高等數(shù)學(A-B)上冊期中+期末試卷(完整版-03-09-東南大學).doc

0309級高等數(shù)學（A）（上冊）試卷東南大學2003級高等數(shù)學（A）（上）期中試卷一、單項選擇題（每小題4分，共12分）1., （）（A）；（B）；（C）；（D）。2.方程（）（A） 一個實根；（B）二個實根；（C）三個實根；（D）五個實根。3.已知函數(shù)則（）（A） 不可導；（B）可導且；（C）取得極大值；（D）取得極小值。二、填空題（每小題4分，共24分）1. 時，.2.設函數(shù)，則處 ，其類型是 .3.函數(shù)余項的三階公式為 4.設函數(shù)，則 .5.已知，則 .6.設，其中，三、（每小題7分，共28分）1.求極限. 2.求極限3.已知，求. 4.設.四、（8分）求證，.五、（6分）落在平靜水面上的石頭產(chǎn)生同心圓形波紋。若最外一圈半徑的增大率總是，問2秒末受到擾動的水面面積的增大率為多少？六、（8分）試就a的不同取值，討論方程的實根的個數(shù)。七、（6分）設函數(shù)，證明：至少存在一點，使。八、（8分）在橢圓上求一點，使得它與另外兩點，構成的三角形。2004級高等數(shù)學（A）（上）期中試卷一. 填空題(每小題4分,共20分)1.設時, 與是等價無窮小,則 .2.設在處連續(xù),則 .3.設則 .4.函數(shù)在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)減少.5.函數(shù)在處的帶Lagrange余項的一階Taylor公式為 二. 選擇題(每小題4分,共16分)1.設則是的 (A) 連續(xù)點 (B) 第一類(非可去)間斷點 (C) 可去間斷點 (D) 第二類間斷點2.設且在處連續(xù),則 (A) = (B) = - (C) (D) 不存在3.函數(shù)在內(nèi)的零點個數(shù)為 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 34.設曲線則該曲線 (A)有漸近線 (B) 僅有水平漸近 (C) 僅有垂直漸近線 (D) 既有水平漸近線, 又有垂直漸近線三. 計算題(每小題7分,共3 5分)1. 2. 3. 設是由方程確定的隱函數(shù),求.4. 設, 求.5. 設函數(shù)且存在,試確定常數(shù)四.(8分) 證明不等式: 當時, .五.(8分) 求曲線的切線,使切線與直線及直線所圍成的圖形的面積最大.六.(7分) 設,證明數(shù)列收斂,并求.七.(6分) 設在上連續(xù),在內(nèi)可導,且證明:，使得.2005級高等數(shù)學（A）（上）期中試卷一填空題（本題共5小題，每小題4分，滿分20分）1 ；2當時,與是等價無窮小,則 ;3設，則 ；4函數(shù)在處帶有余項的二階公式為 ；5已知函數(shù)可導，則 ， 。二單項選擇題（本題共4小題，每小題4分，滿分16分）6設函數(shù)，則 （A）都是的第一類間斷點（B）都是的第二類間斷點（C）是的第一類間斷點，是的第二類間斷點（D）是的第二類間斷點，是的第一類間斷點7設函數(shù)由參數(shù)方程確定，則曲線在處的切線與軸交點的橫坐標是 （A） （B） （C） （D）8以下四個命題中，正確的是 （A）若在內(nèi)連續(xù)，則在內(nèi)有界（B）若在內(nèi)連續(xù)，則在內(nèi)有界（C）若在內(nèi)有界，則在內(nèi)有界（D）若在內(nèi)有界，則在內(nèi)有界9當取下列哪個數(shù)值時，函數(shù)恰有兩個不同的零點 （A） （B） （C） （D）三計算題（本題共5小題，每小題7分，滿分35分）10 11。12 13。設求14設函數(shù)由方程所確定，求。