圓周運動輔導班講義.doc

圓周運動1、定義：物體運動軌跡為圓稱物體做圓周運動。2、分類：勻速圓周運動：質(zhì)點沿圓周運動，如果在任意相等的時間里通過的圓弧長度相等，這種運動就叫做勻速圓周運動。物體在大小恒定而方向總跟速度的方向垂直的外力作用下所做的曲線運動。注意：這里的合力可以是萬有引力衛(wèi)星的運動、庫侖力電子繞核旋轉(zhuǎn)、洛侖茲力帶電粒子在勻強磁場中的偏轉(zhuǎn)、彈力繩拴著的物體在光滑水平面上繞繩的一端旋轉(zhuǎn)、重力與彈力的合力錐擺、靜摩擦力水平轉(zhuǎn)盤上的物體等 變速圓周運動：如果物體受到約束，只能沿圓形軌道運動，而速率不斷變化如小球被繩或桿約束著在豎直平面內(nèi)運動，是變速率圓周運動合力的方向并不總跟速度方向垂直3、描述勻速圓周運動的物理量（1）軌道半徑（r）：對于一般曲線運動，可以理解為曲率半徑。（2）線速度（v）：定義：質(zhì)點沿圓周運動，質(zhì)點通過的弧長S和所用時間t的比值，叫做勻速圓周運動的線速度。定義式：線速度是矢量：質(zhì)點做勻速圓周運動某點線速度的方向就在圓周該點切線方向上，實際上，線速度是速度在曲線運動中的另一稱謂，對于勻速圓周運動，線速度的大小等于平均速率。（3）角速度（，又稱為圓頻率）：定義：質(zhì)點沿圓周運動，質(zhì)點和圓心的連線轉(zhuǎn)過的角度跟所用時間的比值叫做勻速圓周運動的角速度。大小： (是t時間內(nèi)半徑轉(zhuǎn)過的圓心角)單位：弧度每秒（rad/s）（4）周期（T）：做勻速圓周運動的物體運動一周所用的時間叫做周期。（5）頻率（f，或轉(zhuǎn)速n）：物體在單位時間內(nèi)完成的圓周運動的次數(shù)。各物理量之間的關系：計算時，采用國際單位制，角度的單位采用弧度制。（6）圓周運動的向心加速度定義：做勻速圓周運動的物體所具有的指向圓心的加速度叫向心加速度。大小：（還有其它的表示形式，如：）方向：其方向時刻改變且時刻指向圓心。對于一般的非勻速圓周運動，公式仍然適用，為物體的加速度的法向加速度分量，r為曲率半徑；物體的另一加速度分量為切向加速度，表征速度大小改變的快慢（對勻速圓周運動而言，=0）（7）圓周運動的向心力向心力的大小為：）；向心力的方向時刻改變且時刻指向圓心。(8)離心運動當物體受到的合外力時，物體做勻速圓周運動；當物體受到的合外力時，物體做離心運動當物體受到的合外力時，物體做近心運動幾種常見的圓周傳動裝置及其特點裝置特點同軸傳動1.角速度相同，即AB2.周期相同，即TATB3.線速度與半徑成正比，即皮帶傳動1.線速度大小相等，即vAvB2.周期與半徑成正比，即3.角速度與半徑成反比，即齒輪傳動1.線速度大小相等，即vAvB2.周期與半徑成正比，即3.角速度與半徑成反比，即1、皮帶傳動問題如圖所示，為一皮帶傳動裝置，右輪的半徑為r，a是它邊緣上的一點，左側(cè)是一輪軸，大輪的半徑為4r，小輪的半徑為2r，b點在小輪上，到小輪中心的距離為r，c點和d點分別位于小輪和大輪的邊緣上，若在傳動過程中，皮帶不打滑，則（ ）A. a點與b點的線速度大小相等B. a點與b點的角速度大小相等C. a點與c點的線速度大小相等D. a點與d點的向心加速度大小相等解析：皮帶不打滑，故a、c兩點線速度相等，選C；c點、b點在同一輪軸上角速度相等，半徑不同，由 ，b點與c點線速度不相等，故a與b線速度不等，A錯；同樣可判定a與c角速度不同，即a與b角速度不同，B錯；設a點的線速度為 ，則a點向心加速度 ，由 ， ，所以 ，故 ，D正確。本題正確答案C、D。點評：處理皮帶問題的要點為：皮帶（鏈條）上各點以及兩輪邊緣上各點的線速度大小相等，同一輪上各點的角速度相同。