高等數(shù)學(xué)(A-B)上冊(cè)期中+期末試卷(完整版-03-09-東南大學(xué)).doc

0309級(jí)高等數(shù)學(xué)（A）（上冊(cè)）試卷東南大學(xué)2003級(jí)高等數(shù)學(xué)（A）（上）期中試卷一、單項(xiàng)選擇題（每小題4分，共12分）1., （）（A）；（B）；（C）；（D）。2.方程（）（A） 一個(gè)實(shí)根；（B）二個(gè)實(shí)根；（C）三個(gè)實(shí)根；（D）五個(gè)實(shí)根。3.已知函數(shù)則（）（A） 不可導(dǎo)；（B）可導(dǎo)且；（C）取得極大值；（D）取得極小值。二、填空題（每小題4分，共24分）1. 時(shí)，.2.設(shè)函數(shù)，則處 ，其類型是 .3.函數(shù)余項(xiàng)的三階公式為 4.設(shè)函數(shù)，則 .5.已知，則 .6.設(shè)，其中，三、（每小題7分，共28分）1.求極限. 2.求極限3.已知，求. 4.設(shè).四、（8分）求證，.五、（6分）落在平靜水面上的石頭產(chǎn)生同心圓形波紋。若最外一圈半徑的增大率總是，問2秒末受到擾動(dòng)的水面面積的增大率為多少？六、（8分）試就a的不同取值，討論方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)。七、（6分）設(shè)函數(shù)，證明：至少存在一點(diǎn)，使。八、（8分）在橢圓上求一點(diǎn)，使得它與另外兩點(diǎn)，構(gòu)成的三角形。2004級(jí)高等數(shù)學(xué)（A）（上）期中試卷一. 填空題(每小題4分,共20分)1.設(shè)時(shí), 與是等價(jià)無窮小,則 .2.設(shè)在處連續(xù),則 .3.設(shè)則 .4.函數(shù)在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)減少.5.函數(shù)在處的帶Lagrange余項(xiàng)的一階Taylor公式為 二. 選擇題(每小題4分,共16分)1.設(shè)則是的 (A) 連續(xù)點(diǎn) (B) 第一類(非可去)間斷點(diǎn) (C) 可去間斷點(diǎn) (D) 第二類間斷點(diǎn)2.設(shè)且在處連續(xù),則 (A) = (B) = - (C) (D) 不存在3.函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 34.設(shè)曲線則該曲線 (A)有漸近線 (B) 僅有水平漸近 (C) 僅有垂直漸近線 (D) 既有水平漸近線, 又有垂直漸近線三. 計(jì)算題(每小題7分,共3 5分)1. 2. 3. 設(shè)是由方程確定的隱函數(shù),求.4. 設(shè), 求.5. 設(shè)函數(shù)且存在,試確定常數(shù)四.(8分) 證明不等式: 當(dāng)時(shí), .五.(8分) 求曲線的切線,使切線與直線及直線所圍成的圖形的面積最大.六.(7分) 設(shè),證明數(shù)列收斂,并求.七.(6分) 設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且證明:，使得.2005級(jí)高等數(shù)學(xué)（A）（上）期中試卷一填空題（本題共5小題，每小題4分，滿分20分）1 ；2當(dāng)時(shí),與是等價(jià)無窮小,則 ;3設(shè)，則 ；4函數(shù)在處帶有余項(xiàng)的二階公式為 ；5已知函數(shù)可導(dǎo)，則 ， 。二單項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題4分，滿分16分）6設(shè)函數(shù)，則 （A）都是的第一類間斷點(diǎn)（B）都是的第二類間斷點(diǎn)（C）是的第一類間斷點(diǎn)，是的第二類間斷點(diǎn)（D）是的第二類間斷點(diǎn)，是的第一類間斷點(diǎn)7設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程確定，則曲線在處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 （A） （B） （C） （D）8以下四個(gè)命題中，正確的是 （A）若在內(nèi)連續(xù)，則在內(nèi)有界（B）若在內(nèi)連續(xù)，則在內(nèi)有界（C）若在內(nèi)有界，則在內(nèi)有界（D）若在內(nèi)有界，則在內(nèi)有界9當(dāng)取下列哪個(gè)數(shù)值時(shí)，函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn) （A） （B） （C） （D）三計(jì)算題（本題共5小題，每小題7分，滿分35分）10 11。12 13。設(shè)求14設(shè)函數(shù)由方程所確定，求。四（本題共4道題，滿分29分）15（本題滿分6分）如果以每秒的勻速給一個(gè)氣球充氣，假設(shè)氣球內(nèi)氣壓保持常值，且形狀始終為球形，問當(dāng)氣球的半徑為時(shí)，半徑增加的速率是多少？