高考數(shù)學 第四章 第一節(jié) 平面向量的概念及線性運算課件 文 北師大版.ppt

第四章平面向量 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入第一節(jié)平面向量的概念及線性運算 1 向量的有關(guān)概念 1 定義 既有 又有 的量統(tǒng)稱為向量 2 表示方法 用 來表示 有向線段的長度表示向量的 用箭頭所指的方向表示向量的 用黑體小寫字母如a b 來表示 3 模 向量的 叫作向量的模 記作 a b 或 大小 方向 有向線段 大小 方向 長度 2 特殊向量 0 任意的 單位1 平行 重合 任一向量 相同 相反 3 向量的加法與減法 三角形 平行四邊形 b a a b c 三角形 4 向量的數(shù)乘與向量共線的判定定理和性質(zhì)定理 1 向量的數(shù)乘 一般地 實數(shù) 與向量a的積 a是一個向量 其 長度 a 方向 當 0時 a的方向與a的方向 當 0時 a的方向與a的方向 當 0時 a 其方向是任意的 a 相同 相反 0 2 向量數(shù)乘的運算律 設 為實數(shù) 則 a a a b a a a a b 3 向量共線的判定定理和性質(zhì)定理 向量共線的判定定理 a是一個非零向量 若存在一個實數(shù) 使得 則向量b與非零向量a共線 即 a 0 r a b 向量共線的性質(zhì)定理 若向量b與非零向量a共線 則存在一個實數(shù) 使得 即a b a 0 b a b a b a b a r 判斷下面結(jié)論是否正確 請在括號中打 或 1 向量與有向線段是一樣的 因此可以用有向線段來表示向量 2 兩向量不能比較大小 3 若向量a b共線 則向量a b的方向相同或相反 4 a b 與a b的方向無關(guān) 5 6 共線向量定理b a中 當a 0時 則實數(shù) 不唯一 解析 1 錯誤 向量是可以自由平移的 而有向線段是有端點的 端點不同 則有向線段不同 故向量與有向線段不同 但向量可用有向線段來表示 故不正確 2 正確 由于向量是具有大小和方向的量 因此無法比較大小 故正確 3 錯誤 當a b中有一個為0時 其方向是不確定的 故不正確 4 正確 a b 時 說明a b的模相等 與方向無關(guān) 故正確 5 正確 首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量 故正確 6 錯誤 當a 0且b 0時 則實數(shù) 可為任意實數(shù) 故不唯一 當a 0且b 0時 不存在 故不正確 答案 1 2 3 4 5 6 1 d是 abc的邊ab上的中點 則向量等于 a b c d 解析 選a 如圖 2 判斷下列四個命題 若a b 則a b 若 a b 則a b 若 a b 則a b 若a b 則 a b 其中正確的個數(shù)是 a 1 b 2 c 3 d 4 解析 選a 中兩向量共線 但這兩向量的方向 模均不一定相同 故不一定相等 中兩向量的模相等 但方向不一定相同 故這兩向量不一定相等 中兩向量的模相等 但兩向量不一定共線 中兩向量相等 則模一定相等 故正確 3 若o e f是不共線的任意三點 則以下各式中成立的是 解析 選b 4 如圖 正六邊形abcdef中 a 0 b c d 解析 選d 5 設a b是兩個不共線的向量 且向量a b與2a b共線 則 解析 由題意知a b k 2a b 則有答案 考向1平面向量的有關(guān)概念 典例1 1 下列命題中 時間 速度 加速度都是向量 向量的模是一個正實數(shù) 所有的單位向量都相等 共線向量一定在同一直線上 其中真命題的個數(shù)是 a 0 b 1 c 2 d 3 2 下列結(jié)論中 不正確的是 a 向量共線與向量意義相同 b 向量則向量 c 若a b b c 則a c d 若向量a b滿足 a b 則向量a與b的方向相同 3 給出下列命題 兩個具有共同終點的向量 一定是共線向量 若a與b同向 且 a b 則a b 為實數(shù) 若 a b 則a與b共線 其中錯誤命題的序號為 