數(shù)學(xué)論文 淺談數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用.doc

上教考資源網(wǎng) 助您教考無憂淺談數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法是證明與自然數(shù)有關(guān)的命題的一種方法，應(yīng)用廣泛在最近幾年的高考試卷中體現(xiàn)的特別明顯，以下通過幾道高考試題來談一談數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用。一、用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題時，由到時，首先要從要證的式子中拼湊出假設(shè)成立的式子，然后證明剩余的式子也能被某式（數(shù)）整除，這是數(shù)學(xué)歸納法證明問題的一大技巧。例1、是否存在正整數(shù)m，使得f（n）=（2n+7）3n+9對任意自然數(shù)n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并證明你的結(jié)論;若不存在，請說明理由.證明：解：由f（n）=（2n+7）3n+9，得f（1）=36， f（2）=336， f（3）=1036， f（4）=3436，由此猜想m=36.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=1時，顯然成立.（2）假設(shè)n=k時， f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）3k+9能被36整除;當(dāng)n=k+1時，2（k+1）+73k+1+9=3（2k+7）3k+9+18（3k-11），由于3k-11是2的倍數(shù)，故18（3k11）能被36整除.這就是說，當(dāng)n=k+1時，f（n）也能被36整除.由（1）（2）可知對一切正整數(shù)n都有f（n）=（2n+7）3n+9能被36整除，m的最大值為36.二、用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式問題對于證明恒等的問題，在由證等式也成立時，應(yīng)及時把結(jié)論和推導(dǎo)過程對比，也就是我們通常所說的兩邊湊的方法，以減小計(jì)算的復(fù)雜程度，從而發(fā)現(xiàn)所要證明的式子，使問題的證明有目的性例2、是否存在常數(shù)，使得等式對一切自然數(shù)成立？并證明你的結(jié)論解：假設(shè)存在，使得題設(shè)的等式成立，則當(dāng)時也成立，代入得解得，于是對，下面等式成立：令假設(shè)時上式成立，即那么這就是說，等式當(dāng)時也成立綜上所述，當(dāng)時，題設(shè)的等式對一切自然數(shù)都成立三、用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題用數(shù)學(xué)歸納法證明一些與n有關(guān)的不等式時，推導(dǎo)“nk1”時成立，有時要進(jìn)行一些簡單的放縮，有時還要用到一些其他的證明不等式的方法，如比較法、綜合法、分析法、反證法等等例3已知函數(shù)設(shè)數(shù)列滿足，數(shù)列滿足 （）用數(shù)學(xué)歸納法證明； （）證明證明：解：（）證明：當(dāng) 因?yàn)閍1=1，所以下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 （1）當(dāng)n=1時，b1=，不等式成立， （2）假設(shè)當(dāng)n=k時，不等式成立，即那么 所以，當(dāng)n=k+1時，不等也成立。根據(jù)（1）和（2），可知不等式對任意nN*都成立。 （）證明：由（）知， 所以 故對任意例4已知數(shù)列n是等差數(shù)列，11，1210100（1）求數(shù)列n的通項(xiàng)公式n；（2）設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)anlg（1），記Sn為an的前n項(xiàng)和，試比較Sn與lgn1的大小，并證明你的結(jié)論解：（1）容易得n2n1.（2）由n2n1，知Snlg（11）1g（1）lg（）lg（）（）（）.又1gbn1g，因此要比較Sn與1gbn的大小，可先比較（1）（）（）與的大小.取n=1，2，3時可以發(fā)現(xiàn)：前者大于后者，由此推測（1+1）（1+） （）. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明上面猜想：當(dāng)n=1時，不等式成立.假設(shè)n=k時，不等式成立，即（11）（1）（）.那么n=k+1時，（）（）（）（）（）.又2（）2，=當(dāng)n=k+1時成立.綜上所述，nN*時成立由函數(shù)單調(diào)性可判定Sn1gbn.四、用數(shù)學(xué)歸納法解決某些與正整數(shù)有關(guān)的探索性問題由有限個特殊事例進(jìn)行歸納、猜想、，從而得出一般性的結(jié)論，然后加以證明是科學(xué)研究的重要思想方法在研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題中，此思想方法尤其重要例5、已知y=f（x）滿足f（n1）=f（n）lgan1（n2，nN）且f（1）=lga，是否存在實(shí)數(shù)、使f（n）=（n2+n1）lga對任何nN *都成立，證明你的結(jié)論解：f（n）=f（n1）+lgan1，令n=2，則f（2）=f（1）+f（a）=lga+lga=0又f（1）=lga，f（n）=（n2n1）lga證明：（1）當(dāng)n=1時，顯然成立（2）假設(shè)n=k時成立，即f（k）=（k2k1）lga，則n=k+1時，f（k+1）=f（k）+lgak=f（k）+klga=（k2k1+k）lga=（k+1）2（k+1）1lga當(dāng)n=k+1時，等式成立綜合（1）（2）可知，存在實(shí)數(shù)、且=，=，使f（n）=（n2+n1）lga對任意nN*都成立點(diǎn)評：本題是探索性問題它通過觀察歸納猜想證明這一完整的過程去探索和發(fā)現(xiàn)問題，并證明所得出的結(jié)論的正確性，這是非常重要的一種思維能力六、數(shù)學(xué)歸納法與其它知識點(diǎn)的交匯數(shù)學(xué)歸納法在高考試題中常與數(shù)列、平面幾何、解析幾何等知識相結(jié)合來考查，對于此類問題解決的關(guān)鍵往往在于抓住對問題的所劃分標(biāo)準(zhǔn)，例如在平面幾何中要抓住線段、平面、空間的個數(shù)與交點(diǎn)、交線間的關(guān)系等例6、平面上有n個圓，每兩個圓交于兩點(diǎn)，每三個圓不過同一點(diǎn)，求證這n個圓分平面為n2n2個部分證明：（1）當(dāng)n1時，n2n21122，而一個圓把平面分成兩部分，所以n1時命題成立（2）設(shè)當(dāng)nk時，命題成立，即k個圓分平面為k2k2個部分，則nk1時，第k1個圓與前k個圓有2k個交點(diǎn)，這2k個交點(diǎn)把第k1個圓分成2k段，每一段把原來的所在平面一分為二，故共增加了2k個平面塊，共有k2k22k(k1)2(k1)2個部分當(dāng)nk1時，命題也成立由（1）（2）可知，這個圓把平面分成n2n2個部分點(diǎn)評：關(guān)于這類幾何問題，關(guān)鍵在于分析k與k1的差異，k到k1的變化情況，然后借助于圖形的直觀性，建立k與k1的遞推關(guān)系例7如下圖，設(shè)P1，P2，P3，Pn，是曲線y=上的點(diǎn)列，Q1，Q2，Q3， ，Qn，是x軸正半軸上的點(diǎn)列，且OQ1P1，Q1Q2P2，Qn1QnPn，都是正三角形，設(shè)它們的邊長為a1，a2，an，求證：a1+a2+an=n（n+1）.證明：（1）當(dāng)n=1時，點(diǎn)P1是直線y=x與曲線y=的交點(diǎn)，可求出P1（，）.a1=|OP1|=.而12=，命題成立.（2）假設(shè)n=k（kN*）時命題成立，即a1+a2+ak=k（k+1），則點(diǎn)Qk的坐標(biāo)為（k（k+1），0），直線QkPk+1的方程為y=xk（k+1）.代入y=，解得Pk+1點(diǎn)的坐標(biāo)為ak+1=|QkPk+1|=（k+1）=（k+1