2、 水平面內(nèi)的圓周運動轉(zhuǎn)盤：物體在轉(zhuǎn)盤上隨轉(zhuǎn)盤一起做勻速圓周運動，物體與轉(zhuǎn)盤間分無繩和有繩兩種情況。無繩時由靜摩擦力提供向心力；有繩要考慮臨界條件。如圖所示，水平轉(zhuǎn)盤上放有質(zhì)量為m的物體，當物塊到轉(zhuǎn)軸的距離為r時，連接物塊和轉(zhuǎn)軸的繩剛好被拉直（繩上張力為零）。物體和轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力是其正壓力的 倍。求：（1）當轉(zhuǎn)盤的角速度 時，細繩的拉力 。（2）當轉(zhuǎn)盤的角速度 時，細繩的拉力 。解析：設轉(zhuǎn)動過程中物體與盤間恰好達到最大靜摩擦力時轉(zhuǎn)動的角速度為 ，則 ，解得 （1）因為 ，所以物體所需向心力小于物與盤間的最大摩擦力，則物與盤產(chǎn)生的摩擦力還未達到最大靜摩擦力，細繩的拉力仍為0，即 。（2）因為 ，所以物體所需向心力大于物與盤間的最大靜摩擦力，則細繩將對物體施加拉力 ，由牛頓第二定律得 ，解得 。圓錐擺：圓錐擺是運動軌跡在水平面內(nèi)的一種典型的勻速圓周運動。其特點是由物體所受的重力與彈力的合力充當向心力，向心力的方向水平。也可以說是其中彈力的水平分力提供向心力（彈力的豎直分力和重力互為平衡力）。3、 豎直面內(nèi)的圓周運動豎直面內(nèi)圓周運動最高點處的受力特點及題型分類。（1）彈力只可能向下，如繩拉球。這種情況下有 ，即 ，否則不能通過最高點；（2）彈力只可能向上，如車過橋。在這種情況下有 ， ，否則車將離開橋面，做平拋運動；（3）彈力既可能向上又可能向下，如管內(nèi)轉(zhuǎn)（或桿連球、環(huán)穿珠）。這種情況下，速度大小v可以取任意值。但可以進一步討論：a. 當 時物體受到的彈力必然是向下的；當 時物體受到的彈力必然是向上的；當 時物體受到的彈力恰好為零。b. 當彈力大小 時，向心力有兩解 ；當彈力大小 時，向心力只有一解 ；當彈力 時，向心力等于零，這也是物體恰能過最高點的臨界條件。如圖所示，桿長為 ，球的質(zhì)量為 ，桿連球在豎直平面內(nèi)繞軸O自由轉(zhuǎn)動，已知在最高點處，桿對球的彈力大小為 ，求這時小球的瞬時速度大小。解析：小球所需向心力向下，本題中 ，所以彈力的方向可能向上也可能向下。（1）若F向上，則 ， ；（2）若F向下，則 ， 例：一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細圓管，位于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑為R（比細管的半徑大得多），在圓管中有兩個直徑與細管內(nèi)徑相同的小球A、B，質(zhì)量分別為 、 ，沿環(huán)形管順時針運動，經(jīng)過最低點的速度都是 ，當A球運動到最低點時，B球恰好到最高點，若要此時作用于細管的合力為零，那么 、 、R和 應滿足的關系是 。解析：由題意分別對A、B小球和圓環(huán)進行受力分析如圖所示。對于A球有 對于B球有 根據(jù)機械能守恒定律 由環(huán)的平衡條件 而 ， 由以上各式解得 例：如圖所示，一根輕質(zhì)細桿的兩端分別固定著A、B兩個質(zhì)量均為m的小球，O點是一光滑水平軸，已知 ， ，使細桿從水平位置由靜止開始轉(zhuǎn)動，當B球轉(zhuǎn)到O點正下方時，它對細桿的拉力大小是多少？