高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 3.3 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)課件 文 新人教A版.ppt

第三節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 知識梳理 1 必會知識教材回扣填一填 1 周期函數(shù) 周期函數(shù) 對于函數(shù)f x 如果存在一個 使得當(dāng)x取 內(nèi)的每一個值時 都有f x t f x 那么函數(shù)f x 就叫做周期函數(shù) 叫做這個函數(shù)的周期 最小正周期 如果在周期函數(shù)f x 的所有周期中存在一個 那么這個 就叫做f x 的最小正周期 非零常數(shù)t 定 義域 非零常數(shù)t 最小的正 數(shù) 最小正數(shù) 2 正弦函數(shù) 余弦函數(shù) 正切函數(shù)的圖象和性質(zhì) r r 1 1 1 1 r x x r且x k k z k z k z 2k 2k k z 2k 2k k z k z 2k k z 2k k z k 0 k z x k k z 2 必備結(jié)論教材提煉記一記對稱與周期 正弦曲線 余弦曲線相鄰兩對稱中心 相鄰兩對稱軸之間的距離是半周期 相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是周期 正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半周期 3 必用技法核心總結(jié)看一看 1 常用方法 數(shù)形結(jié)合法 2 數(shù)學(xué)思想 函數(shù)與方程 數(shù)形結(jié)合 3 記憶口訣 正 余 弦曲線 都是一條波浪線波峰取得最大值 波谷處見最小值波峰 波谷相連間 要么遞增要么減兩條曲線很完美 中心對稱軸對稱 小題快練 1 思考辨析靜心思考判一判 1 正弦函數(shù)y sinx在其任一周期內(nèi)都只有一個增區(qū)間 一個減區(qū)間 2 余弦函數(shù)y cosx的對稱軸是y軸 3 正切函數(shù)y tanx在定義域內(nèi)是增函數(shù) 4 若非零實數(shù)t是函數(shù)f x 的周期 則kt k是非零整數(shù) 也是函數(shù)f x 的周期 解析 1 錯誤 如正弦函數(shù)y sinx在 0 2 上有兩個增區(qū)間 0 和 2 2 錯誤 余弦函數(shù)y cosx的對稱軸有無窮多條 y軸只是其中的一條 3 錯誤 正切函數(shù)y tanx在每一個區(qū)間 k k k z 上都是增函數(shù) 但在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù) 故不是增函數(shù) 4 正確 周期函數(shù)的周期不只一個 其某一周期的非零整數(shù)倍全是其周期 答案 1 2 3 4 2 教材改編鏈接教材練一練 1 必修4p40t3 2 改編 函數(shù)f x 4 2cosx的最小值是 取得最小值時 x的取值集合為 解析 f x min 4 2 2 此時 x 2k k z x 6k k z 所以x的取值集合為 x x 6k k z 答案 2 x x 6k k z 2 必修4p44例6改編 函數(shù)y tan 的最小正周期是 單調(diào)增區(qū)間是 解析 由 得 x 即函數(shù)的增區(qū)間是答案 3 真題小試感悟考題試一試 1 2014 陜西高考 函數(shù)f x cos 2x 的最小正周期是 解析 選b 由 故b正確 2 2014 福建高考 將函數(shù)y sinx的圖象向左平移個單位 得到函數(shù)y f x 的函數(shù)圖象 則下列說法正確的是 a y f x 是奇函數(shù)b y f x 的周期是 c y f x 的圖象關(guān)于直線x 對稱d y f x 的圖象關(guān)于點 0 對稱 解析 選d 將函數(shù)y sinx的圖象向左平移個單位 得到函數(shù)y sin x cosx的圖象 該函數(shù)是偶函數(shù) 故a錯 周期為2 故b錯 該函數(shù)圖象的對稱軸為x k k z 故c錯 對稱中心為 k 0 k z 故d正確 3 2015 長春模擬 已知 0 0 直線x 和x 是函數(shù)f x sin x 圖象的兩條相鄰的對稱軸 則 解析 選a 由于直線x 和x 是函數(shù)f x sin x 圖象的兩條相鄰的對稱軸 所以函數(shù)f x 的最小正周期t 2 所以 1 所以 k k z 又0 所以 考點1三角函數(shù)的定義域及簡單的三角不等式 典例1 1 函數(shù)f x 2tan 2x 的定義域是 2 不等式 2cosx 0的解集是 3 函數(shù)f x log2 2sinx 1 的定義域是 解題提示 1 利用正切函數(shù)的定義域求解 2 利用余弦函數(shù)的圖象求解 3 由題意列不等式組求解 規(guī)范解答 1 選d 由正切函數(shù)的定義域 得即 k z 故選d 2 由 2cosx 0 得cosx 由余弦函數(shù)的圖象 得在一個周期 上 不等式cosx 的解集為 x x 故原不等式的解集為答案 3 由題意 得由 得 8 x 8 由 得sinx 由正弦曲線得 2k x 2k k z 所以不等式組的解集為答案 