高中數(shù)學(xué) 8.6拋物線配套課件 北師大版.ppt

第六節(jié)拋物線 三年15考高考指數(shù) 1 掌握拋物線的定義 幾何圖形 標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 范圍 對(duì)稱性 頂點(diǎn) 離心率 2 理解數(shù)形結(jié)合的思想 3 了解拋物線的實(shí)際背景及拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用 1 拋物線的定義 標(biāo)準(zhǔn)方程 幾何性質(zhì)是高考的重點(diǎn) 拋物線的焦點(diǎn)弦是高考的熱點(diǎn) 有時(shí)與其他知識(shí)交匯命題 2 多以選擇題和填空題為主 屬中 低檔題目 有時(shí)也會(huì)在解答題中出現(xiàn) 屬中 高檔題目 1 拋物線的定義滿足以下三個(gè)條件的點(diǎn)的集合是拋物線 1 在平面內(nèi) 2 動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)f距離與到定直線l的距離 3 定點(diǎn) 定直線上 相等 不在 即時(shí)應(yīng)用 1 思考 在拋物線的定義中 若定點(diǎn)f在定直線l上 動(dòng)點(diǎn)的集合是什么 提示 若定點(diǎn)f在定直線l上 則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為過(guò)點(diǎn)f與定直線l垂直的一條直線 2 若動(dòng)點(diǎn)p到點(diǎn)f 0 2 的距離與它到直線y 2 0的距離相等 則點(diǎn)p的集合是 其方程為 解析 由拋物線的定義知 點(diǎn)p的軌跡是以點(diǎn)f 0 2 為焦點(diǎn) y 2為準(zhǔn)線的拋物線 其方程為 x2 8y 答案 拋物線x2 8y 2 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 離心率 頂點(diǎn)坐標(biāo) 范圍 對(duì)稱軸 準(zhǔn)線方程 焦點(diǎn)坐標(biāo) 性質(zhì) 圖形 標(biāo)準(zhǔn)方程 y軸 y 0 o 0 0 e 1 x2 2py p 0 x2 2py p 0 y軸 y 0 即時(shí)應(yīng)用 1 思考 拋物線y2 2px p 0 上任意一點(diǎn)m x0 y0 到焦點(diǎn)f的距離與點(diǎn)m的橫坐標(biāo)x0有何關(guān)系 若拋物線方程為x2 2py p 0 結(jié)果如何 提示 由拋物線的定義得 mf x0 若拋物線方程為x2 2py p 0 則 mf y0 2 拋物線y 4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 解析 拋物線y 4x2的標(biāo)準(zhǔn)方程為 所以2p 再由拋物線的焦點(diǎn)在y軸的非正半軸上 所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 0 答案 0 3 頂點(diǎn)在原點(diǎn) 對(duì)稱軸是x軸 且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等于6的拋物線方程是 解析 因?yàn)閽佄锞€頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等于6 所以 6 又因?yàn)轫旤c(diǎn)在原點(diǎn) 對(duì)稱軸是x軸 所以拋物線方程為 y2 24x 答案 y2 24x 拋物線的定義及其應(yīng)用 方法點(diǎn)睛 利用拋物線的定義可解決的常見(jiàn)問(wèn)題 1 拋物線的判定 用拋物線的定義可以確定動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與到定直線距離相等的點(diǎn)的集合 2 距離問(wèn)題 涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離 到準(zhǔn)線的距離問(wèn)題時(shí) 注意利用拋物線的定義進(jìn)行兩者之間的轉(zhuǎn)化 提醒 注意一定要驗(yàn)證定點(diǎn)是否在定直線上 例1 1 若點(diǎn)p到直線x 1 0的距離比它到點(diǎn)m 2 0 的距離小1 則點(diǎn)p的集合為 其方程為 2 設(shè)p是拋物線y2 4x上的一動(dòng)點(diǎn) 拋物線的焦點(diǎn)為f 求點(diǎn)p到a 1 1 的距離與點(diǎn)p到直線x 1的距離之和的最小值 若b 3 2 求 pb pf 的最小值 解題指南 1 本題可化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等的點(diǎn)的集合問(wèn)題 