（通用版）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 平面解析幾何 分層限時(shí)跟蹤練46.doc

分層限時(shí)跟蹤練(四十六)(限時(shí)40分鐘)一、選擇題1(2015福建高考)若雙曲線e：1的左、右焦點(diǎn)分別為f1，f2，點(diǎn)p在雙曲線e上，且|pf1|3，則|pf2|等于()a11b9c5d3【解析】由題意知a3，b4，c5.由雙曲線的定義有|pf1|pf2|3|pf2|2a6，|pf2|9.【答案】b2(2015湖南高考)若雙曲線1的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(3，4)，則此雙曲線的離心率為()a. b. c. d.【解析】由雙曲線的漸近線過點(diǎn)(3，4)知，.又b2c2a2，即e21，e2，e.【答案】d3(2015天津高考)已知雙曲線1(a0，b0)的一個(gè)焦點(diǎn)為f(2,0)，且雙曲線的漸近線與圓(x2)2y23相切，則雙曲線的方程為()a.1 b.1 c.y21 dx21【解析】由雙曲線的漸近線yx與圓(x2)2y23相切可知解得故所求雙曲線的方程為x21.【答案】d4已知雙曲線1的離心率為3，有一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線yx2的焦點(diǎn)相同，那么雙曲線的漸近線方程為()a2xy0bx2y0cx2y0d2xy0【解析】由拋物線方程知其焦點(diǎn)為(0,3)，因?yàn)殡p曲線有一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)相同，所以雙曲線焦點(diǎn)在y軸上，所以n0，m0，漸近線方程為yx.又e3，19，所以雙曲線的漸近線方程為y.【答案】b5(2015全國卷)已知a，b為雙曲線e的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)m在e上，abm為等腰三角形，且頂角為120，則e的離心率為()a.b2 c.d.【解析】不妨取點(diǎn)m在第一象限，如圖所示，設(shè)雙曲線方程為1(a0，b0)，則|bm|ab|2a，mbx18012060，m點(diǎn)的坐標(biāo)為.m點(diǎn)在雙曲線上，1，ab，ca，e.故選d.【答案】d二、填空題6(2015北京高考)已知(2,0)是雙曲線x21(b0)的一個(gè)焦點(diǎn)，則b_.【解析】由題意得，雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，且c2.根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可知a21.又c2a2b2，所以b23.又b0，所以b.【答案】7(2015全國卷)已知雙曲線過點(diǎn)(4，)，且漸近線方程為yx，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_【解析】雙曲線的漸近線方程為yx，可設(shè)雙曲線的方程為x24y2(0)雙曲線過點(diǎn)(4，)，164()24，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.【答案】y218(2015湖南高考)設(shè)f是雙曲線c：1的一個(gè)焦點(diǎn)若c上存在點(diǎn)p, 使線段pf的中點(diǎn)恰為其虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，則c的離心率為_【解析】不妨設(shè)f(c,0)，pf的中點(diǎn)為(0，b)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知p(c,2b)又點(diǎn)p在雙曲線上，則1，故5，即e.【答案】三、解答題9已知?jiǎng)訄Am與圓c1：(x4)2y22外切，與圓c2：(x4)2y22內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心m的軌跡方程【解】設(shè)動(dòng)圓m的半徑為r，則由已知|mc1|r，|mc2|r，|mc1|mc2|2，又c1(4,0)，c2(4,0)，|c1c2|8，2|c1c2|.根據(jù)雙曲線定義知，點(diǎn)m的軌跡是以c1(4,0)、c2(4,0)為焦點(diǎn)的雙曲線的右支又a，c4，b2c2a214，點(diǎn)m的軌跡方程是1(x)10(2015濰坊模擬)已知雙曲線1(a0，b0)的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離等于，過右焦點(diǎn)f2的直線l交雙曲線于a、b兩點(diǎn)，f1為左焦點(diǎn)(1)求雙曲線的方程；(2)若f1ab的面積等于6，求直線l的方程【解】(1)依題意，b，2a1，c2，雙曲線的方程為x21.(2)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，由(1)知f2(2,0)易驗(yàn)證當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)不滿足題意，故可設(shè)直線l：yk(x2)，由消元得(k23)x24k2x4k230，k時(shí)，x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)，f1ab的面積sc|y1y2|2|k|x1x2|2|k|12|k|6.得k48k290，則k1.所以直線l方程為yx2或yx2.1若雙曲線1(a0，b0)和橢圓1(mn0)有共同的焦點(diǎn)f1，f2(f1為左焦點(diǎn)，f2為右焦點(diǎn))，p是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則|pf1|pf2|()am2a2 b.c.(ma)dma【解析】不妨設(shè)點(diǎn)p是第一象限內(nèi)的兩曲線的交點(diǎn)，由橢圓定義知，|pf1|pf2|2，由雙曲線的定義知，|pf1|pf2|2，求得|pf1|，|pf2|，所以|pf1|pf2|()()ma.