解析：對A、B兩球組成的系統(tǒng)應用機械能守恒定律得 因A、B兩球用輕桿相連，故兩球轉(zhuǎn)動的角速度相等，即 設B球運動到最低點時細桿對小球的拉力為 ，由牛頓第二定律得 解以上各式得 ，由牛頓第三定律知，B球?qū)殫U的拉力大小等于 ，方向豎直向下。4、圓周運動的極值問題例：如圖所示，用細繩一端系著的質(zhì)量為 的物體A靜止在水平轉(zhuǎn)盤上，細繩另一端通過轉(zhuǎn)盤中心的光滑小孔O吊著質(zhì)量為 的小球B，A的重心到O點的距離為 。若A與轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力為 ，為使小球B保持靜止，求轉(zhuǎn)盤繞中心O旋轉(zhuǎn)的角速度 的取值范圍。（取 ）解析：要使B靜止，A必須相對于轉(zhuǎn)盤靜止具有與轉(zhuǎn)盤相同的角速度。A需要的向心力由繩拉力和靜摩擦力合成。角速度取最大值時，A有離心趨勢，靜摩擦力指向圓心O；角速度取最小值時，A有向心運動的趨勢，靜摩擦力背離圓心O。對于B： 對于A： ， 聯(lián)立解得 ， BAm所以 例：如圖所示，兩繩系一質(zhì)量為m=0.1kg的小球，兩繩的另一端分別固定于軸的AB兩處，上面繩長l=2m，兩繩拉直時與軸的夾角分別為30和45，問球的角速度在什么范圍內(nèi)兩繩始終有張力?解析設兩細線都拉直時，A、B繩的拉力分別為、，小球的質(zhì)量為m，A線與豎直方向的夾角為，B線與豎直方向的夾角為，受力分析，由牛頓第二定律得：當B線中恰無拉力時， 由、解得rad/s 當A線中恰無拉力時， （3分） 由、解得rad/s所以，兩繩始終有張力，角速度的范圍是rad/s rad/s例：如圖，光滑的水平桌面上釘有兩枚鐵釘A、B，相距 ，長 的柔軟細線一端拴在A上，另一端拴住一個質(zhì)量為500g的小球，小球的初始位置在AB連線上A的一側(cè)，把細線拉直，給小球以2m/s的垂直細線方向的水平速度，使它做圓周運動，由于釘子B的存在，使細線逐步纏在A、B上，若細線能承受的最大拉力 ，則從開始運動到細線斷裂的時間為多少？解析：小球轉(zhuǎn)動時，由于細線逐步繞在A、B兩釘上，小球的轉(zhuǎn)動半徑逐漸變小，但小球轉(zhuǎn)動的線速度大小不變。小球交替地繞A、B做勻速圓周運動，線速度不變，隨著轉(zhuǎn)動半徑的減小，線中拉力 不斷增大，每轉(zhuǎn)半圈的時間t不斷減小。在第一個半圓內(nèi) ， 在第二個半圓內(nèi) ， 在第三個半圓內(nèi) ， 在第n個半圓內(nèi) ， 令 ，得 ，即在第8個半圓內(nèi)線還未斷，n取8，經(jīng)歷的時間為萬有引力定律一.開普勒三定律以及三定律出現(xiàn)的過程：（1）所有的行星圍繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在所有橢圓的一個焦點上。（2）任何一個行星與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等。（3）所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等。即R3 T2=k二.牛頓的萬有引力定律1.內(nèi)容：自然界任何兩個物體之間都存在著相互作用的引力，兩物體間的引力的大小，跟它們的質(zhì)量的乘積成正比，跟它們的距離的平方成反比.表達式：F其中G，叫萬有引力常量，卡文迪許在實驗室用扭秤裝置，測出了引力常量.2.適用條件：公式適用于質(zhì)點間的相互作用，當兩個物體間的距離遠大于物體本身的大小時，物體可視為質(zhì)點. 