判定形狀后確定其方程 2 注意到直線x 1為拋物線的準(zhǔn)線 利用拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離相等 即可解決 規(guī)范解答 1 因?yàn)辄c(diǎn)p到直線x 1 0的距離比它到點(diǎn)m 2 0 的距離小1 所以點(diǎn)p到直線x 2的距離與它到點(diǎn)m 2 0 的距離相等 且m 2 0 不在直線x 2上 故點(diǎn)的集合為拋物線 其方程為y2 8x 答案 拋物線y2 8x 2 由于a 1 1 f 1 0 p是拋物線上的任意一點(diǎn) 則 ap pf af 從而知點(diǎn)p到a 1 1 的距離與點(diǎn)p到f 1 0 的距離之和的最小值為 所以點(diǎn)p到a 1 1 的距離與p到直線x 1的距離之和的最小值也為 如圖所示 自點(diǎn)b作bq垂直于拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)q 交拋物線于點(diǎn)p1 此時(shí) p1q p1f 那么 pb pf p1b p1q bq 4 即最小值為4 q o p1 f x y b 3 2 互動(dòng)探究 1 本例 1 中 m 2 0 改為 m 2 0 如何求點(diǎn)p的集合 2 本例 2 中 b 3 2 改為 b 1 5 結(jié)果如何 解析 1 本例 1 中 m 2 0 改為 m 2 0 則說(shuō)明動(dòng)點(diǎn)p到定點(diǎn)m 2 0 的距離與它到定直線x 2的距離相等 且點(diǎn)m在定直線上 所以點(diǎn)p的集合為一條直線 2 因?yàn)辄c(diǎn)b的坐標(biāo)為 1 5 且拋物線方程為y2 4x 所以該點(diǎn)在拋物線外 要求使 pb pf 最小的點(diǎn)p 只需bf連線與拋物線相交 其交點(diǎn)即為所求p點(diǎn) 此時(shí) 最小值即 bf 的長(zhǎng) bf 5 反思 感悟 本題 1 是利用拋物線的定義來(lái)求解 在求動(dòng)點(diǎn)的集合或其方程時(shí)一定要注意圓錐曲線的定義 這樣能起到事半功倍的效果 2 與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題 一般情況下都與拋物線的定義有關(guān) 將點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離 或?qū)⒌浇裹c(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離 變式備選 若動(dòng)圓與圓 x 2 2 y2 1外切 又與直線x 1 0相切 求動(dòng)圓圓心的集合及其方程 解析 方法一 設(shè)動(dòng)圓半徑為r 動(dòng)圓圓心坐標(biāo)為o x y 因動(dòng)圓與圓 x 2 2 y2 1外切 則o 到 2 0 的距離為r 1 動(dòng)圓與直線x 1 0相切 o 到直線x 1 0的距離為r 所以o 到 2 0 的距離與到直線x 2的距離相等 故o 的集合是以 2 0 為焦點(diǎn) 直線x 2為準(zhǔn)線的拋物線 其方程為y2 8x 方法二 設(shè)動(dòng)圓圓心坐標(biāo)為o x y 動(dòng)圓半徑為r 據(jù)題意有 化簡(jiǎn)得y2 8x 即動(dòng)圓圓心的集合為拋物線 其方程為y2 8x 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 方法點(diǎn)睛 1 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法及注意事項(xiàng) 1 方法 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法 因?yàn)槲粗獢?shù)只有p 所以 只需一個(gè)條件確定p值即可 2 注意事項(xiàng) 因?yàn)閽佄锞€方程有四種標(biāo)準(zhǔn)形式 因此求拋物線方程時(shí) 需先定位 再定量 2 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)的應(yīng)用由拋物線的方程可求x y的范圍 從而確定開(kāi)口方向 由方程可判斷其對(duì)稱軸 求p值 確定焦點(diǎn)坐標(biāo)等 常用數(shù)形結(jié)合法 提醒 拋物線方程中的參數(shù)p 0 其幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 例2 2012 西安模擬 過(guò)拋物線y2 2px p 0 焦點(diǎn)f的直線與拋物線交于a b兩點(diǎn) m n為準(zhǔn)線l上兩點(diǎn) am l bn l m n為垂足 c為線段ab的中點(diǎn) d為線段mn的中點(diǎn) cd交拋物線于點(diǎn)e 