函數(shù)的單調(diào)性1.doc

函數(shù)的單調(diào)性1 數(shù)科院-楊燕平教學(xué)目的：（1）了解單調(diào)函數(shù)、單調(diào)區(qū)間的概念：能說出單調(diào)函數(shù)、單調(diào)區(qū)間這兩個概念的大致意思（2）理解函數(shù)單調(diào)性的概念：能用自已的語言表述概念；并能根據(jù)函數(shù)的圖象指出單調(diào)性、寫出單調(diào)區(qū)間（3）掌握運用函數(shù)的單調(diào)性定義解決一類具體問題：能運用函數(shù)的單調(diào)性定義證明簡單函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)重點：函數(shù)的單調(diào)性的概念；教學(xué)難點：利用函數(shù)單調(diào)的定義證明具體函數(shù)的單調(diào)性授課類型：新授課課時安排：1課時教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入： 復(fù)習(xí)：我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)圖象的畫法.為了研究函數(shù)的性質(zhì)，我們按照列表、描點、連線等步驟先分別畫函數(shù)和的圖象. 的圖象如圖1，的圖象如圖2. 引入：從函數(shù)的圖象（圖1）看到：圖象在軸的右側(cè)部分是上升的，也就是說，當(dāng)在區(qū)間0，+)上取值時，隨著的增大,相應(yīng)的值也隨著增大，即如果取0，+)，得到=,=,那么當(dāng)時，有.這時我們就說函數(shù)=在0,+ )上是增函數(shù). 圖象在軸的左側(cè)部分是下降的，也就是說， 當(dāng)在區(qū)間（-，0）上取值時，隨著的增大，相應(yīng)的值反而隨著減小，即如果取（-，0），得到=,=,那么當(dāng).這時我們就說函數(shù)=在(-,0)上是減函數(shù).函數(shù)的這兩個性質(zhì)，就是今天我們要學(xué)習(xí)討論的. 二、講解新課： 增函數(shù)與減函數(shù)定義：對于函數(shù)的定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值，若當(dāng)時，都有,則說在這個區(qū)間上是增函數(shù)（如圖3）；若當(dāng),則說在這個區(qū)間上是減函數(shù)（如圖4）.說明：函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)，是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的.有的函數(shù)在一些區(qū)間上是增函數(shù)，而在另一些區(qū)間上不是增函數(shù).例如函數(shù)（圖1），當(dāng)0,+)時是增函數(shù)，當(dāng)(-,0)時是減函數(shù). 單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間若函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說函數(shù)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.此時也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù).在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的.說明：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集；應(yīng)是該區(qū)間內(nèi)任意的兩個實數(shù)，忽略需要任意取值這個條件，就不能保證函數(shù)是增函數(shù)（或減函數(shù)），例如，圖5中，在那樣的特定位置上，雖然使得，但顯然此圖象表示的函數(shù)不是一個單調(diào)函數(shù)；除了嚴格單調(diào)函數(shù)外，還有不嚴格單調(diào)函數(shù)，它的定義類似上述的定義，只要將上述定義中的“, ”改為“ 或,”即可；定義的內(nèi)涵與外延：內(nèi)涵是用自變量的大小變化來刻劃函數(shù)值的變化情況；外延一般規(guī)律：自變量的變化與函數(shù)值的變化一致時是單調(diào)遞增，自變量的變化與函數(shù)值的變化相對時是單調(diào)遞減. 幾何特征：在自變量取值區(qū)間上，若單調(diào)函數(shù)的圖象上升，則為增函數(shù)，圖象下降則為減函數(shù).三、講解例題：例1 如圖6是定義在閉區(qū)間-5，5上的函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象說出的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù). 