均勻球體可視為質(zhì)點，r為兩球心間的距離.3.萬有引力遵守牛頓第三定律，即它們之間的引力總是大小相等、方向相反.三.用開普勒第三定律、向心力、牛頓第三定律推導牛頓的萬有引力定律:四、用萬有引力定律分析天體的運動1.基本方法：把天體運動近似看作圓周運動，它所需要的向心力由萬有引力提供，即 2.估算天體的質(zhì)量和密度 “T 、 r”法由G得：即只要測出環(huán)繞星體M運轉(zhuǎn)的一顆衛(wèi)星運轉(zhuǎn)的半徑和周期，就可以計算出中心天體的質(zhì)量.由，得：R為中心天體的星體半徑當時，即衛(wèi)星繞天體M表面運行時，由此可以測量天體的密度.“g、R”法 3.衛(wèi)星的繞行速度、角速度、周期與半徑的關系(1)由得: 即軌道半徑越大，繞行速度越小(2)由得： 即軌道半徑越大，繞行角度越小(3)由G得： 即軌道半徑越大，繞行周期越大.4.三種宇宙速度 (1)第一宇宙速度(環(huán)繞速度)：vm/s是人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，最大繞行速度.“飄”起來的速度(2)第二宇宙速度(脫離速度)：vkm/s是物體掙脫地球的引力束縛需要的最小發(fā)射速度.(3)第三宇宙速度(逃逸速度)：vkm/s是物體掙脫太陽的引力束縛需要的最小發(fā)射速度.5.地球同步衛(wèi)星所謂地球同步衛(wèi)星是指相對于地面靜止的人造衛(wèi)星，它的周期T24h要使衛(wèi)星同步，同步衛(wèi)星只能位于赤道正上方某一確定高度h（高度、運行方向、加速度、角速度、線速度大小相同，質(zhì)量不同）由（）得：=表示地球半徑六、萬有引力復習中應注意的幾個問題1、不同公式和問題中的r，含義不同萬有引力定律公式中的r指的是兩個物體間的距離，對于相距很遠因而可以看做質(zhì)點的物體，指的是兩個球心的距離。而向心力公式中的r，對于橢圓軌道指的是曲率半徑，對于圓軌道指的是圓半徑。開普勒第三定律中的r指的是橢圓軌道的半長軸。因此，同一個r在不同公式中所具有的含義不同。2、萬有引力、向心力和重力對于赤道上的某一個物體 ，有 當速度增加時，重力減小，向心力增加，當速度（即第一宇宙速度）時，mg = 0，物體將“飄”起來，星球處于瓦解的臨界狀態(tài)。天體表面重力加速度的計算例：一物體在地面上受到的重力為160N，將它放置在航天飛機中，當航天飛機以a=g/2的加速度隨火箭向上加速升高的過程中，某時刻測得物體與航天飛機中的支持物的相互擠壓力為120N，求此時航天飛機距地面的高度（地球半徑取6.4106m,g取10m/s2） 天體質(zhì)量和密度的計算例：宇航員在一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一小球。經(jīng)過時間t，小球落到星球表面，測得拋出點與落地點之間的距離為L。若拋出時初速度增大到2倍，則拋出點與落地點之間的距離為L。已知兩落地點在同一水平面上，該星球的半徑為R，萬有引力常數(shù)為G。求該星球的質(zhì)量M。解析：設拋出點的高度為h,第一次平拋的水平射程為x,則有 x2+h2=L2 由平拋運動規(guī)律得知，當初速度增大到2倍時，其水平射程也增大到2x,可得 （2x）2+h2=(L)2 設該星球上的重力加速度為g，由平拋運動的規(guī)律得： h=gt2 由萬有引力定律與牛頓第二定律得： mg= G 聯(lián)立以上各式解得M=。例：中子星是恒星演化過程的一種可能結(jié)果，它的密度很大?，F(xiàn)有一中子星，觀測到它的自轉(zhuǎn)周期為T=s。