下列結(jié)論中正確的是 把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上 為定值 以ab為直徑的圓與l相切 以mn為直徑的圓與ab所在的直線相切 以af為直徑的圓與y軸相切 e為線段cd的中點(diǎn) 解題指南 數(shù)形結(jié)合 充分利用拋物線的定義解答 規(guī)范解答 1 當(dāng)ab x軸時(shí) 如圖所示 f 0 a p b p 為定值 故 正確 顯然都正確 2 當(dāng)直線ab的斜率存在時(shí) 如圖所示 設(shè)ab y k x a x1 y1 b x2 y2 由得 正確 如圖 由拋物線的定義 得 ab am bn cd am bn ab 以ab為直徑的圓與l切于點(diǎn)d 正確 連結(jié)mf nf 則mf nf df mn 以mn為直徑的圓與ab切于點(diǎn)f 正確 設(shè)am與y軸交于點(diǎn)g 則 af of ag 同 的判斷 得以af為直徑的圓與y軸相切 正確 由以上知 c點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 設(shè)e x0 y0 則 正確 答案 反思 感悟 1 解答本題 可用特值法 即做完規(guī)范解答的第一步就可下結(jié)論 2 研究圓錐曲線的幾何性質(zhì)時(shí) 常數(shù)形結(jié)合 利用平面幾何的相關(guān)知識(shí)求解 變式訓(xùn)練 1 2011 山東高考 設(shè)m x0 y0 為拋物線c x2 8y上一點(diǎn) f為拋物線c的焦點(diǎn) 以f為圓心 fm 為半徑的圓和拋物線c的準(zhǔn)線相交 則y0的取值范圍是 a 0 2 b 0 2 c 2 d 2 解析 選c 設(shè)圓的半徑為r 因?yàn)閒 0 2 是圓心 拋物線c的準(zhǔn)線方程為y 2 由圓與準(zhǔn)線相交知416 所以8y0 y0 2 2 16 即有y20 4y0 12 0 解得y0 2或y02 2 將兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y2 2px p 0 上 另一個(gè)頂點(diǎn)是此拋物線焦點(diǎn)的正三角形個(gè)數(shù)記為n 則 a n 0 b n 1 c n 2 d n 3 解析 選c 根據(jù)拋物線的對(duì)稱性 正三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)一定關(guān)于x軸對(duì)稱 且過(guò)焦點(diǎn)的兩條直線傾斜角分別為30 和150 這時(shí)過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線最多只有兩個(gè)交點(diǎn) 如圖 所以正三角形的個(gè)數(shù)n 2 變式備選 已知拋物線y2 2px p 0 的準(zhǔn)線與圓x2 y2 6x 7 0相切 則p的值為 a b 1 c 2 d 4 解析 選c 由y2 2px 得拋物線準(zhǔn)線方程x 圓x2 y2 6x 7 0可化為 x 3 2 y2 16 由圓心到準(zhǔn)線的距離等于半徑得 3 4 所以p 2 直線與拋物線的位置關(guān)系 方法點(diǎn)睛 1 直線與拋物線的位置關(guān)系的判定設(shè)直線方程ax by c 0與拋物線方程y2 2px p 0 聯(lián)立 消去x得到關(guān)于y的方程my2 ny l 0 直線與拋物線 方程特征 交點(diǎn)個(gè)數(shù) 位置關(guān)系 m 0 m 0 0 m 0 0 m 0 0 1 2 1 0 直線與拋物線的對(duì)稱軸平行或重合 兩者相交 相交 相切 相離 2 直線與拋物線相交的幾個(gè)結(jié)論已知拋物線y2 2px p 0 過(guò)其焦點(diǎn)的直線交拋物線于a b兩點(diǎn) 設(shè)a x1 y1 b x2 y2 則有以下結(jié)論 1 ab x1 x2 p或 為ab所在直線的傾斜角 2 x1x2 3 y1y2 p2 4 過(guò)拋物線焦點(diǎn)且與對(duì)稱軸垂直的弦稱為拋物線的通徑 拋物線的通徑長(zhǎng)為2p 提醒 直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn) 并不表明直線與拋物線相切 因?yàn)楫?dāng)直線與對(duì)稱軸平行 或重合 時(shí) 直線與拋物線也只有一個(gè)交點(diǎn) 例3 已知拋物線c y2 2px p 0 過(guò)點(diǎn)a 1 2 1 求拋物線c的方程 并求其準(zhǔn)線方程 2 是否存在平行于oa o為坐標(biāo)原點(diǎn) 的直線l 使得直線l與拋物線c有公共點(diǎn) 且直線oa與l的距離等于 若存在 求直線l的方程 若不存在 說(shuō)明理由 解題指南 1 用待定系數(shù)法求出拋物線方程及其準(zhǔn)線方程 