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學年第二學期期末考試試卷一、單選題(共15分,每小題3分)1設函數(shù)在的兩個偏導, 都存在,則 ( )A在連續(xù) B在可微 C 及 都存在 D存在2若,則等于( ) 3設是圓柱面及平面所圍成的區(qū)域,則) 4若在處收斂,則此級數(shù)在處( ) A 條件收斂 B 絕對收斂 C 發(fā)散 D 斂散性不能確定5曲線在點(1,1,2)處的一個切線方向向量為( ). A. (-1,3,4) B.(3,-1,4) C. (-1,0,3) D. (3,0,-1)二、填空題(共15分,每小題3分) 1設,則 .2交 換的積分次序后,_4. 已知,則 .5. 函數(shù)的極小值點是 .三、解答題(共54分,每小題6-7分)1.(本小題滿分6分)設, 求,.2.(本小題滿分6分)求橢球面的平行于平面的切平面方程,并求切點處的法線方程.4. (本小題滿分7分)將展開成的冪級數(shù),并求收斂域。5(本小題滿分7分)求由方程所確定的隱函數(shù)的極值。6(本小題滿分7分)計算二重積分及圍成.7.(本小題滿分7分)利用格林公式計算,其中是圓周(按逆時針方向).8.(本小題滿分7分)計算,其中是由柱面及平面所圍成且在第一卦限內(nèi)的區(qū)域.四、綜合題(共16分,每小題8分)1(本小題滿分8分)設級數(shù)都收斂,證明級數(shù)收斂。2(本小題滿分8分)設函數(shù)在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù),且,證明曲線積分與路徑無關(guān)若對任意的恒有,求的表達式參考答案及評分標準一、單選題(共15分,每小題3分):1.C 2 D 3 C 4B 5 A二、填空題(共15分,每小題3分)1.-1 2. 4 5. (2,2)三、解答題(共54分,每小題6-7分)1解:; (3分) =+ ( 6分).2. 解:記切點 則切平面的法向量為滿足: ,切點為:或 (3分),切平面: ( 4分), 法線方程分別為:或者 ( 6分)4. 解:=, ( 2分)因為 ,,所以=,其中 ,即.( 5分)當時,級數(shù)為發(fā)散;當時,級數(shù)為發(fā)散,故=, ( 7分)5. 解:由, 得到與, ( 2分) 再代入,得到即。 由此可知隱函數(shù)的駐點為與。 ( 4分)由,可知在駐點與有。( 5分)在點,因此 ,所以為極小值點,極小值為;( 6分)在點,因此 ,所以為極大值點,極大值為, ( 7分)6. 解:記,則.(2分) 故 ( 4分) (7分)7. 解:所圍區(qū)域:,由格林公式,可得= =.(7分)OOOOO裝O訂O線OOOOOxyz118. 解:如圖,選取柱面坐標系計算方便,此時,所以 ( 4分)=. (7分)四、綜合題(共16分,每小題8分)1證明:因為,(2分)故存在N,當時,因此收斂。(8分)2
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