思路點撥 1 根據(jù)向量及其有關(guān)概念分析解題即可 2 根據(jù)向量共線 相等的定義逐一分析即可 3 根據(jù)共線向量的概念逐一分析判斷可得結(jié)論 規(guī)范解答 1 選a 中時間不是向量 不正確 中向量的模可以為0 故不正確 中單位向量的模相等 但方向不一定相同 故不正確 中共線向量所在的直線可能平行 故不正確 綜上選a 2 選d 向量的共線與向量的平行是同義的 故a正確 根據(jù)相反向量的概念可得b正確 由向量相等的概念可知c正確 當兩向量的模相等時 方向不一定相同 故d不正確 3 不正確 雖然終點相同 但兩個向量也可能不共線 如圖 a b不共線 不正確 向量不能比較大小 不正確 當 0時 a與b可為任意向量 不一定共線 綜上 都不正確 答案 拓展提升 平面向量中常用的幾個結(jié)論 1 相等向量具有傳遞性 非零向量的平行也具有傳遞性 2 向量可以平移 平移后的向量與原向量是相等向量 3 a是非零向量 則是a方向上的單位向量 變式訓練 1 設a是任一向量 e是單位向量 且a e 則下列表示形式中正確的是 a b a a e c a a e d a a e 解析 選d 對于a 當a 0時 沒有意義 錯誤 對于b c d當a 0時 選項b c d都對 當a 0時 由a e可知 a與e同向或反向 選d 2 給出下列命題 若a b c d是不共線的四點 則是四邊形abcd為平行四邊形的充要條件 0 a 0 a b的充要條件是 a b 且a b 若a與b均為非零向量 則 a b 與 a b 一定相等 其中正確命題的序號是 解析 正確 數(shù)與向量的積為向量 而不是數(shù) 故不正確 當a b時 a b 且a b 反之不成立 故錯誤 當a b不同向時不成立 故錯誤 答案 考向2平面向量的線性運算 典例2 1 如圖 d e f分別是 abc的邊ab bc ca的中點 則 2 已知p a b c是平面內(nèi)四點 且那么一定有 3 已知 任意四邊形abcd中 e f分別是ad bc的中點 求證 思路點撥 1 利用平面向量的線性運算并結(jié)合圖形求解 2 將向量ac分解為以點p為起點的兩向量的差 然后化簡即可 3 結(jié)合圖形 利用向量加法的法則可證得結(jié)論 規(guī)范解答 1 選a 即 2 選d 由題意得即 3 如圖所示 e f分別是ad與bc的中點 又 同理 由 得 拓展提升 1 向量線性運算的幾個關(guān)系 1 當向量a b不共線時 a b的方向與a b的方向都不相同 且滿足 a b b 則a b與a同向 且 a b a b 若 a b 則a b與b同向 且 a b b a 若 a b 則a b與a b 同向 且 a b 0 2 兩個結(jié)論 1 若p為線段ab中點 則 2 向量加法的多邊形法則 提醒 向量加法的平行四邊形法則與三角形法則在本質(zhì)上是一致的 但當兩個向量共線 平行 時 平行四邊形法則就不適用了 變式訓練 1 在 abc中 若點d滿足則 a b c d 解析 選a 2 若a b c d是平面內(nèi)任意四點 給出下列式子 其中正確式子的序號為 解析 由得 從而即故不正確 由得 即故正確 由得即故正確 綜上可得 正確 答案 考向3共線向量定理及其應用 典例3 1 已知向量a b c中任意兩個都不共線 并且a b與c共線 b c與a共線 那么a b c等于 a a b b c c d 0 2 2013 西安模擬 設兩個非零向量a與b不共線 若求證 a b d三點共線 試確定實數(shù)k 使ka b和a kb共線 思路點撥 1 根據(jù)向量共線的充要條件得到向量的關(guān)系式 比較系數(shù)可得結(jié)論 2 先證明共線 再說明它們有一個公共點 從而得證 利用共線向量定理列出方程組求k 規(guī)范解答 1 選d a b與c共線 a b 1c 又 b c與a共線 b c 2a 由 得 b 1c a b c 1 1 c a 2a 即 a b c c c 0 2 共線 又與有公共點b a b d三點共線 ka b與a kb共線 存在實數(shù) 