把極限定義中“對于任意給定的正數(shù)，總存在，.”的”任意“兩個子去掉，行嗎？解：NO! 肯定不行！我們看個實際例子，看看這樣做會出現(xiàn)什么后果。數(shù)列顯然是沒有極限的，但如果照題目所說，將“任意”去掉，那么就可把這個數(shù)列變成有極限了。請看：給定正數(shù)，則數(shù)列從第一項起，就有 。因此按此就得出該數(shù)列的極限為0。這當(dāng)然是荒謬的。原因是必須是任意的，在等數(shù)時滿足那個不等式，在等時也要滿足，這就是的任意性。所以定義中的“任意”兩字不可以去掉，它是數(shù)列無限接近A的保證。請大家自己再另外找?guī)讉€例子去試試。（學(xué)數(shù)學(xué)要學(xué)會從正反兩方面去比較，有時一個反面的例子遠比照葫蘆畫瓢式的做習(xí)題管用，因為它能啟發(fā)你深入思考。你學(xué)會了嗎？）例1.4如果數(shù)列的極限已經(jīng)用定義加以證實，即已經(jīng)滿足“對于任意給定的正數(shù)，總存在，當(dāng)時，恒有”。問從第1項到第項，是否還需要驗證？解：NO！不需要了。定義中并沒有對第項前的各項提出任何要求，也就是說，第項前的各項可以有，也可以不成立。我們關(guān)心的是第項之后的情況。例1.5 有人說，若以A為極限，那么它只能是大于A趨向A，或小于A趨向A，不能是忽然大于A，忽然小于A地趨向與A，更不能在趨向A的過程中有。你說他這樣理解對嗎？解：他這樣理解是片面的。事實上，在極限的定義中有，這里有絕對值，也就是可以忽然大于A，忽然小于A。在趨向A的過程中出現(xiàn)，也是容許的。例1.6 請舉出以A為極限的四種情況：（1）大于A趨向A；（2）小于A趨向A；（3）忽然大于A，忽然小于A地趨向與A；（4）在趨向A的過程中有的。對這個例子的回答就留給各位同學(xué)了。例1.7 證明 。有幾個證法如下，你認為哪個對，哪個錯？理由是什么？證法1：任意給出一個很小的正數(shù)，如。顯然對于時，恒有下列不等式成立 。所以，這就證明了。證法2：對于任意給定的正數(shù)，欲使成立，等價于使 成立。因為 ，得到 。 故對于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，當(dāng)時，恒有 成立，即。證法3：對于任意給定的正數(shù)，欲使成立，即有 注意到 ，因此只要，也即只要就行。故對于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，當(dāng)時，恒有 成立，即。解：證法1顯然是錯的，因為它只對一個具體的正數(shù)找到了相應(yīng)的正數(shù)，并沒有證明對其他的任意正數(shù)，都存在相應(yīng)的正數(shù)。 證法2看起來似乎有道理，簡化了計算，其實也不對。原因在于由下列不等式 直接跨過中間一項，得到 ，導(dǎo)出，就出毛病了。因為這樣的結(jié)果并不能保證 成立。證法2用縮小法確定，知識不對的。我們一般在求遇到困難時，用放大法，請見證法3，它用了放大法。 證法3是正確的，因為當(dāng)時，恒有不等式 （%）成立?？赡苡腥苏J為證明3也不對，因為找到的不是正好合適的一個，可能存在比這個小的也能使不等式（%）成立。我們說，即使存在這樣的，也不影響上述證法的正確性。極限定義只要求當(dāng)時，恒有成立，它并不考慮比小的是否滿足。換言之，定義并不要求找到一個正好合適的，對從此以后的自然數(shù)有。因此，若存在一個對應(yīng)于任給正數(shù)的，那么取比這個大的任何正數(shù)都可以作為。例1.8 有人看了例1.7的討論，認為如果按證法3這樣來證明，就沒有一個準(zhǔn)確的標(biāo)準(zhǔn)了。他說，我可以證明 。他的證法如下：對于任給的正數(shù)，欲使 ，那么考慮到 ，因此只要 （&）成立就可以了。于是 就可以，取。你認為他的證法對嗎？若不對（肯定不對，因為極限值錯了），錯在哪里？解：他的證法是錯的。因為對任意的正數(shù)，式（&）對于就不可能成立。在課堂上，我們嚴(yán)格地證明了極限存在的唯一性。如果證明了，那么不可能再證出另一個。如何將嚴(yán)格證明的結(jié)論運用到實際問題中，這是數(shù)學(xué)能力的具體體現(xiàn)。請你先找出他的錯誤，然后考慮唯一性定理如何體現(xiàn)在這個問題中。好嗎？例1.9 證明數(shù)列 ：，以1為極限，其中通項在小數(shù)點后有個9。證：不難知，數(shù)列的通項還可以寫為。