【答案】d2(2015遼寧五校聯(lián)考)已知f1，f2是雙曲線1(a0，b0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，以線段f1f2為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)m，與雙曲線交于點(diǎn)n(設(shè)點(diǎn)m，n均在第一象限)，當(dāng)直線mf1與直線on平行時(shí)，雙曲線的離心率取值為e0，則e0所在的區(qū)間為()a(1，)b(，)c(，2)d(2,3)【解析】由得n，同理得m(a，b)，又f1(c,0)，則kmf1，kon，mf1on，a(ac)b，化簡得2a2cc32ac22a3，即2ee32e22，設(shè)f(e)e32e22e2，易知f(1)12220，f()24220，1e0.故選a.【答案】a3設(shè)f1，f2是雙曲線c：1(a0，b0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，p是c上一點(diǎn)若|pf1|pf2|6a，且pf1f2的最小內(nèi)角為30，則c的離心率為_【解析】設(shè)點(diǎn)p在雙曲線右支上，f1為左焦點(diǎn)，f2為右焦點(diǎn)，則|pf1|pf2|2a.又|pf1|pf2|6a，|pf1|4a，|pf2|2a.在雙曲線中ca，在pf1f2中|pf2|所對(duì)的角最小且為30.在pf1f2中，由余弦定理得|pf2|2|pf1|2|f1f2|22|pf1|f1f2|cos 30，即4a216a24c28ac，即3a2c22ac0.(ac)20，ca，即.e.【答案】4(2015日照模擬)已知f1，f2為雙曲線1(a0，b0)的焦點(diǎn)，過f2作垂直于x軸的直線交雙曲線于點(diǎn)p和q，且f1pq為正三角形，則雙曲線的漸近線方程為_【解析】設(shè)f2(c,0)(c0)，p(c，y0)，代入雙曲線方程得y0，pqx軸，|pq|.在rtf1f2p中，pf1f230，|f1f2|pf2|，即2c.又c2a2b2，b22a2或2a23b2(舍去)a0，b0，.故所求雙曲線的漸近線方程為yx.【答案】yx5已知雙曲線c：1(a0，b0)的一條漸近線的方程為yx，右焦點(diǎn)f到直線x的距離為.(1)求雙曲線c的方程；(2)斜率為1且在y軸上的截距大于0的直線l與雙曲線c相交于b、d兩點(diǎn)已知a(1,0)，若1，證明：過a、b、d三點(diǎn)的圓與x軸相切【解】(1)依題意有，c，a2b2c2，c2a，a1，c2，b23，雙曲線c的方程為x21.(2)證明：設(shè)直線l的方程為yxm(m0)，b(x1，x1m)，d(x2，x2m)，bd的中點(diǎn)為m，由得2x22mxm230，x1x2m，x1x2，又1，即(2x1)(2x2)(x1m)(x2m)1，m0(舍)或m2，x1x22，x1x2，m點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，(1x1)(1x2)(x12)(x22)52x1x2x1x25720，adab，過a、b、d三點(diǎn)的圓以點(diǎn)m為圓心，bd為直徑，點(diǎn)m的橫坐標(biāo)為1，max軸，過a、b、d三點(diǎn)的圓與x軸相切6(2014福建高考)已知雙曲線e：1(a0，b0)的兩條漸近線分別為l1：y2x，l2：y2x.(1)求雙曲線e的離心率；(2)如圖861，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線l分別交直線l1，l2于a，b兩點(diǎn)(a，b分別在第一、四象限)，且oab的面積恒為8.試探究：是否存在總與直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線e？若存在，求出雙曲線e的方程；若不存在，說明理由圖861【解】(1)因?yàn)殡p曲線e的漸近線分別為y2x，y2x，所以2，所以2，故ca，從而雙曲線e的離心率e.(2)法一：由(1)知，雙曲線e的方程為1.設(shè)直線l與x軸相交于點(diǎn)c.當(dāng)lx軸時(shí)，若直線l與雙曲線e有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則|oc|a，|ab|4a.又因?yàn)閛ab的面積為8，所以|oc|ab|8，因此a4a8，解得a2，此時(shí)雙曲線e的方程為1.若存在滿足條件的雙曲線e，則e的方程只能為1.以下證明：當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí)，雙曲線e：1也滿足條件設(shè)直線l的方程為ykxm，依題意，得k2或k2，則c.記a(x1，y1)，b(x2，y2)由得y1，同理，得y2.由soab|oc|y1y2|，得8，即m24|4k2|4(k24)由得(4k2)x22kmxm2160.因?yàn)?k20，所以4k2m24(4k2)(m216)16(4k2m216)又因?yàn)閙24(k24)，所以0，即l與雙曲線e有且只有一個(gè)公共點(diǎn)因此，存在總與l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線e，且e的方程為1.法二：由(1)知，雙曲線e的方程為1.設(shè)直線l的方程為xmyt，a(x1，y1)，b(x2，y2)依題意得m.由得y1，同理，得y2.設(shè)直線l與x軸相交于點(diǎn)c，則c(t,0)由soab|oc|y1y2|8，得|t|8.所以t24|14m2|4(14m2)由得(4m21)y28mty4(t2a2)0.因?yàn)?m210，直線l與雙曲線e有且只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)64m2t216(4m21)(t2a2)0，即4m2a2t2a20，即4m2a24(14m2)a20，即(14m2)(a24)0，所以a24，因此，存在總與l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線e，且e的方程為1.法三：當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為ykxm，a(x1，y1)，b(x2，y2)依題意，得k2或k2.由得(4k2)x22kmxm20.因?yàn)?k20，0，所以x1x2.又因?yàn)閛ab的面積為8，所以|oa|ob|sinaob8，又易知sin aob，所以8，化簡，得x1x24.所