解：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間有-5，-2)，-2，1)，1，3)，3，5，其中在區(qū)間-5，-2)，1，3)上是減函數(shù)，在區(qū)間-2，1)，3，5上是增函數(shù).說明：函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，對于單獨的一點，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，因而沒有增減變化，所以不存在單調(diào)性問題；另外，中學(xué)階段研究的主要是連續(xù)函數(shù)或分段連續(xù)函數(shù)，對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)來說，只要在開區(qū)間上單調(diào)，它在閉區(qū)間上也就單調(diào)，因此，在考慮它的單調(diào)區(qū)間時，包括不包括端點都可以；還要注意，對于在某些點上不連續(xù)的函數(shù)，單調(diào)區(qū)間不包括不連續(xù)點.例2 證明函數(shù)在R上是增函數(shù).證明：設(shè)是R上的任意兩個實數(shù)，且，則=(3+2)-(3+2)=3(), 由x,得0 ,于是0,即 .在R上是增函數(shù).例3 證明函數(shù)在(0,+)上是減函數(shù).證明：設(shè),是(0,+)上的任意兩個實數(shù)，且0,又由0 ,于是0,即 在(0,+ )上是減函數(shù).例4討論函數(shù)在(-2,2)內(nèi)的單調(diào)性.解：，對稱軸 若,則在(-2,2)內(nèi)是增函數(shù)；若則在(-2,a)內(nèi)是減函數(shù),在a,2內(nèi)是增函數(shù)若,則在(-2,2)內(nèi)是減函數(shù).四、練習(xí)：1：課本P59練習(xí)：1，2答案：的單調(diào)區(qū)間有-2,-1，-1,0，0,1，1,2；在區(qū)間-2,-1，0,1上是增函數(shù)，在區(qū)間-1,0，1,2上是減函數(shù).的單調(diào)區(qū)間有-,-，-,，, ；在區(qū)間-,-，上是減函數(shù)，在區(qū)間-，上是增函數(shù).說明：要了解函數(shù)在某一區(qū)間是否具有單調(diào)性，從圖象上進行觀察是一種常用而又較為粗略的方法，嚴格地說，它需要根據(jù)增（減）函數(shù)的定義進行證明，下面舉例說明.2判斷函數(shù)在R上是增函數(shù)還是減函數(shù)？并證明你的結(jié)論.解：設(shè),R，且，=(-3+2)-(-3+2)=3(-), 又0,即 .在R上是減函數(shù).3判斷函數(shù)=在(-,0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)并證明你的結(jié)論.解：設(shè),(-，0)，且0,又由0 ,于是0,即 .= 在(0,+ )上是減函數(shù).能否說函數(shù)= 在(-，+)上是減函數(shù)？答：不能. 因為=0不屬于= 的定義域.說明：通過觀察圖象，對函數(shù)是否具有某種性質(zhì)，作出猜想，然后通過推理的辦法，證明這種猜想的正確性，是發(fā)現(xiàn)和解決問題的一種常用數(shù)學(xué)方法.4 判斷函數(shù)在R上的單調(diào)性，并說明理由. 課本P60練習(xí)：4.解：設(shè),R，且0，又,0,即 .在R上是增函數(shù).若k0，又0,即 .在R上是減函數(shù).設(shè),(0,+)，且，=(+1)-(+1)= -=(+) (-) 00，-0，0,即，=+1在(0,+)上是增函數(shù). 五、小結(jié) 討論函數(shù)的單調(diào)性必須在定義域內(nèi)進行,即函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集,因此討論函數(shù)的單調(diào)性,必須先確定函數(shù)的定義域;根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟是：設(shè),是給定區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，且；作差，并將此差式變形（要注意變形的程度）；判斷的正負（要注意說理的充分性）；根據(jù)的符號確定其增減性.六、課后作業(yè)：課本第60習(xí)題2.3：1，2，3補充：=是以(,)為頂點、對稱軸平行于y軸、開口向上的拋物線（如圖）;它的單調(diào)區(qū)間是(-,與,+ );它在(-,上是減函數(shù)，在,+ )上是增函數(shù). 證明：設(shè),則=-5(-)=(+-5) (-) ,+5，-0,即 .=-5+6在(-,上是減函數(shù).類似地，可以證明在,+)上是增函數(shù).=-+9的圖象是以(0,9)為頂