對任給的正數(shù)，欲使成立，即有，因此只要 就行。故對于任給的正數(shù)，總存在，當(dāng)時，恒有。所以 。有人要證明這個數(shù)列的極限是1.0001。他的證法如下，你看錯在何處？他的證明：任給，欲使 成立，即使 ，也即為。只要就行。 故對任給，總存在，當(dāng)時，恒有 ，即 。 注：我在課上曾多次要求大家自己做類似上述的練習(xí)。不知有多少人去自覺地做了？估計做的人不會多，因為我只聽到只有一位同學(xué)試過。我很泄氣，為什么推不動大家呢？是我的啟發(fā)式教學(xué)不符合當(dāng)今的學(xué)習(xí)胃口嗎？我該怎樣引導(dǎo)與啟發(fā)才能使大家有所觸動，有所行動？例1.10 設(shè)數(shù)列以A為極限。在這個數(shù)列中任意增加或減少有限個項后所形成的新數(shù)列仍然以A為極限。分析：在證明之前，我們從直觀上看這個結(jié)論是明顯成立的。因為數(shù)列是否以A為極限，主要是看當(dāng)充分大后，與A的距離是否可以任意地小。在數(shù)列中去掉或增加有限個項，只能改變數(shù)列前面（包括減少或增加后的項）有限項的規(guī)律，卻不會改變充分大后的規(guī)律，所以極限不變。證： 假設(shè)增加了項，并設(shè)這些增加了的個項在新數(shù)列中的下標(biāo)序號最大者為。因為已知，即對任給，總存在正整數(shù)，當(dāng)時，恒有。那么對于新數(shù)列，只要時，就恒有，所以有。二函數(shù)的極限上面我們花了較大的篇幅討論了數(shù)列的極限的若干常見的錯誤認識，這些討論也同樣適用于函數(shù)的極限，只是函數(shù)的極限要分幾種情況，并需要用有點區(qū)別的“語言”：數(shù)列極限用“”語言，要求出對應(yīng)于的“門檻”；函數(shù)極限分為6種情況。1）當(dāng)時函數(shù)：（）：對于任給，若總存在實數(shù)，當(dāng)時，恒有，則稱為在時的極限。這種情況與數(shù)列非常相似，區(qū)別僅在于數(shù)列的“自變量”是項序數(shù)，它是離散變化的；而函數(shù)的自變量則是連續(xù)變化的。相同之處都是設(shè)立“門檻”，由于自變量的不同，一個設(shè)的是正整數(shù)，而另一個設(shè)的是正數(shù)。所以函數(shù)在情況下的極限是數(shù)列極限最接近最自然的轉(zhuǎn)換。2）當(dāng)時函數(shù)：（）：對于任給，若總存在實數(shù)，當(dāng)時，恒有，則稱為在時的極限。3) 當(dāng)時函數(shù)：（）：對于任給，若總存在正數(shù)，當(dāng)時，恒有，則稱為在時的極限。情況3）是情況1)和2)同時存在時的合并，即在自變量的兩種相反的趨向下，極限相同時的情況。不是所有分別有1）和2）的函數(shù)，一定滿足3）的情況。例如，。在時，；在時有。因此指數(shù)函數(shù)在時不存在極限。但是，在和時，極限都為0，故可記為。在上述3種情況下，任給，所要確定的仍然如數(shù)列極限時的“門檻”值，超過這個門檻后（，或取，則可合并為），恒有。上述語言記為“”語言。你熟悉它了嗎？記住這些定義的方式，是畫出他們的幾何表示，即畫圖。請把你對上述定義的理解畫出來。4）當(dāng)?shù)内呄蛳?，要確定的是的一個去心鄰域：，所以確定是這種情況下的關(guān)鍵。對于任給的，總存在正數(shù)，當(dāng)?shù)娜≈滴挥谌バ泥徲蛑畠?nèi)后，恒有，則稱為在時的極限。所以在的情況下，要確定的不再是門檻，而是鄰域的界限。這個鄰域的兩端界限點和對于來說是對稱的，這對具體確定鄰域的界限帶來不便，因為大多數(shù)函數(shù)在兩邊是不對稱的，所以要注意如何確定這個。我在課堂上用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)做了詳細的演示，請大家仔細體會，并加以實際練習(xí)。5）單側(cè)極限記號表示當(dāng)大于而趨向于的過程中，函數(shù)以為極限。這叫右極限。記號表示當(dāng)小于而趨向于的過程中，函數(shù)以為極限。這叫左極限。函數(shù)在處的左、右極限存在且相等，是當(dāng)時極限存在的充要條件。例2.1 用極限定義證明：。證法1：對于任給的，欲使 ，等價于 。若時，即。注意到不對稱的情況，故取，則當(dāng)時，恒有。（這里要想清楚，為什么取絕對值形式，而不直接?。浚┤?，那么要有，則取，則當(dāng)時，恒有。