數(shù)字信號處理課后習(xí)題答案.pdf

2008 12 22 簡略版 僅供參考 如有錯誤敬請見諒 由于 DSP2 第一次作業(yè)比較簡單 因此這里沒有給出答案 DSP2 第二次作業(yè) 1 A sinusoidal signal 2 sin nnx is applied to a second order linear predictor as in Fig 1 Calculate the theoretical ACF Auto Correlation Function of the signal and the prediction coefficients Verify that the zeros of the FIR prediction filter are on the unit circle at the right frequency Using the LMS algorithm with 1 0 show the evolution of the coefficients from time 0 n to How is that evolution modified if the sign algorithm is used instead 10 n 1 z 1 z nx ne 1 na 2 na Fig 1 Second order prediction filter 解 a 計(jì)算預(yù)測系數(shù)理論值 濾波器系數(shù)的維納最優(yōu)解 由 2 cos 2 1 2 sin 2 sin 2 1 2 sin 2 sin 1 0 kkiiknn EknxnxEkr i xx 2 10 02 1 0 1 1 0 rr rr Rx 2 1 0 2 1 r r nxnyEryx 11 2 0 1 optxyx a HR r a 輸出最小均方誤差理論值可由下式計(jì)算 2 min 00 0 50 11 2 T T opt yx JE ynHr 其中 5 0 0 22 rnxEnyE b FIR濾波器零點(diǎn) jzzzazH i i i 2 2 1 11 即零點(diǎn)在正弦信號x n 頻率的 2 1 0 對應(yīng)的z平面位置 c 用LMS算法 n 0 10時系數(shù)的近似值 LMS 2008 12 22 1 1 1 1 1 1 nXnHnyne nenXnHnH T 在線性預(yù)測誤差濾波的LMS算法中 1 1 1 1 21 nxny nxnxnXnX nananAnH T T 1 1 1 1 nXnAnxne nenXnAnA T T A nnx n nx 0 0 0 0 0 2 sin 所以 LMS算法下的預(yù)測誤差濾波器 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 21 nx nx ne na na na na nx nx nananxne 344 0 00 344 0 0729 0 27 000 27 0081 0 19 000 19 009 0 1 000 1 001 0 2 0 2 0 2 2 2 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 21 21 21 aaxen aaxen aan d 符號算法 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 21 nx nx signnesign na na na na nx nx nananxne 0 1 nxnxsign nx 2008 12 22 4 000 4 007 0 3 000 3 008 0 2 000 2 009 0 1 000 1 001 0 2 0 2 0 2 2 2 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 21 21 21 aaxen aaxen aan 2 A second order adaptive FIR filter has the input as 2 sin nnx and 2 5 0 1 nxnxnxny as reference signal Calculate the coefficients starting from zero initial values from time n 0 to n 10 Calculate the theoretical residual error and the time constant and compare with the experimental results 1 0 解 取1 0 a 計(jì)算n 0 10的系數(shù) 3 1 1 1 2 1 1 1 1 2 5 0 1 nenXnHnH nXnHnyne nxnxnxny T 2 cos 2 1 k krxx 2 10 02 1 0 1 1 0 rr rr Rx 2 1 4 1 1 5 0 0 1 2 5 0 1 0 rrr rrr ryx 1 2 1 1 yxxopt rRH 2 min T opt yx JE ynHr 2 1 4 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 25 0 1 222 T nxnxnxnxnxnx nxnxnxE 08 5 2 1 3 0 25 2 rrr 2008 12 22 Theoretical residual error 0 2 1 2 min NJJ Theoretical time constant 2 2 1 11111 20 0 0 1 0 5 N ekxkx k x R rN 是特征值 注意 由于均方收斂的時間常數(shù)比均值收斂的時間常數(shù)小 所以實(shí)際應(yīng)用中采用較保守的理論估計(jì)值 即采用均值收斂的時間常數(shù)作為算法收斂的時間常數(shù)的理論估計(jì)值 利用 2 3 作迭代 0 0 nnx 0 0 0 21 hh 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 21 nx nx ne nh nh nh nh nx nx nhnhnyne 1 5 0 1 1 nxnxnxny 5 0111 2624 0 0 1 4095 0 2376 0 1010 4095 0 2376 0 06561 0 0 6561 0 1 0 3439 0 2376 0 5 019 3429 0 2376 0 0 02916 0 2916 0 0 1 3439 0 2084 0 108 3439 0 2084 0 0729 0 0 729 0 1 0 271 0 2084 0 5 017 271 0 2084 0 0 0324 0 324 0 0 1 271 0 176 0 106 271 0 176 0 081 0 0 81 0 1 0 19 0 176 0 5 015 19 0 176 0 0 036 0 36 0 0 1 19 0 14 0 104 19 0 14 0 09 0 0 9 0 1 0 1 0 14 0 5 013 1 0 14 0 0 04 0 4 0 0 1 1 0 1 0 102 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 111 0 01 0 1 0 1 0 1 0 0 000 1 1 1 1 1 TT TTTT TTTT TTTT TTTT TTTT TTTT TTTT TTTT TTTT TTTT nHnXnenenXnHnynxn b 根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果計(jì)算殘差和時間常數(shù) 殘差 0698 