四（本題共4道題，滿分29分）15（本題滿分6分）如果以每秒的勻速給一個氣球充氣，假設氣球內(nèi)氣壓保持常值，且形狀始終為球形，問當氣球的半徑為時，半徑增加的速率是多少？16（本題滿分7分）證明不等式： 17（本題滿分8分）在拋物線上求一點，使弦的長度最短，并求最短長度，其中是過點的法線與拋物線的另一個交點。18（本題滿分8分）設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導，且，證明：（1） 至少存在一點，使得；(2) 至少存在互異的兩點，使得 2006級高等數(shù)學（A）（上）期中試卷一. 填空題（前四題每題4分，第5題8分，滿分24分）1函數(shù)的全部間斷點分別是 ，它們的類型依次分別為 ；2已知，則，；3設，其中為可微函數(shù)，則微分；4設，若在處可導，則，；5舉出符合各題要求的一例，并將其填寫在橫線上：（1）在處不連續(xù)，但當時，極限存在的函數(shù)有（2）在處連續(xù)，但在時不可導的函數(shù)有（3）在處導數(shù)為，但不為極值點的連續(xù)函數(shù)有（4）屬于“”或“”未定型，且存在有限極限，但極限不能用洛必達法則求得的有二.單項選擇題（每題4分，滿分12分）1設是單調(diào)增函數(shù)，是單調(diào)減函數(shù)，且復合函數(shù)，都有意義，則下列函數(shù)組中全為單調(diào)減函數(shù)的是 (A) (B) (C) (D) 2當時，若是比更高階的無窮小，則 (A) (B) (C) (D) 3下面四個論述中正確的是 (A)若，且數(shù)列單調(diào)遞減，則數(shù)列收斂，且其極限 (B)若，且數(shù)列收斂，則其極限(C)若，則 (D)若，則存在正整數(shù)，當時，都有。三.計算題（每題7分，滿分35分）1 2. 3設，求 . 4. 設，求.5. 設是由方程所確定的隱函數(shù)，求曲線在點處的切線方程. 四.（8分）設，證明數(shù)列收斂并求極限.五.（8分）證明：當時, 有.六. (7分) 設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導，試證：存在一點，使得 七(6分) 設 (其中為正整數(shù))， （1）證明：在內(nèi)有唯一的零點，即存在唯一的，使；（2）計算極限.2007級高等數(shù)學（A）（上）期中試卷一.填空題（每小題4分，滿分24分）1當時，與是等價無窮小，則，；2已知，則，；3函數(shù)帶余項的階公式是4；5當某質(zhì)點沿曲線運動到點處時, 該質(zhì)點的坐標和坐標關于時間的變化率相等，點的坐標為6函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為 ，極大值為 .二.單項選擇題（每題4分，滿分12分）7設對, 有, , 則 (A) 存在且等于零 (B) 存在且不等于零 (C) 一定不存在 (D) 不一定存在8極限 (A) (B ) (C) (D) 9函數(shù)的不可導點的個數(shù)為 (A) (B) (C) (D) 三.計算題（每小題8分，滿分32分）10 11. 設，求.12設，求. 13.試確定常數(shù)、的值，使得曲線和在點處相切，并求切線方程.四(14).（8分）討論的連續(xù)性，并指出間斷點的類型（應說明理由）.五(15).（8分）設函數(shù)在上定義，,并對任意實數(shù)和,恒有, 證明在上處處可導,并求.六(16). (8分) 設, , 且，證明：當時，.七(17)(8分) 設在閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導數(shù)，在開區(qū)間內(nèi)二階可導，且， 試證：至少存在一點 使得.2008級高等數(shù)學（A）（上）期中試卷一.