【立體設(shè)計】高考數(shù)學(xué) 第九章 8 立體幾何中的向量方法課后限時作業(yè) 理（通用版）.doc

2012高考立體設(shè)計理數(shù)通用版第九章 8 立體幾何中的向量方法課后限時作業(yè)一、選擇題（本大題共6小題，每小題7分，共42分） 1.若直線l的方向向量為a，平面的法向量為n，能使l的是 ( )a(1,0,0)，n(2,0,0)a(1,3,5)，n(1,0,1)a(0,2,1)，n(-1,0，-1)a(1，1,3)，n(0,3,1)解析：若l，則an=0，只有選項d中an=0答案：d2.已知e、f分別是正方體abcda1b1c1d1中bb1、dc的中點，則異面直線ae與d1f所成的角為()a30 b60c45 d90解析：以a1為原點，、為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系不妨設(shè)正方體的棱長為2，則a(0,0,2)，e(2,0,1)，d1(0,2,0)，f(1,2,2)，(2,0，1)，(1,0,2)，所以0，所以aed1f，即ae與d1f所成的角為90.答案：d3已知兩平面的法向量分別為m(0,1,0)，n(0,1,1)，則兩平面所成的二面角為 ()a45 b135c45或135 d90解析：設(shè)二面角為，則cosm，n，所以45或135.答案：c4.已知正四棱柱abcda1b1c1d1中，aa12ab，e為aa1中點，則異面直線be與cd1所成角的余弦值為( )a b cd解析：如圖，連結(jié)a1b，則有a1bcd1，a1be就是異面直線be與cd1所成角.設(shè)ab=1，則a1e=ae=1，所以be=，a1b=.由余弦定理可知：cosa1be=.答案：c5.（2011屆威海質(zhì)檢）已知長方體abcda1b1c1d1中，abbc4，cc12，則直線bc1和平面dbb1d1所成角的正弦值為()a. b.c. d.解析：以d為原點，分別以、所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則b(4,4,0)，c1(0,4,2)，所以(4,0,2)易知平面bdd1b1的法向量為(4,4,0)，所以cos，所以所求線面角的正弦值為sin cos，.答案：c6正方體abcda1b1c1d1的棱長為1，o是a1c1的中點，則o到平面abc1d1的距離為()a. b. c. d.解析：(方法1)如圖，e為ad1的中點，過o點作ofa1e，交c1e于點f.因為e為ad1的中點，所以ea1ad1.又因為ba面aa1d1d，所以baea1，所以ea1面abc1d1.又因為foea1，所以fo面abc1d1，所以foea1，所以選b.(方法2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得，平面abc1d1的法向量(1,0,1)，點o到平面abc1d1的距離d，所以選b.答案：b二、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分）7已知直線l的方向向量是e，平面、的法向量分別是n1、n2，若a，且en1，en2，則l與a的關(guān)系是 解析：若l與a重合，符合條件；若l與a不重合，由條件知l，l，故l必定與、的交線平行，即la.答案: la或l與a重合8.長方體abcda1b1c1d1中，abaa12，ad1，e為cc1的中點，則異面直線bc1與ae所成角的余弦值為 解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則a(1,0,0)，e(0,2,1)，b(1,2,0)，c1(0,2,2)，(1,0,2)，(1,2,1)，cos,=.答案：9.在棱長為1的正方體abcda1b1c1d1中，e、f分別是a1b1、cd的中點，則點b到截面aec1f的距離為 .解析：以d為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則a（1，0，0），.所以.設(shè)平面aec1f的法向量為n=（1，,），則有所以所以n=(1,2,-1).又因為=（0，1，0），所以點b到截面aec1f的距離為.答案：10.在棱長為1的正方體abcd-a1b1c1d1中，平面ab1c與平面a1c1d間的距離為 .解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面a1c1d的一個法向量n=(x,y,1),則即所以n=(1,1,1),所以平面ab1c與平面a1c1d間的距離d=.答案：三、解答題（本大題共2小題，每小題12分，共24分）11. 在棱長為1的正方體abcda1b1c1d1中，e、f分別是d1d、bd的中點，g在棱cd上，且cgcd，h為c1g的中點，應(yīng)用空間向量方法求解下列問題(1)求證：efb1c.