易錯警示 解答本例 3 有三點容易出錯 1 考慮問題不全面致錯 2 列錯不等式2sinx 1 0 或解錯不等式2sinx 1 0 3 不知道辨析大小而取錯交集 導(dǎo)致答案錯誤 互動探究 本例 2 改為求不等式 2cosx 0的解集 如何求 解析 由 2cosx 0 得cosx 由余弦函數(shù)的圖象得 其解集為 規(guī)律方法 1 三角函數(shù)定義域的求法 1 應(yīng)用正切函數(shù)y tanx的定義域求函數(shù)y atan x 的定義域 2 轉(zhuǎn)化為求解簡單的三角不等式求復(fù)雜函數(shù)的定義域 2 簡單三角不等式的解法 1 利用三角函數(shù)線求解 2 利用三角函數(shù)的圖象求解 變式訓(xùn)練 2015 深圳模擬 函數(shù)的定義域為 解析 要使函數(shù)有意義 必須使sinx cosx 0 利用圖象 在同一坐標(biāo)系中畫出 0 2 上y sinx和y cosx的圖象 如圖所示 在 0 2 內(nèi) 滿足sinx cosx的x為再結(jié)合正弦 余弦函數(shù)的周期是2 所以定義域為答案 加固訓(xùn)練 函數(shù)的定義域是 解析 由1 tan2x 0得tan2x 1 即 1 tanx 1 由正切函數(shù)的圖象得不等式的解集為答案 考點2三角函數(shù)的最值與值域 典例2 1 函數(shù)y 2sinx 1 x 的值域是 a 3 1 b 2 1 c 3 1 d 2 1 2 2015 成都模擬 函數(shù)y cos2x 2sinx的最大值與最小值分別為 a 3 1b 3 2c 2 1d 2 2 解題提示 1 弄清角x的取值范圍 結(jié)合正弦曲線求解 2 換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值 規(guī)范解答 1 選d 由正弦曲線知y sinx在 上 1 sinx 所以函數(shù)y 2sinx 1 x 的值域是 2 1 2 選d y cos2x 2sinx 1 sin2x 2sinx sin2x 2sinx 1 令t sinx 則t 1 1 y t2 2t 1 t 1 2 2 所以ymax 2 ymin 2 互動探究 本例 2 中 若x 試求函數(shù)的值域 解析 因為y cos2x 2sinx sin2x 2sinx 1 令t sinx 則t y t2 2t 1 t 1 2 2 所以ymax ymin 故函數(shù)的值域是 規(guī)律方法 三角函數(shù)最值或值域的三種求法 1 直接法 利用sinx cosx的值域 2 化一法 化為y asin x k的形式 確定 x 的范圍 根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域 3 換元法 把sinx或cosx看作一個整體 轉(zhuǎn)化為二次函數(shù) 求給定區(qū)間上的值域 最值 問題 變式訓(xùn)練 1 2015 青島模擬 函數(shù)y 2sin 0 x 9 的最大值與最小值之和為 解析 選a 利用三角函數(shù)的性質(zhì)先求出函數(shù)的最值 因為0 x 9 所以所以所以y 2 所以ymax ymin 2 2 函數(shù)y 2cos 1的最大值是 此時x的取值集合為 解析 ymax 2 1 1 3 此時 2k 即x 4k k z 答案 加固訓(xùn)練 1 函數(shù)y sinx cosx sinxcosx x 0 的最小值是 解析 設(shè)sinx cosx t 因為x 0 所以所以t 1 sinxcosx 所以當(dāng)t 1時 ymin 1 答案 1 2 函數(shù)的值域為 解析 由 得因為 1 cosx 1 所以 1 1 解得因此 原函數(shù)的值域為答案 一題多解 本題還可如下求解 因為 1 cosx 1 所以1 2 cosx 3 即原函數(shù)的值域為答案 考點3三角函數(shù)的性質(zhì)知 考情求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 或已知函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)求參數(shù)的取值范圍 以及對三角函數(shù)奇偶性的考查是高考的重點 每年必考 常以選擇題 填空題的形式出現(xiàn) 明 角度命題角度1 三角函數(shù)的奇偶性與周期性 典例3 2015 吉林模擬 函數(shù)是 a 最小正周期為 的奇函數(shù)b 最小正周期為 的偶函數(shù)c 最小正周期為的奇函數(shù)d 最小正周期為的偶函數(shù) 解題提示 利用二倍角公式降冪化簡再判斷 規(guī)范解答 選a 則函數(shù)為最小正周期為 的奇函數(shù) 命題角度2 三角函數(shù)的單調(diào)性 典例4 2015 石家莊模擬 若f x 2sin x 1 0 在區(qū)間 上是增函數(shù) 則 的取值范圍是 解題提示 根據(jù) 是相應(yīng)增區(qū)間的子集構(gòu)造不等式求解 規(guī)范解答 由得f x 的增區(qū)間是因為f x 在 上是增函數(shù) 所以所以且 所以 答案 一題多解 解答本題 還有以下兩種解法 方法一 因為x 0 所以 x 又f x 在區(qū)間 上是增函數(shù) 所以則又 0 得0 方法二 因為f x 在區(qū)間 上是增函數(shù) 故原點到的距離不超過 即得t 即 