0 11 2 e 時間常數(shù) 通過觀察見 在n為偶數(shù)時 誤差變化波動大 因此應(yīng)選擇在n為奇數(shù)時的誤差值確定時間常數(shù)較合 理 2916 0 9 8 9 9 XHye T 26424 0 11 10 11 11 XHye T 0 0 2994 20 11 9 22 22 911 2 22 eJeE eeeee 所以在計(jì)算時可假設(shè)由于 2008 12 22 所以實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論值是符合的 3 Adaptive line enhancer Consider an adaptive third order FIR predictor The input signal is sin 0 nbnnx where is a white noise with power Calculate the optimal coefficients Give the noise power in the sequence nb 2 b 31 ia opti 3 1 i opti inxans as well as the signal power Calculate the SNR enhancement 解 a 計(jì)算31 ia opti 2 00 0 2 0 00 2 2 1 cos 2 1 2cos 2 1 cos 2 1 2 1 cos 2 1 2cos 2 1 cos 2 1 2 1 b b b x R 1 nxny 由于窄帶信號為白噪聲 時延參數(shù)D選擇1 0 0 0 3cos 2 1 2cos 2 1 cos 2 1 yx r opt opt opt yxxopt a a a rRA 3 2 1 1 b 原 2 0 2 1 b SNR 而 3 1 22 i iopt inxaEnSE 2 2 1 2 0 313221 2 3 2 2 2 1 raaraaaaraaa 03103221 2 3 2 2 2 1 2coscos 2 1 aaaaaaaaa 信號 22 3 2 2 2 1 b aaa 噪聲 2008 12 22 所以此時 2coscos 1 2 1 22 3 2 2 2 1 03103221 2 bb aaa aaaaaa SNR 2coscos 21 2 3 2 2 2 1 03103221 0 aaa aaaaaa SNR 2coscos 21 0 tenhancemen 2 3 2 2 2 1 03103221 aaa aaaaaa SNRSNRSNR DSPII 第三次作業(yè)答案 一 The definition of the discrete STFT of a digital signal x n n Z is as following m m Nkmj emnwmxknX 2 window function length of Please explain the above discrete STFT from filtering point and demonstrate the OLA method of the inverse discrete STFT 即證明離散 STFT 反變換的 OLA 法 有時又稱著 OLA 綜合方法 nw w N nw 答 1 從濾波器的角度解釋 STFT 分成從低通和帶通兩部分 具體見課件第四章第 17 19 頁 需要公式和框圖說明 2 2 1 0 kn j N p L y nX pL k e WN 由 STFT 的定義有 2 kn j N m X pL kx n w pLn e 講 p 看做常數(shù)時 y n 表達(dá)式 中中括號部分是對 X pL k 做 IDFT 變換 即為 yp n x n w pL n 所以 0 0 pp LL y nx n w pLnx nw pLn WW 當(dāng)存在n 使得 0 w 0 2 1 0 L n j L w pp LWn w pLnw pLnW weW WL 即時域上 頻域上 0 時 2 1 0 1 0 kn N j N pk L y nx nX pL k e WN 這只是簡略版的證明 二 a 簡述最大熵譜估計(jì)與參數(shù)模型法譜估計(jì)的原理 從傳統(tǒng)譜估計(jì)法存在的缺點(diǎn)及其原因出發(fā)討論最大 熵譜估計(jì)與參數(shù)模型法譜估計(jì)的優(yōu)點(diǎn) 答 略 b 討論AR模型譜估計(jì)與線性預(yù)測誤差濾波之間的關(guān)系 根據(jù)此關(guān)系 進(jìn)一步討論Burg法AR模型 參數(shù)估計(jì)方法的依據(jù)與原理 2008 12 22 答 AR 模型譜估計(jì)與線性預(yù)測誤差濾波之間的關(guān)系見課件第五章 第二部分 5 7 譜估計(jì) 的參數(shù)模型法部分第 13 14 17 18 頁 Burg 法 AR 模型參數(shù)估計(jì)方法的依據(jù)與原理見課件 5 8 節(jié)第 8 3 頁 三 P 162 4 17 4 18 4 19 4 20 P 163 4 5 現(xiàn)代數(shù)字信號處理 答 4 17 略 4 18 根據(jù)自相關(guān)矩陣的性質(zhì) 5 有 2 2 11 MN TT xsiiiii ii M Ru uu u 如果忽略噪聲的 影響 只保留信號子空間中的特征矢量的信息 這樣可以提高信噪比 4 19 見課件第五章 最后一部分之 根據(jù)問題特性尋找新的方法 該節(jié)中第 35 36 37 38 39 幾頁 4 20 Pisakenko 法考察 N M 1 的特殊情況 采樣樣本長度比正弦波的數(shù)目多 1 把頻率 換成單位園上零點(diǎn)的角度 Music 中采樣樣本長度為 N 復(fù)正弦波的數(shù)目為 M 利用最大的 M 個峰所對應(yīng)的 頻率估計(jì)正弦波頻率 4 5 1 4 2 0 1 0 11 18 2 52 5 xx i r krkE x n x nkrx irr 初始化 j 0 0 0 11Er j 1 112 111 1 0 0 7213 1 0 5 1818akrrEkr j 2 時 遞推得到 12211221 212211212 1 1 2 2 1 0 1193 0 8140 1 5 1081kra rak aak aEkE E 所以 2 階時的解為 2 22 11222 1 0 8140 0 1193 0 1193 0 1 2701 4 2 8981 i i aaaaax na x ni xx 圖略 2 已知 x 0 1 x 1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 5 初始化 002 0 0 11 ab e nx n e nx nr j 1 時 4 00 100 1 1144 0202 11 2 2022 23 24 25 0 92524 1 1 2121 21 21 21 1 ab BBT n aab ab nn e n e n Ke ne nK e n e ne n 2008 12 22 10022 11 2019181716 1 1 0027 2121212121 BT bba e nenK enK 10 B j 2 時 4 11 222 1 222144 1212 11 2 647 0 9571 1 0 0859 676 1 ab BB n ab nn en e n KK ene n 12112 11112122 2222 1212 0 9524 1 8639 0 9571 0 1 2 0 8567 4 3 2 4 5841 BBB aKaaK aaK xa xa xxa xa x 211 2 211 2 1 1 0 1361