16（本題滿分7分）證明不等式： 17（本題滿分8分）在拋物線上求一點(diǎn)，使弦的長(zhǎng)度最短，并求最短長(zhǎng)度，其中是過點(diǎn)的法線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)。18（本題滿分8分）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：（1） 至少存在一點(diǎn)，使得；(2) 至少存在互異的兩點(diǎn)，使得 2006級(jí)高等數(shù)學(xué)（A）（上）期中試卷一. 填空題（前四題每題4分，第5題8分，滿分24分）1函數(shù)的全部間斷點(diǎn)分別是 ，它們的類型依次分別為 ；2已知，則，；3設(shè)，其中為可微函數(shù)，則微分；4設(shè)，若在處可導(dǎo)，則，；5舉出符合各題要求的一例，并將其填寫在橫線上：（1）在處不連續(xù)，但當(dāng)時(shí)，極限存在的函數(shù)有（2）在處連續(xù)，但在時(shí)不可導(dǎo)的函數(shù)有（3）在處導(dǎo)數(shù)為，但不為極值點(diǎn)的連續(xù)函數(shù)有（4）屬于“”或“”未定型，且存在有限極限，但極限不能用洛必達(dá)法則求得的有二.單項(xiàng)選擇題（每題4分，滿分12分）1設(shè)是單調(diào)增函數(shù)，是單調(diào)減函數(shù)，且復(fù)合函數(shù)，都有意義，則下列函數(shù)組中全為單調(diào)減函數(shù)的是 (A) (B) (C) (D) 2當(dāng)時(shí)，若是比更高階的無窮小，則 (A) (B) (C) (D) 3下面四個(gè)論述中正確的是 (A)若，且數(shù)列單調(diào)遞減，則數(shù)列收斂，且其極限 (B)若，且數(shù)列收斂，則其極限(C)若，則 (D)若，則存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有。三.計(jì)算題（每題7分，滿分35分）1 2. 3設(shè)，求 . 4. 設(shè)，求.5. 設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程. 四.（8分）設(shè)，證明數(shù)列收斂并求極限.五.（8分）證明：當(dāng)時(shí), 有.六. (7分) 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，試證：存在一點(diǎn)，使得 七(6分) 設(shè) (其中為正整數(shù))， （1）證明：在內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，即存在唯一的，使；（2）計(jì)算極限.2007級(jí)高等數(shù)學(xué)（A）（上）期中試卷一.填空題（每小題4分，滿分24分）1當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無窮小，則，；2已知，則，；3函數(shù)帶余項(xiàng)的階公式是4；5當(dāng)某質(zhì)點(diǎn)沿曲線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處時(shí), 該質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)和坐標(biāo)關(guān)于時(shí)間的變化率相等，點(diǎn)的坐標(biāo)為6函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為 ，極大值為 .二.單項(xiàng)選擇題（每題4分，滿分12分）7設(shè)對(duì), 有, , 則 (A) 存在且等于零 (B) 存在且不等于零 (C) 一定不存在 (D) 不一定存在8極限 (A) (B ) (C) (D) 9函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 (A) (B) (C) (D) 三.計(jì)算題（每小題8分，滿分32分）10 11. 設(shè)，求.12設(shè)，求. 13.試確定常數(shù)、的值，使得曲線和在點(diǎn)處相切，并求切線方程.四(14).（8分）討論的連續(xù)性，并指出間斷點(diǎn)的類型（應(yīng)說明理由）.五(15).（8分）設(shè)函數(shù)在上定義，,并對(duì)任意實(shí)數(shù)和,恒有, 證明在上處處可導(dǎo),并求.六(16). (8分) 設(shè), , 且，證明：當(dāng)時(shí)，.七(17)(8分) 設(shè)在閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在開區(qū)間內(nèi)二階可導(dǎo)，且， 試證：至少存在一點(diǎn) 使得.2008級(jí)高等數(shù)學(xué)（A）（上）期中試卷一.填空題（每個(gè)空格4分，本題滿分32分）1 ；2當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無窮小，則 ， ；3設(shè)，則_；4設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，則 ；5在處帶有余項(xiàng)的二階公式為_ _；6已知曲線和在點(diǎn)處相切，則 ， .