又 0 得0 答案 0 悟 技法1 奇偶性與周期性的判斷方法 1 奇偶性 由正 余弦函數(shù)的奇偶性可判斷y asin x和y acos x分別為奇函數(shù)和偶函數(shù) 2 周期性 利用函數(shù)y asin x y acos x 0 的周期為 函數(shù)y atan x 0 的周期為求解 2 求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法 1 代換法 就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個角 或t 利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解 2 圖象法 畫出三角函數(shù)的正 余弦曲線 結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間 提醒 求解三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時若x的系數(shù)為負(fù)應(yīng)先化為正 同時切莫漏掉考慮函數(shù)自身的定義域 3 已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的取值范圍的三種方法 1 子集法 求出原函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間 由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集 列不等式 組 求解 2 反子集法 由所給區(qū)間求出整體角的范圍 由該范圍是某相應(yīng)正 余弦函數(shù)的某個單調(diào)區(qū)間的子集 列不等式 組 求解 3 周期法 由所給區(qū)間的兩個端點到其相應(yīng)對稱中心的距離不超過周期列不等式 組 求解 通 一類1 2015 臨沂模擬 已知函數(shù)f x 4sin 2x x 0 則f x 的單調(diào)遞減區(qū)間是 解析 選c f x 由 k z 得所以函數(shù)f x 的減區(qū)間是 k z 因為x 0 所以函數(shù)f x 的減區(qū)間是 2 2015 福州模擬 函數(shù)f x sin x 的圖象的一條對稱軸是 解析 選c 方法一 圖象特征 因為正弦函數(shù)圖象的對稱軸過圖象的最高點或最低點 故令x k k z 所以x k k z 取k 1 則 方法二 驗證法 x 時 sin 0 不合題意 排除a x 時 sin 不合題意 排除b x 時 sin 1 符合題意 c項正確 而x 時 sin 不合題意 故d項也不正確 3 2015 銀川模擬 已知函數(shù)f x sin x r 下面結(jié)論錯誤的是 a 函數(shù)f x 的最小正周期為 b 函數(shù)f x 是偶函數(shù)c 函數(shù)f x 的圖象關(guān)于直線x 對稱d 函數(shù)f x 在區(qū)間 0 上是增函數(shù) 解析 選c f x sin 2x cos2x 故其最小正周期為 故a正確 易知函數(shù)f x 是偶函數(shù) b正確 由函數(shù)f x cos2x的圖象可知 函數(shù)f x 的圖象不關(guān)于直線x 對稱 c錯誤 由函數(shù)f x 的圖象易知 函數(shù)f x 在 0 上是增函數(shù) d正確 4 2015 承德模擬 若函數(shù)f x sin x 0 在 0 上單調(diào)遞增 在區(qū)間 上單調(diào)遞減 則 解析 方法一 由于函數(shù)f x sin x 0 的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點 由已知并結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可知 為函數(shù)f x 的周期 故 解得方法二 由題意 得f x max f sin 1 由已知并結(jié)合正弦函數(shù)圖象可知 解得答案 巧思妙解6巧用誘導(dǎo)公式解決奇偶性問題 典例 2015 合肥模擬 把函數(shù)f x sin 2x 0 的圖象向右平移個單位 所得圖象對應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù) 則 的值為 常規(guī)解法 選d 平移后 所得圖象對應(yīng)的函數(shù)是g x sin 2 x sin 2x 由題意得 g x 是偶函數(shù) 所以對x r g x g x 恒成立 因此sin 2x sin 2x 即 sin2xcos cos2xsin sin2xcos cos2xsin 整理得sin2xcos 0 因為x r 所以cos 0 又因為0 故 所以 巧妙解法 選d 平移后 所得圖象對應(yīng)的函數(shù)是g x sin 2 x sin 2x 由題意 g x 是偶函數(shù) 所以 k k z 即 k k z 因為0 所以 方法指導(dǎo) 1 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用 1 應(yīng)用誘導(dǎo)公式把正弦化為余弦 如sin x cosx sin x cosx sin k x 2 應(yīng)用誘導(dǎo)公式把余弦化為正弦 如cos x sinx cos x sinx