使ka b a kb k 1 互動探究 本例 2 條件不變 結(jié)論若改為 若向量ka b和向量a kb共線且反向 則k的值如何 解析 ka b與a kb共線反向 存在實數(shù) 使ka b a kb 0 k 1 又 0 k 1 故當k 1時兩向量共線反向 拓展提升 三點共線的表示a p b三點共線 o為平面內(nèi)任一點 t r o為平面內(nèi)任一點 x r y r x y 1 變式備選 已知點g是 abo的重心 m是ab邊的中點 1 求 2 若pq過 abo的重心g 且求證 解析 1 又 2 顯然因為g是 abo的重心 所以由p g q三點共線 得所以 有且只有一個實數(shù) 使而 所以又因為a b不共線 所以消去 整理得3mn m n 故 易錯誤區(qū) 忽視題目中的條件致誤 典例 2013 鄭州模擬 已知向量a b不共線 且c a b d a 2 1 b 若c與d同向 則實數(shù) 的值為 誤區(qū)警示 解答本題時 由于對兩個向量共線 同向 反向等概念理解不清 混淆它們之間的關(guān)系 導致錯解 規(guī)范解答 由于c與d同向 所以c kd k 0 于是 a b k a 2 1 b 整理得 a b ka 2 k k b 由于a b不共線 所以有整理得2 2 1 0 所以 1或又因為k 0 所以 0 故 1 答案 1 思考點評 1 準確理解向量共線的概念兩個向量共線 是指兩個向量的方向相同或相反 也稱平行向量 因此共線包含兩種情況 同向共線和反向共線 2 共線定理的理解 1 若a b 那么a與b共線 2 若a b 則當 0時 a與b同向 當 0時 a與b反向 1 2013 安康模擬 已知o a b是平面上的三個點 直線ab上有一點c 滿足則等于 a b c d 解析 選a 2 2013 蚌埠模擬 o是平面上一定點 a b c是平面上不共線的三個點 動點p滿足 0 則點p的軌跡一定通過 abc的 a 重心 b 垂心 c 內(nèi)心 d 外心 解析 選a 由題意得 令則ad與bc互相平分 則即p點在直線ad上 而ad在bc邊的中線上 所以p點的軌跡必經(jīng)過 abc的重心 3 2013 寶雞模擬 已知向量a b不共線 c ka b k r d a b 如果c d 那么 a k 1且c與d同向 b k 1且c與d反向 c k 1且c與d同向 d k 1且c與d反向 解析 選d 由c d得c d 即ka b a b k 1 向量c與d共線反向 4 2013 大連模擬 設a b都是非零向量 則下列四個條件 a b a b a 2b a b 其中可作為使成立的充分條件的有 a 0個 b 1個 c 2個 d 3個 解析 選b 對于 當a b時 與方向顯然不同 故不成立 對于 當a b時 a b不一定同向 故等式不一定成立 對于 當a 2b時 等式成立 對于 與的方向不一定相同 故等式不一定成立 綜上只有 可作為充分條件 5 2013 九江模擬 給出下列命題 向量長度與向量的長度相等 兩個有共同起點且長度相等的向量 其終點必相同 兩個有公共終點的向量 一定是共線向量 向量則a b c d必在一條直線上 其中真命題的序號為 寫出所有真命題的序號 解析 真命題 假命題 起點相同長度相等的兩向量方向不一定相同 故不正確 假命題 向量的終點相同并不能說明向量的方向相同或相反 假命題 時 直線ab cd可能平行也可能重合 綜上可得 命題 為真命題 答案 1 設a b為不共線的非零向量 那么 a 與同向 且 b 與同向 且 c 與反向 且 d 解析 選a 又 與同向 且 2 已知o是三角形abc的重心 動點p滿足則點p一定為三角形abc的 a ab邊中線的中點 b ab邊中線的三等分點 非重心 c 重心 d ab邊的中點 解析 選b 取ab的中點d 則故故點p為中線cd的三等分點 非重心 3 對于非零向量m n 定義運算 m n m n sin 其中 為m n的夾角 有兩兩不共線的三個向量a b c 若a b a c 則b c a b b a 若a b 0 則a b a b c a c b c a b a b 其中正確的個數(shù)有