【步步高】高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 7.1不等關(guān)系與一元二次不等式強(qiáng)化訓(xùn)練 理 北師大版(1).DOC

7.1不等關(guān)系與一元二次不等式1兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法作差法 (a，br)2初中學(xué)習(xí)的不等式的重要性質(zhì)(1)若ab，bc，則ac；(2)若ab，則acbc；(3)若ab，c0，則acbc；若ab，c0，則acb，cd，則acbd；(2)若ab0，cd0，則acbd；(3)若ab0，則anbn(nn)；(4)若ab0，則(nn)4“三個(gè)二次”的關(guān)系判別式b24ac000)的圖像一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x10 (a0)的解集x|xx2x|xx1x|xrax2bxc0)的解集x|x1 xbac2bc2.()(2)ab0，cd0.()(3)若ab0，則ab0的解集是(，x1)(x2，)，則方程ax2bxc0的兩個(gè)根是x1和x2.()(5)若方程ax2bxc0(a0)沒有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2bxc0的解集為r.()(6)不等式ax2bxc0在r上恒成立的條件是a0且b24ac0.()2設(shè)ab b.c|a|b d.答案b解析由題設(shè)得aab0，所以有不成立3已知不等式ax2bx10的解集是，則不等式x2bxa0的解集是()a(2,3)b(，2)(3，)c.d.答案a解析由題意知，是方程ax2bx10的根，所以由根與系數(shù)的關(guān)系得，.解得a6，b5，不等式x2bxa0即為x25x60，解集為(2,3)4若不存在整數(shù)x滿足不等式(kxk24)(x4)0，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_答案1,4解析可判斷k0或k0.于是原不等式即為k(x)(x4)0(x)(x4)0，1k4.5(2013江蘇)已知f(x)是定義在r上的奇函數(shù)當(dāng)x0時(shí)，f(x)x24x，則不等式f(x)x的解集用區(qū)間表示為_答案(5,0)(5，)解析由已知得f(0)0，當(dāng)xx等價(jià)于或.解得：x5，或5xb1，c；acloga(bc)其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是()a bc d(2)(2012四川)設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)現(xiàn)有下列命題：若a2b21，則ab1；若1，則ab1；若|1，則|ab|1；若|a3b3|1，則|ab|b1，.又c，故結(jié)論正確；函數(shù)yxc(cb，aclogb(bc)loga(bc)，故正確正確結(jié)論的序號(hào)是.(2)中，a2b2(ab)(ab)1，a，b為正實(shí)數(shù)，若ab1，則必有ab1，不合題意，故正確中，1，只需abab即可如取a2，b滿足上式，但ab1，故錯(cuò)中，a，b為正實(shí)數(shù)，所以|1，且|ab|()()|1，故錯(cuò)中，|a3b3|(ab)(a2abb2)|ab|(a2abb2)1.若|ab|1，不妨取ab1，則必有a2abb21，不合題意，故正確思維升華判斷多個(gè)不等式是否成立，需要逐一給出推理判斷或反例說明常用的推理判斷需要利用不等式的性質(zhì)，常見的反例構(gòu)成方式可從以下幾個(gè)方面思考：不等式兩邊都乘以一個(gè)代數(shù)式時(shí)，考察所乘的代數(shù)式是正數(shù)、負(fù)數(shù)或0；不等式左邊是正數(shù)，右邊是負(fù)數(shù)，當(dāng)兩邊同時(shí)平方后不等號(hào)方向不一定保持不變；不等式左邊是正數(shù)，右邊是負(fù)數(shù)，當(dāng)兩邊同時(shí)取倒數(shù)后不等號(hào)方向不變等(1)若a，b，c，則()aabc bcbaccab dbac(2)若0，則下列不等式：0；ab；ln a2ln b2中，正確的不等式是()a bc d答案(1)c(2)c解析(1)易知a，b，c都是正數(shù)，log891，所以ba；log25321，所以ac.即cab.故選c.(2)由0，可知ba0.中，因?yàn)閍b0，所以0.故有，即正確；中，因?yàn)閎aa0.故b|a|，即|a|b0，故錯(cuò)誤；中，因?yàn)閎a0，又b，故正確；中，因?yàn)閎aa20，而yln x在定義域(0，)上為增函數(shù)，所以ln b2ln a2，故錯(cuò)誤由以上分析，知正確題型二一元二次不等式的解集例2求下列不等式的解集：(1)x28x30；(2)ax2(a1)x10，所以方程x28x30有兩個(gè)不相等的實(shí)根x14，x24.