填空題（每個空格4分，本題滿分32分）1 ；2當時，與是等價無窮小，則 ， ；3設，則_；4設是由方程所確定的隱函數(shù)，則 ；5在處帶有余項的二階公式為_ _；6已知曲線和在點處相切，則 ， .二.單項選擇題（每小題4分，本題滿分12分）7設,其中常數(shù)、互不相等,且 , 則的值等于 (A) (B) (C) (D) 8若極限存在，則下列極限一定存在的是 (A) （為實常數(shù)） (B ) (C) (D) 9 已知存在,則 (A) (B) (C) (D) 三.計算題（本題滿分27分）10（7分） 11. （6分） 12（7分）設，求. 13. （7分）設，其中函數(shù)具有二階連續(xù)導數(shù)，求. 四(14).（7分）已知函數(shù)可導，試求常數(shù)和的值.五(15).（7分）試求函數(shù)的間斷點，并指出間斷點的類型（需說明理由）.六(16). (9分)設，證明：.七(17)(6分) 設函數(shù)在區(qū)間上二階可導，且，證明：對于任意的，都存在，使得 .2009級高等數(shù)學（A）（上）期中試卷 2003級高等數(shù)學（A）（上）期末試卷一、單項選擇題（每小題4分，共16分）1設函數(shù)由方程確定，則（ ）2曲線的漸近線的條數(shù)為（ ）3設函數(shù)在定義域內(nèi)可導，的圖形如右圖所示，則導函數(shù)的圖形為（ ）4微分方程的特解形式為（ ）二、填空題（每小題3分，共18分）12若，其中可導，則3設若導函數(shù)在處連續(xù)，則的取值范圍是。4若，則的單增區(qū)間為,單減區(qū)間為.5曲線的拐點是6微分方程的通解為三、計算下列各題（每小題6分，共36分）1計算積分 2計算積分3. 計算積分 4. 計算積分5.設連續(xù)，在處可導，且，求6.求微分方程的通解四.（8分）求微分方程滿足條件的特解五.（8分）設平面圖形D由與所確定，試求D繞直線旋轉一周所生成的旋轉體的體積。六.（7分）設質(zhì)量均勻分布的平面薄板由曲線C:與軸所圍成，試求其質(zhì)量七.（7分）設函數(shù)在上有連續(xù)的二階導數(shù)，且，證明：至少存在一點，使得2004級高等數(shù)學（A）（上）期末試卷一. 填空題（每小題4分，共20分）1函數(shù)的間斷點 是第 類間斷點.2. 已知是的一個原函數(shù),且,則 .3. .4. 設,則 .5. 設函數(shù),則當 時,取得最大值.二. 單項選擇題(每小題4分,共16分)1. 設當時,都是無窮小,則當時,下列表達式中不一定為無窮小的是 (A) (B) (C) (D)2. 曲線的漸近線共有 (A) 1條 (B) 2條 (C) 3條 (D) 4條3. 微分方程的一個特解形式為 (A) (B) (C) (D) 4. 下列結論正確的是 (A) 若,則必有.(B) 若在區(qū)間上可積,則在區(qū)間上可積.(C) 若是周期為的連續(xù)函數(shù),則對任意常數(shù)都有.(D) 若在區(qū)間上可積,則在內(nèi)必有原函數(shù).三. (每小題7分,共35分)1. 2. 設函數(shù)是由方程所確定的隱函數(shù),求曲線在點處的切線方程.3. 4. 5. 求初值問題 的解.四.(8分) 在區(qū)間上求一點,使得圖中所示陰影部分繞軸旋轉所得旋轉體的體積最小. 五.(7分) 設 ,求證 .六.(7分) 設當時,可微函數(shù)滿足條件且,試證: 當時,有 成立.七.(7分) 設在區(qū)間上連續(xù),且,證明在區(qū)間內(nèi)至少存在互異的兩點,使.2005級高等數(shù)學（A）（上）期末試卷一填空題（本題共9小題，每小題4分，滿分36分）1 ；2曲線的斜漸近線方程是 ；3設是由方程所確定的隱函數(shù)，則 ；4設在區(qū)間上連續(xù)，且，則 ；5設，則 ；6 ； 7曲線相應于的一段弧長可用積分 表示； 8已知與分別是微分方程的兩個特解，則常數(shù) ，常數(shù) ；9是曲線以點為拐點的 條件。