二.單項(xiàng)選擇題（每小題4分，本題滿分12分）7設(shè),其中常數(shù)、互不相等,且 , 則的值等于 (A) (B) (C) (D) 8若極限存在，則下列極限一定存在的是 (A) （為實(shí)常數(shù)） (B ) (C) (D) 9 已知存在,則 (A) (B) (C) (D) 三.計(jì)算題（本題滿分27分）10（7分） 11. （6分） 12（7分）設(shè)，求. 13. （7分）設(shè)，其中函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求. 四(14).（7分）已知函數(shù)可導(dǎo)，試求常數(shù)和的值.五(15).（7分）試求函數(shù)的間斷點(diǎn)，并指出間斷點(diǎn)的類型（需說明理由）.六(16). (9分)設(shè)，證明：.七(17)(6分) 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上二階可導(dǎo)，且，證明：對(duì)于任意的，都存在，使得 .2009級(jí)高等數(shù)學(xué)（A）（上）期中試卷 2003級(jí)高等數(shù)學(xué)（A）（上）期末試卷一、單項(xiàng)選擇題（每小題4分，共16分）1設(shè)函數(shù)由方程確定，則（ ）2曲線的漸近線的條數(shù)為（ ）3設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖形如右圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖形為（ ）4微分方程的特解形式為（ ）二、填空題（每小題3分，共18分）12若，其中可導(dǎo)，則3設(shè)若導(dǎo)函數(shù)在處連續(xù)，則的取值范圍是。4若，則的單增區(qū)間為,單減區(qū)間為.5曲線的拐點(diǎn)是6微分方程的通解為三、計(jì)算下列各題（每小題6分，共36分）1計(jì)算積分 2計(jì)算積分3. 計(jì)算積分 4. 計(jì)算積分5.設(shè)連續(xù)，在處可導(dǎo)，且，求6.求微分方程的通解四.（8分）求微分方程滿足條件的特解五.（8分）設(shè)平面圖形D由與所確定，試求D繞直線旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積。六.（7分）設(shè)質(zhì)量均勻分布的平面薄板由曲線C:與軸所圍成，試求其質(zhì)量七.（7分）設(shè)函數(shù)在上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且，證明：至少存在一點(diǎn)，使得2004級(jí)高等數(shù)學(xué)（A）（上）期末試卷一. 填空題（每小題4分，共20分）1函數(shù)的間斷點(diǎn) 是第 類間斷點(diǎn).2. 已知是的一個(gè)原函數(shù),且,則 .3. .4. 設(shè),則 .5. 設(shè)函數(shù),則當(dāng) 時(shí),取得最大值.二. 單項(xiàng)選擇題(每小題4分,共16分)1. 設(shè)當(dāng)時(shí),都是無窮小,則當(dāng)時(shí),下列表達(dá)式中不一定為無窮小的是 (A) (B) (C) (D)2. 曲線的漸近線共有 (A) 1條 (B) 2條 (C) 3條 (D) 4條3. 微分方程的一個(gè)特解形式為 (A) (B) (C) (D) 4. 下列結(jié)論正確的是 (A) 若,則必有.(B) 若在區(qū)間上可積,則在區(qū)間上可積.(C) 若是周期為的連續(xù)函數(shù),則對(duì)任意常數(shù)都有.(D) 若在區(qū)間上可積,則在內(nèi)必有原函數(shù).三. (每小題7分,共35分)1. 2. 設(shè)函數(shù)是由方程所確定的隱函數(shù),求曲線在點(diǎn)處的切線方程.3. 4. 5. 求初值問題 的解.四.(8分) 在區(qū)間上求一點(diǎn),使得圖中所示陰影部分繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積最小. 五.(7分) 設(shè) ,求證 .六.(7分) 設(shè)當(dāng)時(shí),可微函數(shù)滿足條件且,試證: 當(dāng)時(shí),有 成立.七.(7分) 設(shè)在區(qū)間上連續(xù),且,證明在區(qū)間內(nèi)至少存在互異的兩點(diǎn),使.2005級(jí)高等數(shù)學(xué)（A）（上）期末試卷一填空題（本題共9小題，每小題4分，滿分36分）1 ；2曲線的斜漸近線方程是 ；3設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，則 ；4設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，且，則 ；5設(shè)，則 ；6 ； 7曲線相應(yīng)于的一段弧長(zhǎng)可用積分 表示； 8已知與分別是微分方程的兩個(gè)特解，則常數(shù) ，常數(shù) ；9是曲線以點(diǎn)為拐點(diǎn)的 條件。