問該中子星的最小密度應是多少才能維持該星的穩(wěn)定，不致因自轉(zhuǎn)而瓦解。計算時星體可視為均勻球體。(引力常數(shù)G=6.6710m/kg.s)解析：設想中子星赤道處一小塊物質(zhì)，只有當它受到的萬有引力大于或等于它隨星體所需的向心力時，中子星才不會瓦解。設中子星的密度為，質(zhì)量為M ，半徑為R，自轉(zhuǎn)角速度為，位于赤道處的小物塊質(zhì)量為m，則有 由以上各式得，代入數(shù)據(jù)解得：。黃金代換公式的應用2005年我國成功發(fā)射并回收了“神州”六號載人飛船。設飛船繞地球做勻速圓周運動，若飛船經(jīng)歷時間t繞地球運行n圈，則飛船離地面的高度為（已知地球半徑為R，地面的重力加速度為g）（ ）A. B. C. D. 雙星問題例1兩個星球組成雙星，它們在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上某點做周期相同的勻速圓周運動現(xiàn)測得兩星中心距離為R，其運周期為T，求兩星的總質(zhì)量 解析：設兩星質(zhì)量分別為M1 M2，都繞連線上O點作周期為T的圓周運動，星球1和星球2到O的距離分別為l1 12由萬有引力定律和牛頓第二定律及幾何條件可得 l1 +12=R 聯(lián)立解得說明：雙星是一個整體，圍繞著它們的質(zhì)心轉(zhuǎn)動，所以角速度相同，兩星之間由萬有引力相維系，它們到質(zhì)心的距離與它們的質(zhì)量成反比黑洞問題例：神奇的黑洞是近代引力理論預言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統(tǒng)的運動規(guī)律。天文學家觀測河外星系大麥哲倫云時，發(fā)現(xiàn)了LMCX3雙星系統(tǒng)，它由可見星A和不可見暗星B構(gòu)成，兩星視為質(zhì)點，不考慮其它天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的點O做勻速圓周運動，它們之間的距離保持不變，如圖56所示。引力常量為G，由觀測能夠得到可見星A的速率V和運行周期T0A圖56BO（1）可見星A所受暗星的B引力FA等效為位于O點處質(zhì)量為m/的星體(視為質(zhì)點)對它的引力。設A和B的質(zhì)量分別為m1、m2，試求m/（用m1、m2表示）；（2）求暗星B的質(zhì)量m2與可見星A的速率V、運行周期T和質(zhì)量m1之間的關系式；（3）恒星演化到末期，如果其質(zhì)量大小太陽質(zhì)量m0的2倍，它將有可能成為黑洞。若可見星的速率2.7105m/s，運行周期T=4.7104s，質(zhì)量m1=6 m0，試通過估算來判斷暗星B有可能是黑洞嗎？(G6.6710-11N.m2/kg2, m0=2.01030kg)解析：（1）設A、B的圓軌道半徑分別為r1、r2，由題意知，A、B做勻速圓周運動的角速度相同，設為，由牛頓運動定律，有設A、B之間的距離為r，又r= r1+r2，由上述各式得 由萬有引力定律有將式代入得令（1） 由牛頓第二定律有又可見星A的軌道半徑由解得（3）將m1=6 m0代入式得代入數(shù)據(jù)得 設m2=n m0（n0），將其代入式，得 可見的值隨n的增大而增大，試令n=2，得若使式成立，則n必大于2，即暗星B的質(zhì)量m2必而在于2倍的m0，由此得出結(jié)論：暗星B有可能是黑洞。衛(wèi)星變軌問題例：2006年9月3日歐洲航天局的第一枚月球探測器“智能1號”成功撞上月球。已知“智能1號”月球探測器環(huán)繞月球沿