2018高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步第二節(jié)點(diǎn)直線面的位置關(guān)系2空間中兩條直線的位置關(guān)系學(xué)案蘇教版.docx

空間中兩條直線的位置關(guān)系一、考點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)課標(biāo)要求題型說(shuō)明空間中兩條直線的位置關(guān)系1. 會(huì)判斷空間中直線與直線的位置關(guān)系；2. 能應(yīng)用公理4和等角定理解決簡(jiǎn)單的立體幾何問(wèn)題；3. 理解異面直線所成的角的概念，能借助長(zhǎng)方體模型說(shuō)明異面直線所成的角 選擇題填空題解答題本節(jié)知識(shí)在對(duì)立體幾何的學(xué)習(xí)中起到了承上啟下的作用，空間中直線與直線的位置關(guān)系是立體幾何中最基本的位置關(guān)系，是在平面中兩直線的位置關(guān)系及平面基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上提出來(lái)的，它既是研究空間點(diǎn)、直線、平面之間各種位置關(guān)系的開(kāi)始，又是學(xué)習(xí)這些位置關(guān)系的基礎(chǔ)，要讓在學(xué)習(xí)中認(rèn)真體會(huì)把空間問(wèn)題平面化的思想方法二、重難點(diǎn)提示重點(diǎn)：異面直線的概念、異面直線所成的角及其求法，公理4的運(yùn)用。難點(diǎn)：異面直線概念的理解與求法?？键c(diǎn)一：空間中兩條直線的位置關(guān)系【要點(diǎn)詮釋】1. 若無(wú)特別說(shuō)明，本書(shū)中的兩條直線均指不重合的兩條直線。2. 異面直線定義中“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”是指“不可能找到一個(gè)平面能同時(shí)包含這兩條直線”，也可理解為“這兩條直線不能確定一個(gè)平面”不可誤解為“分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線”。3. 異面直線的判定方法：定義法：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線。定理法：“過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線”。符號(hào)表示：若l，A，B，Bl，則直線AB與l是異面直線。排除法：其核心思想是反證法。4. 異面直線所成角（1）定義：已知兩條異面直線a，b經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O，作直線aa，bb，我們把直線a和b所成的銳角（或直角）叫做異面直線a，b所成的角。（2）異面直線所成的角的取值范圍：090。（3）若兩條異面直線a，b所成角是直角，就稱(chēng)異面直線a，b互相垂直，記作ab。5. 異面直線的畫(huà)法：以輔助平面襯托不共面的特征?？僧?huà)成下列情況：考點(diǎn)二：平行直線1. 公理4文字表述：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號(hào)表述：。2. 等角定理如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等。符號(hào)表述：如果和的邊，,并且方向相同，則?！倦S堂練習(xí)】已知正方體ABCDA1B1C1D1，判斷下列直線的位置關(guān)系：直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是_；直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是_；直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是_；直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是_。思路分析：根據(jù)題目條件知道直線D1D與直線D1C相交于D1點(diǎn)，所以應(yīng)該填“相交”；直線A1B與直線D1C在平面A1BCD1中，且沒(méi)有交點(diǎn)，則兩直線“平行”；所以應(yīng)該填“平行”；點(diǎn)A1、B、B1在一個(gè)平面A1BB1內(nèi)，而C不在平面A1BB1內(nèi)，則直線A1B與直線B1C“異面”，同理，直線AB與直線B1C“異面”，所以都應(yīng)該填“異面”。