二計(jì)算下列各題（本題共4小題，每小題7分，滿分28分）1設(shè)，求2 3 4三（本題滿分9分）設(shè)有拋物線，試確定常數(shù)、的值，使得（1）與直線相切；（2）與軸所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積最大。四（本題共2小題，滿分14分） 1（本題滿分6分）求微分方程的通解。2（本題滿分8分）求微分方程滿足初始條件的特解。五（本題滿分7分） 第4頁 試證：（1）設(shè)，方程在時(shí)存在唯一的實(shí)根；（2）當(dāng)時(shí)，是無窮小量，且是與等價(jià)的無窮小量。六（本題滿分6分）證明不等式：，其中是大于的正整數(shù)。2006級(jí)高等數(shù)學(xué)（A）（上）期末試卷一.填空題（本題共9小題，每小題4分，滿分36分）1 ； 2曲線在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處的切線方程為 ；3函數(shù)在區(qū)間 內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞減；4設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，則 ； 5 ；6設(shè)連續(xù)，且，已知,則 ；7已知在任意點(diǎn)處的增量，當(dāng)時(shí)，是的高階無窮小，已知，則；8曲線的斜漸近線方程是 ；9若二階線性常系數(shù)齊次微分方程有兩個(gè)特解，則該方程為 .二.計(jì)算題（本題共4小題，每小題7分，滿分28分）1計(jì)算不定積分 2計(jì)算定積分 3計(jì)算反常積分 4設(shè) ，求 三（本題滿分7分）求曲線自到一段弧的長(zhǎng)度。 （第3頁）四（本題共2小題，第1小題7分，第2小題9分，滿分16分）1求微分方程的通解。2求微分方程的特解，使得該特解在原點(diǎn)處與直線相切。五（本題滿分7分）設(shè)，求積分的最大值。 （第4頁）六（本題滿分6分）設(shè)函數(shù)在上存在二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明：至少存在一點(diǎn)，使得 。2007級(jí)高等數(shù)學(xué)（A）（上）期末試卷一.填空題（本題共9小題，每小題4分，滿分36分）1；2設(shè)，則；3已知，則；4對(duì)數(shù)螺線在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處的切線方程是；5設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，則的單調(diào)增加區(qū)間是，單調(diào)減少區(qū)間是；6曲線的拐點(diǎn)坐標(biāo)是，漸進(jìn)線方程是；7；8 ； 9二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的特解形式為.二.計(jì)算下列積分（本題共3小題，每小題7分，滿分21分）10. 11 12。三（13）（本題滿分8分）設(shè)，.（1）問是否為在內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)？為什么？（2）求.四（14）（本題滿分7分）設(shè)，求.五（15）（本題滿分6分）求微分方程的通解.六（16）（本題滿分8分）設(shè)、滿足，且，求.七（17）（本題滿分8分） 設(shè)直線與拋物線所圍成的圖形面積為，它們與直線所圍成的圖形面積為.（1）試確定的值，使達(dá)到最小，并求出最小值.（2）求該最小值所對(duì)應(yīng)的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.八（18）（本題滿分6分）設(shè)，求證：當(dāng)時(shí)，.2008級(jí)高等數(shù)學(xué)（A）（上）期末試卷一.填空題（本題共9小題，每小題4分，滿分36分）1函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為 ；2已知，則 ；3曲線的拐點(diǎn)是 ；4曲線的斜漸近線的方程是 ；5二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的特解形式是 ；6設(shè)是常數(shù)，若對(duì)，有，則 ；7 ；8設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，則 ； 9設(shè)，則 .二.按要求計(jì)算下列各題（本題共5小題，每小題6分，滿分30分）10 11. 12已知的一個(gè)原函數(shù)為，求 13設(shè)，求常數(shù)、，使得。14。三（15）（本題滿分8分）求微分方程滿足初始條件，的特解.四（16）（本題滿分7分）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且恒取正值，若對(duì)，