高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)教案參數(shù)取值問(wèn)題的題型與方法十 人教版.doc

高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)教案參數(shù)取值問(wèn)題的題型與方法十（4課時(shí)）求參數(shù)的取值范圍的問(wèn)題，在中學(xué)數(shù)學(xué)里比比皆是，這一講，我們分四個(gè)方面來(lái)探討。一、若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量的范圍已知，另一個(gè)變量的范圍為所求，且容易通過(guò)恒等變形將兩個(gè)變量分別置于等號(hào)或不等號(hào)的兩邊，則可將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問(wèn)題求解。例1已知當(dāng)xR時(shí)，不等式a+cos2x54sinx+恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。分析：在不等式中含有兩個(gè)變量a及x，其中x的范圍已知（xR），另一變量a的范圍即為所求，故可考慮將a及x分離。解：原不等式即：4sinx+cos2x3即a+2上式等價(jià)于或，解得a8.說(shuō)明：注意到題目中出現(xiàn)了sinx及cos2x，而cos2x=12sin2x,故若把sinx換元成t,則可把原不等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次函數(shù)類(lèi)型。另解：a+cos2x54sinx+即a+12sin2x0,( t1,1)恒成立。設(shè)f(t)= 2t24t+4a+則二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為t=1,f(x)在1，1內(nèi)單調(diào)遞減。只需f(1)0,即a2.(下同)例2已知函數(shù)f(x)在定義域（，1上是減函數(shù)，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)k，使不等式f(ksinx)f(k2sin2x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立？并說(shuō)明理由。分析：由單調(diào)性與定義域，原不等式等價(jià)于ksinxk2sin2x1對(duì)于任意xR恒成立，這又等價(jià)于對(duì)于任意xR恒成立。不等式（1）對(duì)任意xR恒成立的充要條件是k2(1+sin2x)min=1,即1k1-(3)不等式（2）對(duì)任意xR恒成立的充要條件是k2k+(sinx)2max=,即k1或k2,-(4)由（3）、（4）求交集，得k=1,故存在k=1適合題設(shè)條件。說(shuō)明：抽象函數(shù)與不等式的綜合題常需要利用單調(diào)性脫掉函數(shù)記號(hào)。例3設(shè)直線過(guò)點(diǎn)P（0，3），和橢圓順次交于A、B兩點(diǎn)，試求的取值范圍.分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到：=，但從此后卻一籌莫展, 問(wèn)題的根源在于對(duì)題目的整體把握不夠. 事實(shí)上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個(gè)（或某幾個(gè)）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對(duì)應(yīng)的思想實(shí)施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個(gè)不等關(guān)系.思路1:從第一條想法入手，=已經(jīng)是一個(gè)關(guān)系式，但由于有兩個(gè)變量，同時(shí)這兩個(gè)變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第3個(gè)變量直線AB的斜率k. 問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為如何將轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的表達(dá)式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y得出關(guān)于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.所求量的取值范圍把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程xA= f（k），xB = g（k）得到所求量關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式求根公式AP/PB = （xA / xB）由判別式得出k的取值范圍解1：當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，可求得；當(dāng)與x軸不垂直時(shí)，設(shè)，直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得，解之得 因?yàn)闄E圓關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P在y軸上，所以只需考慮的情形.