答案：平行異面相交異面技巧點(diǎn)撥：空間中判斷兩條直線位置關(guān)系的方法：（1）從是否有交點(diǎn)的角度：（2）從是否共面的角度：例題1 （公理4及等角定理的應(yīng)用）在正方體ABCDA1B1C1D1中，P、Q、M、N分別為AD、AB、C1D1、B1C1的中點(diǎn)，求證：A1PCN，A1QCM，且PA1QMCN。思路分析：取A1B1的中點(diǎn)K證明MKBC為平行四邊形證明A1QBK為平行四邊形得出A1QCM同理可證A1PCN證明PA1QMCN。答案：取A1B1的中點(diǎn)K，連接BK、KM，易知四邊形MKBC為平行四邊形，CMBK，又A1KBQ且A1KBQ，四邊形A1KBQ為平行四邊形，A1QBK，由公理4有A1QCM，同理可證A1PCN，由于PA1Q與MCN對(duì)應(yīng)邊分別平行，且方向相反，PA1QMCN。技巧點(diǎn)撥：1. 空間兩條直線平行的證明：定義法：即證明兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)且兩直線沒(méi)有公共點(diǎn)；利用公理4：找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行。2. 證明有關(guān)角相等問(wèn)題，一般采用下面三種途徑：（1）利用等角定理及其推論；（2）利用三角形相似；（3）利用三角形全等。本例題是通過(guò)第一種途徑來(lái)實(shí)現(xiàn)解答的，請(qǐng)同學(xué)們考慮利用第三種途徑予以證明。例題2 （異面直線所成的角）如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，求下列異面直線所成的角。（1）AA1與BC；（2）DD1與A1B；（3）A1B與AC。思路分析：答案：（1）ABCDA1B1C1D1為正方體，AA1BB1，又BB1BC，AA1BC，AA1與BC所成的角為90；（2）又DD1A1A，在正方形A1ABB1中，BA1A45，故DD1與A1B所成的角為45；（3）A1AC1C，四邊形A1ACC1為平行四邊形，A1C1AC，在A1BC1中，A1BBC1A1C1，BA1C160.故A1B與AC所成的角為60。技巧點(diǎn)撥：1. 求兩條異面直線所成角的關(guān)鍵是作出異面直線所成的角，作兩條異面直線所成角的方法是：將其中一條平移到某個(gè)位置使其與另一條相交或是將兩條異面直線同時(shí)平移到某個(gè)位置使它們相交。2. 對(duì)于平移點(diǎn)的選取，為了方便計(jì)算，該點(diǎn)常選在兩條異面直線中的一條直線上，如端點(diǎn)、中點(diǎn)等。異面直線所成角的求法【滿(mǎn)分訓(xùn)練】正方體AC1中，E、F分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn)，求異面直線DB1與EF所成角的大小。思路分析：本題主要考查異面直線所成角的求法，關(guān)鍵是作出異面直線所成的角，根據(jù)定義作出角，即可求解。答案：方法一如圖，連接A1C1，B1D1，并設(shè)它們相交于點(diǎn)O，取DD1的中點(diǎn)G，連接OG，則OGB1D，EFA1C1，GOA1為異面直線DB1與EF所成的角或其補(bǔ)角，GA1GC1，O為A1C1的中點(diǎn)，GOA1C1，異面直線DB1與EF所成的角為90。方法二如圖，連接A1D，取A1D的中點(diǎn)H，連接HE，則HEDB1，HEF為所求異面直線DB1與EF所成的角或其補(bǔ)角，連接HF，設(shè)AA11，則EF，HE，取A1D1的中點(diǎn)I，連接IF，IH，則HIIF，HF2HI2IF2，HF2EF2HE2，HEF90，異面直線DB1與EF所成的角為90。方法三分別取AA1，CC1的中點(diǎn)M，N，連接MN，則MNEF，如圖所示，連接DM，B1N，則B1NDM，四邊形DMB1N為平行四邊形，MN與DB1必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，DPM為異面直線DB1與EF所成的角或其補(bǔ)角，設(shè)AA11，則MP，DM，DP，DM2DP2MP2，DPM90，DB1EF，異面直線DB1與EF所成的角為90。方法四在原正方體的右側(cè)補(bǔ)上一個(gè)與其全等的正方體，連接B1Q，則B1QEF，如圖，直線DB1與B1Q所成的較小的角就是異面直線DB1與EF所成的角，通過(guò)計(jì)算，不難得到：B1D2B1Q2DQ2，異面直線DB1與EF所成的角為90。技巧點(diǎn)撥：1. 求兩條異面直線所成角的步驟：（1）恰當(dāng)選點(diǎn)，用平移法構(gòu)造出一個(gè)相交角；（2）證明這個(gè)角就是異面直線所成的