2 依題意設(shè)直線l的方程為y 2x t 聯(lián)立直線與拋物線的方程 利用判別式限制參數(shù)t的范圍 再由直線oa與直線l的距離等于列出方程 求出t的值 規(guī)范解答 1 將 1 2 代入y2 2px 得 2 2 2p 1 p 2 故所求的拋物線方程為y2 4x 其準(zhǔn)線方程為x 1 2 假設(shè)存在符合題意的直線l 其方程為y 2x t 由得y2 2y 2t 0 因?yàn)橹本€l與拋物線c有公共點(diǎn) 所以 4 8t 0 解得t 另一方面 由直線oa與直線l的距離等于可得 t 1 由于 1 1 所以符合題意的直線l存在 其方程為y 2x 1 反思 感悟 1 求拋物線方程 一般是先設(shè)出拋物線方程 注意拋物線的開(kāi)口方向 焦點(diǎn)的位置 用待定系數(shù)法求解 2 研究直線與拋物線的位置關(guān)系與研究直線與橢圓 雙曲線的位置關(guān)系的方法類似 一般是聯(lián)立兩方程 但涉及拋物線的弦長(zhǎng) 中點(diǎn) 距離等問(wèn)題時(shí) 要注意 設(shè)而不求 整體代入 點(diǎn)差法 以及定義的靈活應(yīng)用 變式訓(xùn)練 2011 大綱版全國(guó)卷 已知拋物線c y2 4x的焦點(diǎn)為f 直線y 2x 4與拋物線c交于a b兩點(diǎn) 則cos afb a b c d 解析 選d 聯(lián)立消y得x2 5x 4 0 解得x 1或x 4 不妨設(shè)a在x軸上方 于是a b的坐標(biāo)分別為 4 4 1 2 可求 ab 3 af 5 bf 2 利用余弦定理cos afb 滿分指導(dǎo) 直線與拋物線綜合問(wèn)題的規(guī)范解答 典例 12分 2011 福建高考 已知直線l y x m m r 1 若以點(diǎn)m 2 0 為圓心的圓與直線l相切于點(diǎn)p 且點(diǎn)p在y軸上 求該圓的方程 2 若直線l關(guān)于x軸對(duì)稱的直線為l 問(wèn)直線l 與拋物線c x2 4y是否相切 說(shuō)明理由 解題指南 1 由題意得出點(diǎn)p坐標(biāo) 根據(jù)切線特點(diǎn)求出點(diǎn)p坐標(biāo) 從而求出圓的半徑 然后寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 求解本題也可根據(jù)條件先設(shè)出圓的方程 然后根據(jù)圓與直線相切的條件列關(guān)系式求解 2 由l的方程求得l 的方程 將l 的方程與拋物線c的方程聯(lián)立 得一元二次方程 然后依據(jù)對(duì)應(yīng)判別式 來(lái)判定兩者能否相切 規(guī)范解答 方法一 1 依題意 點(diǎn)p的坐標(biāo)為 0 m 因?yàn)閙p l 所以 1 1 解得m 2 即點(diǎn)p坐標(biāo)為 0 2 2分從而圓的半徑故所求圓的方程為 x 2 2 y2 8 6分 2 因?yàn)橹本€l的方程為y x m 所以直線l 的方程為y x m 由得x2 4x 4m 0 8分 42 4 4m 16 1 m 當(dāng)m 1 即 0時(shí) 直線l 與拋物線c相切 當(dāng)m 1 即 0時(shí) 直線l 與拋物線c不相切 11分綜上 當(dāng)m 1時(shí) 直線l 與拋物線c相切 當(dāng)m 1時(shí) 直線l 與拋物線c不相切 12分 方法二 1 設(shè)所求圓的半徑為r 則圓的方程可設(shè)為 x 2 2 y2 r2 依題意 所求圓與直線l y x m相切于點(diǎn)p 0 m 則解得 4分所以所求圓的方程為 x 2 2 y2 8 6分 2 同方法一 閱卷人點(diǎn)撥 通過(guò)高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié) 我們可以得到以下失分警示和備考建議 1 2012 南昌模擬 設(shè)斜率為2的直線l過(guò)拋物線y2 ax a 0 的焦點(diǎn)f 且和y軸交于點(diǎn)a 若 oaf o為坐標(biāo)原點(diǎn) 的面積為4 則拋物線方程為 a y2 4x b y2 8x c y2 4x d y2 8x 解析 選b 由題意得f 0 則l y 2 x 令x 0 得y 即a 0 s oaf of oa 4 a2 64 a 8 拋物線的方程為y2 8x 2 2011 新課標(biāo)全國(guó)卷 已知直線l過(guò)拋物線c的焦點(diǎn)f 且與c的對(duì)稱軸垂直 l與c交于a b兩點(diǎn) ab 12 p為c的準(zhǔn)線上一點(diǎn) 則 abp的面積為 a 18 b 24 c 36 d 48 解析 選c 由題知 ab 2p 12 得p 6 又點(diǎn)p到直線ab的距離為p 6 s abp ab 6 36 3 2011 遼寧高考 已知f是拋物線y2 x的焦點(diǎn) a b是該拋物線上的兩點(diǎn) af bf 3 則