又二次函數(shù)yx28x3的圖像開口向下，所以原不等式的解集為x|4x4(2)若a0，原不等式等價(jià)于x11.若a0，解得x1.若a0，原不等式等價(jià)于(x)(x1)0.當(dāng)a1時(shí)，1，(x)(x1)1時(shí)，1，解(x)(x1)0得x1；當(dāng)0a1，解(x)(x1)0得1x.綜上所述：當(dāng)a0時(shí)，解集為x|x1；當(dāng)a0時(shí)，解集為x|x1；當(dāng)0a1時(shí)，解集為x|1x1時(shí)，解集為x|x0的解為x，則不等式2x2bxa0的解集是_(2)不等式0的解集為_答案(1)(2,3)(2)(，1解析(1)由題意，知和是一元二次方程ax2bx20的兩根且a0，所以，解得.則不等式2x2bxa0即2x22x120，其解集為x|2x3(2)原不等式等價(jià)于(*)由(*)解得x1.題型三不等式恒成立問題例3設(shè)函數(shù)f(x)mx2mx1.(1)若對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，f(x)0恒成立，求m的取值范圍；(2)若對(duì)于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范圍思維啟迪(1)分m0和m0討論，m0可結(jié)合圖像看的條件；(2)可分離參數(shù)m，利用函數(shù)最值求m的范圍解(1)要使mx2mx10恒成立，若m0，顯然10；若m0，則4m0.所以4m0.(2)要使f(x)m5在x1,3上恒成立，即m2m60時(shí)，g(x)在1,3上是增函數(shù)，所以g(x)maxg(3)7m60，所以m，則0m；當(dāng)m0時(shí)，60恒成立；當(dāng)m0時(shí)，g(x)在1,3上是減函數(shù)，所以g(x)maxg(1)m60，所以m6，所以m0.綜上所述：m的取值范圍是m|m0，又因?yàn)閙(x2x1)60，所以m.因?yàn)楹瘮?shù)y在1,3上的最小值為，所以只需m0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍解因?yàn)閤1，)時(shí)，f(x)0恒成立，即x22xa0恒成立即當(dāng)x1時(shí)，a(x22x)g(x)恒成立而g(x)(x22x)(x1)21在1，)上單調(diào)遞減，所以g(x)maxg(1)3，故a3.所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a|a3轉(zhuǎn)化與化歸思想在不等式中的應(yīng)用典例：(10分)(1)(2012江蘇)已知函數(shù)f(x)x2axb(a，br)的值域?yàn)?，)，若關(guān)于x的不等式f(x)0恒成立，則x的取值范圍為_思維啟迪(1)考慮函數(shù)f(x)、方程f(x)0和不等式的關(guān)系；(2)可把不等式看作關(guān)于a的一次不等式解析(1)由題意知f(x)x2axb2b.f(x)的值域?yàn)?，)，b0，即b.f(x)2.又f(x)c.2c，即x0對(duì)于任意的a1,1恒成立，易知只需f(1)x25x60，且f(1)x23x20即可，聯(lián)立方程解得x3.答案(1)9(2)x|x3溫馨提醒本題解法中利用了轉(zhuǎn)化與化歸思想(1)中利用“三個(gè)二次”之間的聯(lián)系，將不等式、函數(shù)、方程之間相互轉(zhuǎn)化；(2)中將已知不等式看作關(guān)于a的一次不等式，體現(xiàn)了主元與次元的轉(zhuǎn)化利用轉(zhuǎn)化與化歸思想的原則是熟悉化原則、簡(jiǎn)單化原則、直觀化原則、正難則反原則方法與技巧1判斷不等式是否成立，主要有利用不等式的性質(zhì)和特殊值驗(yàn)證兩種方法，特別是對(duì)于有一定條件限制的選擇題，用特殊值驗(yàn)證的方法更簡(jiǎn)單2比較法是不等式性質(zhì)證明的理論依據(jù)，是不等式證明的主要方法之一，比較法的主要步驟為作差變形判斷正負(fù)3“三個(gè)二次”的關(guān)系是解一元二次不等式的理論基礎(chǔ)；一般可把a(bǔ)0時(shí)的情形4簡(jiǎn)單的分式不等式可以等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用一元二次不等式的解法進(jìn)行求解失誤與防范1不等式的性質(zhì)應(yīng)用要準(zhǔn)確，尤其在不等式兩邊同乘以或同除以一個(gè)數(shù)時(shí)，一定要搞清符號(hào)2對(duì)于不等式ax2bxc0，求解時(shí)不要忘記討論a0時(shí)的情形3當(dāng)0 (a0)的解集是r還是，要注意區(qū)別a組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：40分鐘)一、選擇題1下面四個(gè)條件中，使ab成立的充分而不必要的條件是()aab1 bab1ca2b2 da3b3答案a解析由ab1，得ab1b，即ab，而由ab不能得出ab1，因此，使ab成立的充分而不必要的條件是ab1.2(2013陜西)設(shè)x表示不大于x的最大整數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y有()axxb2x2xcxyxydxyxy答案d解析特殊值法令x1.5，1.52，1.51，故a錯(cuò)；21.53,21.52，故b錯(cuò)；令x1.5，y0.5，xy2，xy101，故c錯(cuò)3已知pa，qx22，其中a2，xr，則p，q的大小關(guān)系是()apq bpqcpq dpq答案a解析paa22224，當(dāng)且僅當(dāng)a3時(shí)取等號(hào)因?yàn)閤222，所以qx2224，當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)取等號(hào)所以pq.4(2013安徽)已知一元二次不等式f(x)0的解集為()ax|xlg 2bx|1xlg 2dx|xlg 2答案d解析由已知條件010x，解得xlglg 2.5若集合ax|ax2ax10，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()aa|0a4 ba|0a4ca|0a4 da|0a4答案d解析由題意知a0時(shí)，滿足條件a0時(shí)，由得0a4，所以0a4.二、填空題6已知a0，1b”連接)答案abab2a解析由1b0，可得bb21.又aab2a.7函數(shù)y的定義域是_答案(，43，)解析由x2x120得(x3)(x4)0，x4或x3.8已知不等式x22xk210對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_答案(，)(，)解析由題意，知441(k21)2，k或k0的解集是x|x0的解集解(1)由題意知a0，即2x25x30，解得3x0的解集為(3，)10(1)設(shè)xy，xy，求證：.(1)解方法一(x2y2)(xy)(x2y2)(xy)(xy)x2y2(xy)22xy(xy)，xy0，xy0，(x2y2)(xy)(x2y2)(xy)方法二xy0，xyy2，xy0.(x2y2)(xy)0，(x2y2)(xy)0，0(x2y2)(xy)(2)證明.且a，b(0，)，ba0，又xy0，bxay0，0，.b組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：30分鐘)1若a0的解集是()a(，a)(5a，)b(，5a)(a，)c(5a，a)d(a，5a)答案b解析由x24ax5a20得(x5a)(xa)0，a0，xa.2設(shè)函數(shù)f(x)x21，對(duì)任意x，)，f()4m2f(x)f(x1)4f(m)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案m|m或m解析依據(jù)題意得14m2(x21)(x1)214(m21)在x，)上恒成立，即4m21在x，)上恒成立當(dāng)x時(shí)函數(shù)y1取得最小值，所以4m2，即(3m21)(4m23)0，解得m或m.3設(shè)f(x)是定義在r上的以3為周期的奇函數(shù)，若f(1)1，f(2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(1，)解析f(x3)f(x)，f(2)f(13)f(1)f(1)1.10(3a2)(a1)0，1a0，|a|1恒成立的x的取值范圍解將原不等式整理為形式上是關(guān)于a的不等式(x3)ax26x90.令f(a)(x3)ax26x9.因?yàn)閒(a)0在|a|1時(shí)恒成立，所以(1)若x3，則f(a)0，不符合題意，應(yīng)舍去(2)若x3，則由一次函數(shù)的單調(diào)性，可得，即，解得x4.5某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)銷售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x(百臺(tái))，其總成本為g(x)萬元，其中固定成本為2萬元，并且每生產(chǎn)100臺(tái)的生產(chǎn)成本為1萬元(總成本固定成本生產(chǎn)成本)，銷售收入r(x)滿足r(x)，假定該產(chǎn)品銷售平衡，那么根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律：(1)要使工廠