當(dāng)時(shí)，所以 =.由 , 解得 ，所以 ，綜上 .思路2: 如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，則應(yīng)該考慮到：判別式往往是產(chǎn)生不等的根源. 由判別式值的非負(fù)性可以很快確定的取值范圍，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與聯(lián)系起來(lái). 一般來(lái)說(shuō)，韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問(wèn)題的橋梁，但本題無(wú)法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因在于不是關(guān)于的對(duì)稱(chēng)關(guān)系式. 原因找到后，解決問(wèn)題的方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于的對(duì)稱(chēng)關(guān)系式.把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程xA+ xB = f（k），xA xB = g（k）構(gòu)造所求量與k的關(guān)系式關(guān)于所求量的不等式韋達(dá)定理AP/PB = （xA / xB）由判別式得出k的取值范圍解2：設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得 （*）則 令，則，在（*）中，由判別式可得 ，從而有 ，所以，解得.結(jié)合得. 綜上，.說(shuō)明：范圍問(wèn)題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等. 本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法.二、直接根據(jù)圖像判斷若把等式或不等式進(jìn)行合理的變形后，能非常容易地畫(huà)出等號(hào)或不等號(hào)兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過(guò)畫(huà)圖直接判斷得出結(jié)果。尤其對(duì)于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。例4（2003年江蘇卷第11題、天津卷第10題）已知長(zhǎng)方形四個(gè)頂點(diǎn)A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一質(zhì)點(diǎn)從AB的中點(diǎn)P沿與AB夾角為的方向射到BC上的點(diǎn)P1后，依次反射到CD、DA和AB上的點(diǎn)P2、P3和P4（入射角等于反射角）.設(shè)P4的坐標(biāo)為（x4，0）.若1 x42，則的取值范圍是（ ）(A) (B) (C) (D)xyo12y1=(x-1)2y2=logax圖2分析: 高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提倡讓學(xué)生自主探索, 動(dòng)手實(shí)踐, 并主張?jiān)诟咧袑W(xué)課程設(shè)立“數(shù)學(xué)探究”學(xué)習(xí)活動(dòng), 03年數(shù)學(xué)試題反映了這方面的學(xué)習(xí)要求，在高考命題中體現(xiàn)了高中課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念本題可以嘗試用特殊位置來(lái)解，不妨設(shè)與AB的中點(diǎn)P重合（如圖1所示），則P1、P2、P3分別是線段BC、CD、DA的中點(diǎn)，所以由于在四個(gè)選擇支中只有C含有，故選C當(dāng)然，本題也可以利用對(duì)稱(chēng)的方法將“折線”問(wèn)題轉(zhuǎn)化成“直線”問(wèn)題來(lái)直接求解（如圖2所示） 說(shuō)明 由本題可見(jiàn), 0年試題強(qiáng)調(diào)實(shí)驗(yàn)嘗試, 探索猜想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的地位這也是選擇題的應(yīng)有特點(diǎn)例5當(dāng)x(1,2)時(shí)，不等式(x1)2logax恒成立，求a的取值范圍。分析：若將不等號(hào)兩邊分別設(shè)成兩個(gè)函數(shù)，則左邊為二次函數(shù)，圖象是拋物線，右邊為常見(jiàn)的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，故可以通過(guò)圖象求解。解：設(shè)y1=(x1)2,y2=logax,則y1的圖象為右圖所示的拋物線，要使對(duì)一切x(1,2),y11,并且必須也只需當(dāng)x=2時(shí)y2的函數(shù)值大于等于y1的函數(shù)值。故loga21,a1,10，則根據(jù)函數(shù)的圖象（直線）可得上述結(jié)論等價(jià)于）或）亦可合并定成同理，若在m,n內(nèi)恒有f(x)2p+x恒成立的x的取值范圍。分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母：x及P,關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量，另一個(gè)作為常數(shù)。