二計算下列各題（本題共4小題，每小題7分，滿分28分）1設，求2 3 4三（本題滿分9分）設有拋物線，試確定常數(shù)、的值，使得（1）與直線相切；（2）與軸所圍圖形繞軸旋轉所得旋轉體的體積最大。四（本題共2小題，滿分14分） 1（本題滿分6分）求微分方程的通解。2（本題滿分8分）求微分方程滿足初始條件的特解。五（本題滿分7分） 第4頁 試證：（1）設，方程在時存在唯一的實根；（2）當時，是無窮小量，且是與等價的無窮小量。六（本題滿分6分）證明不等式：，其中是大于的正整數(shù)。2006級高等數(shù)學（A）（上）期末試卷一.填空題（本題共9小題，每小題4分，滿分36分）1 ； 2曲線在對應的點處的切線方程為 ；3函數(shù)在區(qū)間 內(nèi)嚴格單調(diào)遞減；4設是由方程所確定的隱函數(shù)，則 ； 5 ；6設連續(xù)，且，已知,則 ；7已知在任意點處的增量，當時，是的高階無窮小，已知，則；8曲線的斜漸近線方程是 ；9若二階線性常系數(shù)齊次微分方程有兩個特解，則該方程為 .二.計算題（本題共4小題，每小題7分，滿分28分）1計算不定積分 2計算定積分 3計算反常積分 4設 ，求 三（本題滿分7分）求曲線自到一段弧的長度。 （第3頁）四（本題共2小題，第1小題7分，第2小題9分，滿分16分）1求微分方程的通解。2求微分方程的特解，使得該特解在原點處與直線相切。五（本題滿分7分）設，求積分的最大值。 （第4頁）六（本題滿分6分）設函數(shù)在上存在二階連續(xù)導數(shù)，且，證明：至少存在一點，使得 。2007級高等數(shù)學（A）（上）期末試卷一.填空題（本題共9小題，每小題4分，滿分36分）1；2設，則；3已知，則；4對數(shù)螺線在對應的點處的切線方程是；5設是由方程確定的隱函數(shù)，則的單調(diào)增加區(qū)間是，單調(diào)減少區(qū)間是；6曲線的拐點坐標是，漸進線方程是；7；8 ； 9二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的特解形式為.二.計算下列積分（本題共3小題，每小題7分，滿分21分）10. 11 12。三（13）（本題滿分8分）設，.（1）問是否為在內(nèi)的一個原函數(shù)？為什么？（2）求.四（14）（本題滿分7分）設，求.五（15）（本題滿分6分）求微分方程的通解.六（16）（本題滿分8分）設、滿足，且，求.七（17）（本題滿分8分） 設直線與拋物線所圍成的圖形面積為，它們與直線所圍成的圖形面積為.（1）試確定的值，使達到最小，并求出最小值.（2）求該最小值所對應的平面圖形繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積.八（18）（本題滿分6分）設，求證：當時，.2008級高等數(shù)學（A）（上）期末試卷一.填空題（本題共9小題，每小題4分，滿分36分）1函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為 ；2已知，則 ；3曲線的拐點是 ；4曲線的斜漸近線的方程是 ；5二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的特解形式是 ；6設是常數(shù)，若對，有，則 ；7 ；8設是連續(xù)函數(shù)，且，則 ； 9設，則 .二.按要求計算下列各題（本題共5小題，每小題6分，滿分30分）10 11. 12已知的一個原函數(shù)為，求 13設，求常數(shù)、，使得。14。三（15）（本題滿分8分）求微分方程滿足初始條件，的特解.四（16）（本題滿分7分）設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且恒取正值，若對，