【教學設計】《球》（數(shù)學北師大必修二）

球教學設計本課時編寫：崇文門中學 高巍巍教材分析: 教材基于學生已有的對空間幾何體體積的知識基礎，通過提供直觀形象的觀察和推導，了解推導過程中基本的數(shù)學思想方法“分割、求和、化為準確和”，進一步得出球的表面積、體積公式.球是重要的幾何體，需要研究、分析、應用，而且可以先滲透極限思想，對微積分有初步的認識和了解.教學目標：【知識與能力目標】1. 通過對球的表面積、體積公式的推導，了解推導過程中基本的數(shù)學思想方法“分割、求和、化為準確和”，有利于同學進一步學習微積分知識和近代數(shù)學知識；2. 能運用球的表面積、體積計算公式進行計算和解決有關實際問題；3. 培養(yǎng)學生空間想象能力和思維能力.【過程與方法】1. 學生研究體會球表面積、體積關系變化過程，滲透極限思想；2. 學生通過學習能增強空間想象能力.【情感態(tài)度與價值觀】通過學習，學生感受到幾何體體積的求解過程，對自己空間思維能力影響，從而增強學習的積極性.教學重難點： 【教學重點】球的表面積、體積.【教學難點】球的表面積、體積公式推導. 課前準備： 課件、學案、實物模型. 教學過程： 一、課題引入：下面的物體呈什么形狀？ 問題1：還有什么物體給我們球的形象呢？問題2：球可以由平面圖形怎么得到呢？問題3：它也有表面積和體積，那么它的表面積和體積是什么？如何得到呢？ 那我們就先一起來研究球的體積吧.二、新課探究：1球的概念：半圓以它的直徑為旋轉軸，旋轉一周所形成的曲面叫做球面球面所圍成的幾何體，叫做球體，簡稱球球的各個元素（如圖所示）：（1）球心；（2）球的半徑；（3）球的直徑.O直徑半徑球心2.球的體積：球的體積現(xiàn)在不知道怎么求，那如何把未知的轉化成已知呢？那可以考慮將球拆分嗎？如果用一組等距離的平面去切割球，當距離很小時得到很多“小圓片”， “小圓片”的體積之和正好是球的體積.由于“小圓片”近似于圓柱形狀，所以它的體積也近似于相應圓柱的體積，因此求球的體積可以按“分割、求和、化為準確和”的方法來進行. 步驟： 如圖，把半球垂直于底面的半徑OA作n等分，過這些等分點，用一組平行于底面的平面把半球切割成n個“小圓片”， “小圓片”的厚度近似為，底面是“小圓片”的下底面. 由勾股定理可得第i層（由下向上數(shù)）“小圓片”的下底面半徑： （）第i層“小圓片”的體積為：，（） 半球的體積：1（1）（1）1n（注：）n）=當所分的層數(shù)不斷增加，也就是說，當n不斷變大時，式越來越接近于半球的體積，如果n無限變大，就能由式推出半徑的體積.事實上，n增大，就越來越小，當n無限大時，趨向于0，這時，有，所以，半徑為R的球的體積為： 球的體積：.（R為球的半徑） 同樣方法思路推導球的表面積3.球的表面積： 球的表面積：.（R為球的半徑）【設計意圖】這個公式的推導難度較大，所以只試著推導一個體積公式，表面積公式不再做推導，思路方法基本相同，只作為了解，不需要完全理解掌握，只要滲透分割、極限的數(shù)學思想方法即可.球的體積、表面積的公式應用才是這節(jié)課的重點.4.球的截面問題：用一個平面去截一個球，截面是圓面：（1）球心和截面圓心的連線垂直于截面；（2）球心到截面的距離d與球的半徑r，有下面的關系：da OOdRrP球面被經過球心的平面截得的圓叫做球的大圓，被不經過球心的平面截得的圓叫做球的小圓知識拓展：過南北極的半大圓是經線，平行于赤道的小圓是緯線球面上兩點之間的最短距離，就是經過兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度，我們把這個弧長叫做兩點的球面距離.5.正方體的內切球和外接球 正方體的內切球：正方體的邊長為球直徑設正方體邊長為，球的半徑為. 正方體的外接球：正方體的體對角線為球的直徑設正方體邊長為，球的半徑為.三、知識應用：題型一計算球的體積、表面積問題例1. (1) 已知球的半徑為2cm，求這個球的體積、表面積.解： (2) 已知球的表面積為，求球的半徑及體積. 解： ， 則 ， .【設計意圖】 通過題目的練習更加好的理解記憶公式并使用，可以更靈活的應用.例2. 如圖所示,圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑,求證：(1) 球的體積等于圓柱體積的；(2) 球的表面積等于圓柱的側面積證明：（1）設球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R.則有，所以.（2）因為，所以.22主視圖俯視圖左視圖2題型二三視圖中的球例3. 一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）A B C D 解：正方體和球組成，球半徑為1，.【設計意圖】高考中將三視圖和表面積體積問題經常合一考查， 所以這一類問題是重點. 題型三正方體外接球與內切球例4. (1) 若一個球內切于棱長為的正方體內，則該球的表面積為；體積為(2) 一個正方體的頂點都在球面上，它的棱長是，則球的表面積為；體積為 (3) 一個長方體的各頂點均在同一球的球面上,且一個頂點上的三條棱的長分別為,則此球的表面積為；體積為解：(1) ，則，(2) ，則，.(3) 同理正方體思考，體對角線為球直徑，. 則，. 【設計意圖】理解一般情況后，請同學舉例特殊值計算，或者反球.最重要的明確棱長與球半徑間的關系，自然找到解決辦法. 請同學思考正四面體內切球及外接球.題型四球的截面問題例5. 若與球心距離為4的平面截球所得的截面圓的面積是9,求球的表面積. 解：與球心距離為4的平面截球所得的截面圓的面積是9，d=4時，r=3故R=5球的表面積S=4R2=100.題型五計算球表面積、體積的實際問題例6.一個圓柱形的玻璃瓶的內半徑為3cm，瓶里所裝的水深為8cm，將一個鋼球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5cm，求鋼球的半徑.解：設鋼球的半徑為R，由題意得：，解得，