顯然可將p視作自變量，則上述問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為在2，2內(nèi)關(guān)于p的一次函數(shù)大于0恒成立的問(wèn)題。略解：不等式即(x1)p+x22x+10,設(shè)f(p)= (x1)p+x22x+1,則f(p)在2,2上恒大于0，故有：即解得：x3.例8.設(shè)f(x)=x22ax+2,當(dāng)x1,+)時(shí)，都有f(x)a恒成立，求a的取值范圍。分析：題目中要證明f(x)a恒成立，若把a(bǔ)移到等號(hào)的左邊，則把原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間1,+)時(shí)恒大于0的問(wèn)題。解：設(shè)F(x)= f(x)a=x22ax+2a.)當(dāng)=4（a1)(a+2)0時(shí)，即2a0.則原方程有解即方程t2+(4+a)t+4=0有正根。4oxy 即解得a8.解法2（利用根與系數(shù)的分布知識(shí)）：即要求t2+(4+a)t=0有正根。設(shè)f(x)= t2+(4+a)t+4.10.=0,即（4+a）216=0,a=0或a=8.a=0時(shí)，f(x)=(t+2)2=0,得t=20,符合題意。a=8.20. 0,即a0時(shí)，f(0)=40,故只需對(duì)稱(chēng)軸，即a4.a0,y0,x,yZ）。計(jì)年利潤(rùn)為s，那么s3x+6y-2.4x-4y，即s0.6x+2y作出不等式表示的平面區(qū)域。問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求直線0.6x+2xs0截距的最大值。過(guò)點(diǎn)A作0.6x+2y=0的平行線即可求出s的最大值。聯(lián)立得A（18,12）。將x18，y12代入s0.6x+2y求得Smax34.8。設(shè)經(jīng)過(guò)n年可收回投資，則11.6+23.2+34.8(n2)=1200，可得n33.5。學(xué)校規(guī)模初中18個(gè)班級(jí)，高中12個(gè)班級(jí)，第一年初中招生6個(gè)班300人，高中招生4個(gè)班160人。從第三年開(kāi)始年利潤(rùn)34.8萬(wàn)元，大約經(jīng)過(guò)36年可以收回全部投資。說(shuō)明：本題的背景材料是投資辦教育，擬定一份計(jì)劃書(shū)，本題是計(jì)劃書(shū)中的部分內(nèi)容。要求運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，解析幾何知識(shí)和數(shù)據(jù)處理的綜合能力。通過(guò)計(jì)算可知，投資教育主要是社會(huì)效益，提高整個(gè)民族的素質(zhì)，經(jīng)濟(jì)效益不明顯。五、強(qiáng)化訓(xùn)練1（南京市2003年高三年級(jí)第一次質(zhì)量檢測(cè)試題） 若對(duì)個(gè)向量存在個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)，使得成立，則稱(chēng)向量為“線性相關(guān)”依此規(guī)定， 能說(shuō)明，“線性相關(guān)”的實(shí)數(shù)依次可以取 （寫(xiě)出一組數(shù)值即可，不必考慮所有情況） 2已知雙曲線，直線過(guò)點(diǎn)，斜率為，當(dāng)時(shí)，雙曲線的上支上有且僅有一點(diǎn)B到直線的距離為，試求的值及此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)。3設(shè)函數(shù)f(x)=2x-12-x-1,xR,若當(dāng)0時(shí)，f(cos2+2msin)+f(2m2)0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。4已知關(guān)于x的方程lg(x+20x) lg(8x6a3)=0有唯一解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。5試就的不同取值，討論方程所表示的曲線形狀，并指出其焦點(diǎn)坐標(biāo)。6某公司計(jì)劃在今年內(nèi)同時(shí)出售變頻空調(diào)機(jī)和智能型洗衣機(jī)，由于這兩種產(chǎn)品的市場(chǎng)需求量非常大，有多少就能銷(xiāo)售多少，因此該公司要根據(jù)實(shí)際情況（如資金、勞動(dòng)力）確定產(chǎn)品的月供應(yīng)量，以使得總利潤(rùn)達(dá)到最大。已知對(duì)這兩種產(chǎn)品有直接限制的因素是資金和勞動(dòng)力，通過(guò)調(diào)查，得到關(guān)于這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：資金單位產(chǎn)品所需資金（百元）月資金供應(yīng)量（百元）空調(diào)機(jī)洗衣機(jī)成本3020300勞動(dòng)力 （工資）510110單位利潤(rùn)68 試問(wèn)：怎樣確定兩種貨物的月供應(yīng)量，才能使總利潤(rùn)達(dá)到最大，最大利潤(rùn)是多少？ 7某?