(2)求ef與c1g所成角的余弦(1)證明：以d為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系dxyz，則e，f，c(0,1,0)，b1(1,1,1)，c1(0,1,1)，g.因為，(1,0，1)，所以00，所以，即efb1c.(2)解：，所以|.由(1)知|.又因為，所以cos，故ef與c1g 所成角的余弦值為.12.已知棱長為1的正方體ac1，e、f分別是b1c1、c1d1的中點（）求證：e、f、d、b共面；（）求點a1到平面bdef的距離；（）求直線a1d與平面bdef所成的角（1）證明：因為e、f分別為b1c1、c1d1的中點，所以efb1d1.在正方體abcd-a1b1c1d1中，b1d1bd，所以efbd.所以e、f、d、b點共面.（2）解：由圖知b（1，1，0），.設(shè)n=(x,y,z)是平面bdef的法向量，由n,ndf, ,得nx+y=0，n=y+z=0，則x=-y,z=-y. 令y=1，得n=.設(shè)點a1在平面bdfe上的射影為h，連結(jié)a1d，知a1d是平面bdfe的斜線段因為=(-1,0,-1),n =(-1)(-1)+01+(-1)=.又因為，,所以.所以點a1到平面bdef的距離為1.（3）解：，所以=45,所以直線a1d與平面bdef所成的角為45.b組一、選擇題(本大題共2小題，每小題8分，共16分) 1若e為正方體abcda1b1c1d1中cd的中點，aba，則a1e與b1b的距離是()a.a ba c.a d.a解析：可利用公式d，也可先轉(zhuǎn)化成線面距離(即bb1到面a1ae的距離)再求解答案：c2.正四棱柱abcd-a1b1c1d1中，底面邊長為，側(cè)棱長為4，e，f分別為棱ab，bc的中點，efbd=g則三棱錐b1-efd1的體積v ( )a. b. c. d.16解析：以d為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則所以所以.所以，所以設(shè)平面d1ef的方程為x+by+cz+d=0，將點d1,e,f代入得所以所以平面d1ef的方程為x+y+z=0,其法向量為n=,所以點b1到平面d1ef的距離,所以,即為所求.答案：c二、填空題（本大題共2小題，每小題8分，共16分）3.正四棱錐sabcd中，o為頂點在底面上的射影，p為側(cè)棱sd的中點，且sood，則直線bc與平面pac所成的角是 解析：如圖，以o為原點，建立空間直角坐標(biāo)系o-xyz.設(shè)od=so=oa=ob=oc=a，則a(a,0,0)，b(0，a,0)，c(-a,0,0)，p,則，設(shè)平面pac的法向量為n，可求得n(0,1,1)，則，所以60，所以直線bc與平面pac所成的角為906030.答案：304.如圖，在長方體abcd-a1b1c1d1中,abbc2，aa11，則bc1與平面bb1d1d所成角的正弦值為 .解析：連結(jié)a1c1交b1d1于o，連結(jié)bo，則a1c1b1d1.又a1c1bb1，b1d1bb1=b,所以a1c1平面bb1d1d.所以c1bo是bc1與平面bb1d1d所成的角.在rtboc1中，bc1,c1o=,所以sinc1bo.(也可用向量法求解)答案：三、解答題（本大題共2小題，每小題14分，共28分）5.如圖所示，在長方體abcd-a1b1c1d1中，已知ab4，ad3，aa12，e、f分別是線段ab、bc上的點，且ebfb1.（）求二面角c-de-c1的正切值；（）求直線ec1與fd1所成角的余弦值解：（1）以a為原點，ab、ad、aa1分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則有d(0,3,0)，d1(0,3,2)，e(3,0,0)，f(4,1,0)，c1(4,3,2)，于是=（3,-3，0），=（1，3，2），=（-4，2，2）.設(shè)平面c1de的法向量為n=（x，y，z）.則n，n,所以3x-3y=0,x+3y+2z=0.所以x=y=.令z=2,則n(1，1,2)因為向量(0,0,2) 是平面cde的一個法向量，所以n與向量所成的角為二面角c-de-c1的平面角因為,所以（2）設(shè)ec1與fd1所成的角為，則.6.（2010重慶）如圖，四棱錐p-abcd中，底面abcd為矩形，pa底面abcd，pa=ab=，點e是棱pb的中點.（）求直線ad與平面pbc的距離；（）若ad=，求二面角a-ec-d的平面角的余弦值解：（1）以a為坐標(biāo)原點，射線ab、ad、ap分別為x軸、y軸、z軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系a-xyz設(shè)d(0,a,0)，則b,c,p，e.因此，則0，0，所以ae平面pbc.又由adbc知ad平面pbc，故直