留數(shù)定理在定積分中的應(yīng)用.doc

留數(shù)定理在定積分中的應(yīng)用李平 指導(dǎo)老師：王汝軍（河西學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2010屆5班8號， 甘肅張掖 734000）摘 要 留數(shù)理論是復(fù)積分和復(fù)級數(shù)理論相結(jié)合的產(chǎn)物，利用留數(shù)定理可以把沿閉路的積分轉(zhuǎn)化為計算孤立點處的留數(shù)此外，在數(shù)學(xué)分析及實際問題中，往往一些被積函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，有時即便可以，計算也非常復(fù)雜我們利用留數(shù)定理可以把要求的積分轉(zhuǎn)化為復(fù)變函數(shù)沿閉曲線的積分，從而把待求積分轉(zhuǎn)化為留數(shù)計算本文首先介紹留數(shù)定義及留數(shù)定理，然后針對具體不同的積分類型舉例說明幾類特殊函數(shù)的定積分關(guān)鍵詞 留數(shù)定理；定積分；應(yīng)用中圖分類號 O175Theorem of Residues in Definite Integral ApplicationLi Ping Mentor: wang Rujun（NO8，Class 5 of 2010Specialty of Mathematics and Applied Mathematics，Department of Mathematics，Hexi University，Zhangye，Gansu，734000，China）Abstract residue theory is a product which the duplicate integral and the duplicate progression theory unify, may transform using the theorem of residues along the close up integral as the computation isolated point place residue.In addition, in the mathematical analysis and the actual problem, often some integrand primary function cannot use the elementary function to indicate, even if sometimes may, the computation extremely be also complex.We use the theorem of residues to be possible to transform the request integral as the complex variable function along the closed curve integral, thus waits the squaring revolution per minute to change into the residue computation.This article first introduced the residue definition and the theorem of residues, then explain with examples specifically in view of the different integral type several kind of special function definite integrals.Keyword theorem of residues definite integral applicationChinese Library Classification O1751 留數(shù)定義及留數(shù)定理11留數(shù)的定義設(shè)函數(shù)以有限點為孤立點，即在點的某個去心鄰域內(nèi)解析，則積分為在點的留數(shù)，記為：12留數(shù)定理介紹留數(shù)定理之前，我們先來介紹復(fù)周線的柯西積分定理：設(shè)是由復(fù)周線所圍成的有界連通區(qū)域，函數(shù)在內(nèi)解析，在上連續(xù)，則定理1 （留數(shù)定理） 設(shè)在周線或復(fù)周線所范圍的區(qū)域內(nèi)，除外解析，在閉域上除外連續(xù)，則（ “大范圍”積分） （1）證明 以為心，充分小的正數(shù)為半徑畫圓周（）使這些圓周及內(nèi)部均含于，并且彼此相互隔離，應(yīng)用復(fù)周線的柯西定理得，由留數(shù)的定義，有特別地，由定義得 ，代入（1）式得 2留數(shù)定理在定積分中的應(yīng)用利用留數(shù)計算定積分活反常積分沒有普遍的實用通法，我們只考慮幾種特殊類型的積分21形如型的積分這里表示的有理函數(shù)，并且在上連續(xù)，把握此類積分要注意，第一：積分上下限之差為，這樣當(dāng)作定積分時從經(jīng)歷變到，對應(yīng)的復(fù)變函數(shù)積分正好沿閉曲線繞行一周第二：被積函數(shù)是以正弦和余弦函數(shù)為自變量。當(dāng)滿足這兩個特點之后，我們可設(shè)，則， 得 例1 計算解 令，則 例2 計算解 ，由于分母有兩個根，其中，因此 22形如型的積分把握此類積分要注意，首先分析其函數(shù)特點，函數(shù)必須滿足一下兩條才能適用。第一：，其中，均為關(guān)于的多項式，且分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高兩次；第二：在半平面上的極點為（1，2，3，），在實軸上的極點為（1，2，3，）則有例3 計算解 取，孤立點為，其中落在上半平面的為，故。例4 計算解 由于，且上半平面只有一個極點，因此 23形如型的積分231留數(shù)公式定理2 （若爾當(dāng)引理）設(shè)函數(shù)沿半徑圓周（）上連續(xù)，且在上一致成立，則證明 ，使當(dāng)時，有 于是 （2）這里利用了 以及于是由若爾當(dāng)不等式（）將（2）化為 即 232舉例例5 計算解 不難驗證，函數(shù)滿足若爾當(dāng)引理條件這里，函數(shù)有兩個一階極點及，于是 24形如和型積分定理3 設(shè)，其中和是互質(zhì)多項式，并且符合條件：（1）的次數(shù)比的次數(shù)高；（2）在實軸上；（3）則有 （3）特別地，將（3）式分開實虛部，就可用得到形如及的積分例6 計算解 利用以及若爾當(dāng)引理，且分母在上半圓只有兩個孤立奇點和，得到 例7 計算（）解 被積函數(shù)為偶函數(shù)，所以，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為，它共有四個一階極點，即（）得 （），因為，所以在上半面只有兩個一階極點及，于是 ，故 3.小結(jié)上面舉例說明了常見的幾種可以用留數(shù)定理計算的定積分類型，計算比較簡捷，通過上面幾例，可以看出實積分中是定積分計算與利用留數(shù)定理計算之間既有區(qū)別，也有聯(lián)系解題時應(yīng)視具體情況而定，有使用實積分理論計算很困難甚至無法計算時，利用留數(shù)定理能收到很好的效果.致謝：感謝王汝軍老師悉心的指導(dǎo)！參 考 文 獻1鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論M高等教育出版社，2004.2蓋云英.復(fù)變函數(shù)