證法2：對于任給的，欲使 ，當(dāng)時，即時，有。這樣， ，即 。 故對任給的，取，當(dāng)時，恒有。可以總結(jié)出，用定義驗證函數(shù)極限時，找或的方法可分為兩類：一是解不等式找出或；另一種則是用縮小的方法找出或。請大家自己從做習(xí)題中體會這兩類方法。例2.2 有人認為，若有，那么，即求極限就等于求函數(shù)值。這種認識對嗎？給出理由。解：這種認識顯然是模糊的，不準(zhǔn)確的。應(yīng)該弄清楚極限值與函數(shù)值的意義是不同的。前者研究的是在自變量的一定趨向下函數(shù)的變化趨向，如果這種趨向有確定的值，此值就是極限值；而后者是函數(shù)在處的值，即當(dāng)在有定義，只要把的值帶入到函數(shù)中，就得到。因此不能把兩者混為一談。有這樣的例子，函數(shù)在沒有定義，卻當(dāng)時，有極限。例如，在處沒有定義，但 ，上式的最后一步可用定義加以驗證。還可舉出這樣的例子，在處有定義，但與在時的極限值不等。例如， 。因此，但。為了弄清概念，再舉在處有定義，但時的極限不存在的例子。如 ，顯然，但 ， 左右極限不等，所以不存在。從以上的討論中，我們可以進一步體會在極限的定義中，鄰域中大于0（即去心）的必要性，換言之，在研究當(dāng)趨向下的函數(shù)極限時，是不考慮在的情況的。希望同學(xué)們徹底理解這一點（而不是牢記這一點）。例2.3 如果當(dāng)時，函數(shù)有極限，其極限值為。證明：必存在的一個去心鄰域，在這個鄰域中恒有。證：本題就是我們在課上講到的局部保號性定理。在課堂上我們沒有直接證，提示大家，可作為局部保序性定理在取時的特例。這當(dāng)然是正確的推論。這里作為練習(xí)，我們把它再證一次，目的是讓大家再次熟悉“”語言。由于，故對于任給，總存在正數(shù)，使得當(dāng)時，恒有，即。因此，為了使，只需取為小于的正數(shù)就可以了。為此，?。ㄒ部梢匀』虻鹊?，這樣取法不影響保號的實質(zhì)性），對于此，有上面的分析知必存在正數(shù)，當(dāng)時，就有 。這就是說，存在著的一個去心鄰域，在此鄰域內(nèi)，。三無窮大與無窮小，有界與無界函數(shù)極限是微積分的主要工具或能撬起微積分的杠桿，無窮小是支撐極限的支點，所以，可以說，“給我一個無窮小做支點，我可以用極限做杠桿，將微積分撬起來”，這不是大話，而是形象地刻畫了極限與無窮小的地位。極限與無窮小的關(guān)系，可以用極限基本定理了描述。大家一定要牢固地掌握這個定理。在計算函數(shù)極限時，函數(shù)的有界性常起到簡化計算的作用。要特別注意，一個函數(shù)的有界與否，一定跟自變量的一定的趨向或區(qū)間有關(guān)，離開這些談有界與否，沒有意義。因為數(shù)列是函數(shù)的特殊情況，所以數(shù)列也有無窮大與無窮小，有界與無界的概念。例3.1 如果，能否得出或者？解：如果 能夠成立，那么，由 ，可以得出 或 。但是， 的成立時有條件的，即要求數(shù)列和數(shù)列都收斂。但題目中沒有提及這樣的條件，所以不能推出這個結(jié)果。為說明問題，舉一個反例。令，則它們的乘積等于0：，所以有，但是和 都不存在，因此談不上它們的極限為零。例3.2 有人說函數(shù)是無窮小量，也有人說它是無窮大量，這些說法對嗎？解：初學(xué)者常常這么說，但這些說法是不清楚的。在沒有指出自變量的趨向下，講一個函數(shù)是無窮大或無窮小，都沒有意義。在自變量的不同趨向下，同一個函數(shù)可以有不同的趨向。例如，函數(shù)，在時是無窮大量，在時卻是無窮小量。所以不能籠統(tǒng)地講。例3.3 證明：當(dāng)時，函數(shù)是無界函數(shù)而不是無窮大量。證：所謂時，是無界，指不存在一個正數(shù)，當(dāng)充分大時，恒有；或者換一種說法，對任意給定的正數(shù)，函數(shù)定義域上存在一點，使。因此，取數(shù)列，由此得 。因此，不管給定什么正數(shù)，當(dāng)充分大時，總是大于。這樣就證明了是無界函數(shù)。另一方面，若取數(shù)列，可見，不管取多大，總有是函數(shù)的零點（即使函數(shù)值等于零的點）。故當(dāng)時，函數(shù)的極限不是無窮大，所以不是無窮大量。又因是偶函數(shù)，所以當(dāng)時，它是無界的但不是無窮大量。 這個例子給出無窮大和無界函數(shù)的區(qū)別。 最后，我還想給大家介紹一個重要的分析結(jié)果區(qū)間套原理。例