數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法(DEA模型).doc

一、 數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法數(shù)據(jù)包絡(luò)分析是一種基于線性規(guī)劃的用于評價同類型組織（或項目）工作績效相對有效性的特殊工具手段。這類組織例如學校、醫(yī)院、銀行的分支機構(gòu)、超市的各個營業(yè)部等，各自具有相同（或相近）的投入和相同的產(chǎn)出。衡量這類組織之間的績效高低，通常采用投入產(chǎn)出比這個指標，當各自的投入產(chǎn)出均可折算成同一單位計量時，容易計算出各自的投入產(chǎn)出比并按其大小進行績效排序。但當被衡量的同類型組織有多項投入和多項產(chǎn)出，且不能折算成統(tǒng)一單位時，就無法算出投入產(chǎn)出比的數(shù)值。例如，大部分機構(gòu)的運營單位有多種投入要素，如員工規(guī)模、工資數(shù)目、運作時間和廣告投入，同時也有多種產(chǎn)出要素，如利潤、市場份額和成長率。在這些情況下，很難讓經(jīng)理或董事會知道，當輸入量轉(zhuǎn)換為輸出量時，哪個運營單位效率高，哪個單位效率低。1.1數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法的主要思想一個經(jīng)濟系統(tǒng)或者一個生產(chǎn)過程可以看成一個單元在一定可能范圍內(nèi)，通過投入一定數(shù)量的生產(chǎn)要素并產(chǎn)出一定數(shù)量的“產(chǎn)品”的活動。雖然這些活動的具體內(nèi)容各不相同，但其目的都是盡可能地使這一活動取得最大的“效益”。由于從“投入”到“產(chǎn)出”需要經(jīng)過一系列決策才能實現(xiàn)，或者說，由于“產(chǎn)出”是決策的結(jié)果，所以這樣的單元被稱為“決策單元”（Decision Making Units，DMU）。可以認為每個DMU都代表一定的經(jīng)濟含義，它的基本特點是具有一定的輸入和輸出，并且在將輸入轉(zhuǎn)換成輸出的過程中，努力實現(xiàn)自身的決策目標。1.2數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法的基本模型我們主要介紹DEA中最基本的一個模型模型。設(shè)有n個決策單元（ j = 1，2，n ），每個決策單元有相同的 m 項投入（輸入），輸入向量為每個決策單元有相同的 s 項產(chǎn)出（輸出），輸出向量為即每個決策單元有m種類型的“輸入”及s種類型的“輸出”。表示第j個決策單元對第i種類型輸入的投入量；表示第j個決策單元對第i種類型輸出的產(chǎn)出量；為了將所有的投入和所有的產(chǎn)出進行綜合統(tǒng)一，即將這個生產(chǎn)過程看作是一個只有一個投入量和一個產(chǎn)出量的簡單生產(chǎn)過程，我們需要對每一個輸入和輸出進行賦權(quán)，設(shè)輸入和輸出的權(quán)向量分別為：。為第i類型輸入的權(quán)重，為第r類型輸出的權(quán)重。這時，則第j個決策單元投入的綜合值為，產(chǎn)出的綜合值為，我們定義每個決策單元的效率評價指數(shù)：模型中，為已知數(shù)（可由歷史資料或預測數(shù)據(jù)得到），于是問題實際上是確定一組最佳的權(quán)向量v和u，使第j個決策單元的效率值hj最大。這個最大的效率評價值是該決策單元相對于其他決策單元來說不可能更高的相對效率評價值。我們限定所有的hj值(j=1,2,n)不超過1，即max hj1。這意味著，若第k個決策單元hk=1，則該決策單元相對于其他決策單元來說生產(chǎn)率最高，或者說這一系統(tǒng)是相對而言有效的；若hk1，那么該決策單元相對于其他決策單元來說，生產(chǎn)率還有待于提高，或者說這一生產(chǎn)系統(tǒng)還不是有效的。 根據(jù)上述分析，第j0個決策單元的相對效率優(yōu)化評價模型為：這是一個分式規(guī)劃模型，我們必須將它化為線性規(guī)劃模型才能求解。為此令 ，則模型轉(zhuǎn)化為：寫成向量形式有:線性規(guī)劃中一個十分重要，也十分有效的理論是對偶理論，通過建立對偶模型更易于從理論及經(jīng)濟意義上作深入分析，其對偶問題為：進一步引入松弛變量和剩余變量，將上面的不等式約束化為等式約束： 設(shè)上述問題的最優(yōu)解為，則有如下結(jié)論與經(jīng)濟含義： （1）若，且，則決策單元為DEA有效，即在原線性規(guī)劃的解中存在，并且其最優(yōu)值。此時，決策單元的生產(chǎn)活動同時為技術(shù)有效和規(guī)模有效。（2），但至少有某個輸入或者輸出松弛變量大于零。則此時原線性規(guī)劃的最優(yōu)值，稱為弱DEA有效，它不是同時技術(shù)有效和規(guī)模有效。（3）若,決策單元不是DEA有效。其生產(chǎn)活動既不是技術(shù)效率最佳，而不是規(guī)模效率最佳。 （4）另外，我們可以用模型中的最優(yōu)值來判別DMU的規(guī)模收益情況。若存在，使成立，則為規(guī)模效益不變；若不存在，使成立，則若，那么為規(guī)模效益遞增；若不存在，使成立，則若，那么為規(guī)模效益遞減。 技術(shù)有效：輸出相對輸入而言已達最大，即該決策單元位于生產(chǎn)函數(shù)的曲線上。規(guī)模有效：指投入量既不偏大，也不過小，是介于規(guī)模收入收益由遞增到遞減之間的狀態(tài)，即處于規(guī)模收益不變的狀態(tài)。DMU1、 DMU2、 DMU3都處于技術(shù)有效狀態(tài)；DMU1不為規(guī)模有效，實際上它處于規(guī)模收益遞增狀態(tài)； DMU3不為規(guī)模有效，實際上它處于規(guī)模收益遞減狀態(tài)； DMU2是規(guī)模有效的。如果用DEA模型來判斷DEA有效性，只有DMU2對應(yīng)的最優(yōu)值01?？梢?，在C2R模型下的DEA有效，其經(jīng)濟含義 是：既為“技術(shù)有效”，也為“規(guī)模有效”。 例題: 下面是具有3個決策單元的單輸入數(shù)據(jù)和單輸出數(shù)據(jù).相應(yīng)決策單元所對應(yīng)的點以A,B,C表示,其中點A、C在生產(chǎn)曲線上,點B在生產(chǎn)曲線下方。由3個決策單元所確定的生產(chǎn)可能集T也在圖中標出來。對于決策點A,它是“技術(shù)有效”和“規(guī)模有效”,它所對應(yīng)的C2R模型為其最優(yōu)解為: 對于決策點B,它不是“技術(shù)有效”,因為點B不在生產(chǎn)函數(shù)曲線上,也不是“規(guī)模有效”,這是因為它的投資規(guī)模太大.其對應(yīng)的C2R模型如下:其最優(yōu)解為:由于1,故B點不是DEA有效,由 ,知該部門的規(guī)模收益是遞增的.對于決策點C,因為點C是在生產(chǎn)函數(shù)曲線上,它是“技術(shù)有效”,但由于它的投資規(guī)模太大,所以不是“規(guī)模有效”.其對應(yīng)的C2R模型如下:其最優(yōu)解為由于1,故C點不是DEA有效,由 ,知該部門的規(guī)模收益是遞