；锸抽L(zhǎng)期以面粉和大米為主食，而面食每100克含蛋白質(zhì)6個(gè)單位，含淀粉4個(gè)單位，售價(jià)0.5元，米食每100克含蛋白質(zhì)3個(gè)單位，含淀粉7個(gè)單位，售價(jià)0.4元，學(xué)校要求給學(xué)生配制盒飯，每盒飯至少有8個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的淀粉，問(wèn)應(yīng)如何配制盒飯，才既科學(xué)又費(fèi)用最少？8發(fā)電廠主控室的表盤(pán)，高m米，表盤(pán)底邊距地面n米。問(wèn)值班人員坐在什么位置上，看得最清楚？（值班人員坐在椅子上眼睛距地面的高度一般為1.2米）9. 某養(yǎng)雞廠想筑一個(gè)面積為144平方米的長(zhǎng)方形圍欄。圍欄一邊靠墻，現(xiàn)有50米鐵絲網(wǎng)，筑成這樣的圍欄最少要用多少米鐵絲網(wǎng)？已有的墻最多利用多長(zhǎng)？最少利用多長(zhǎng)？六、參考答案1分析：本題將高等代數(shù)中維向量空間的線形相關(guān)的定義，移植到平面向量中，定義了個(gè)平面向量線性相關(guān)在解題過(guò)程中，首先應(yīng)該依據(jù)定義，得到，即，于是，所以即則所以，的值依次可?。ㄊ遣坏扔诹愕娜我鈱?shí)數(shù)）2分析1：解析幾何是用代數(shù)方法來(lái)研究幾何圖形的一門(mén)學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問(wèn)題的重要手段. 從“有且僅有”這個(gè)微觀入手，對(duì)照草圖，不難想到：過(guò)點(diǎn)B作與平行的直線，必與雙曲線C相切. 而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式. 由此出發(fā)，可設(shè)計(jì)如下解題思路：把直線l的方程代入雙曲線方程，消去y，令判別式直線l在l的上方且到直線l的距離為解題過(guò)程略.分析2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且僅有一點(diǎn)B到直線的距離為”，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解. 據(jù)此設(shè)計(jì)出如下解題思路：轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問(wèn)題求解問(wèn)題關(guān)于x的方程有唯一解解：設(shè)點(diǎn)為雙曲線C上支上任一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線的距離為： 于是，問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于的方程.由于，所以，從而有于是關(guān)于的方程 由可知： 方程的二根同正，故恒成立，于是等價(jià)于.由如上關(guān)于的方程有唯一解，得其判別式，就可解得 .說(shuō)明：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性.3分析與解：從不等式分析入手，易知首先需要判斷f(x)的奇偶性和單調(diào)性，不難證明，在R上f(x)是奇函數(shù)和增函數(shù)，由此解出cos2+2msin0,t0,1-(*)恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。接下來(lái)，設(shè)g(t)=t22mt+(2m+1),按對(duì)稱(chēng)軸t=m與區(qū)間0，1的位置關(guān)系，分類(lèi)使g(t)min0,綜合求得m.本題也可以用函數(shù)思想處理，將（*）化為2m(1t)(t2+1),t0,1當(dāng)t=1時(shí)，mR;當(dāng)0th(t)=2(1t)+,由函數(shù)F（u)=u+在（1，1上是減函數(shù)，易知當(dāng)t=0時(shí)，h(x)max=1, m,綜合（1）、（2）知m。說(shuō)明：本題涉及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、二次函數(shù)的條件極值、不等式等知識(shí)，以及用函數(shù)的思想、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化和化歸的思想方法解題，是綜合性較強(qiáng)的一道好題。4分析：方程可轉(zhuǎn)化成lg(x2+20x)=lg(8x6a3),從而得x2+20x=8x6a30,注意到若將等號(hào)兩邊看成是二次函數(shù)xyl1l2l-20oy= x2+20x及一次函數(shù)y=8x6a3，則只需考慮這兩個(gè)函數(shù)的圖象在x軸上方恒有唯一交點(diǎn)即可。解：令y1= x2+20x=（x+10）2100,y2=8x6a3,則如圖所示，y1的圖象為一個(gè)定拋物線，y2的圖象是一條斜率為定值8，而截距不定的直線，要使y1和y2在x軸上有唯一交點(diǎn)，則直線必須位于l1和l2之間。（包括l1但不包括l2)當(dāng)直線為l1時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)（20，0）此時(shí)縱截距為6a3=160,a=;當(dāng)直線為l2時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)（0，0），縱截距為6a3=0，a=a的范圍為，）。5解：（1）當(dāng)時(shí)，方程化為，表示軸。 （2）當(dāng)時(shí)，方程化為，表示軸 （3）當(dāng)時(shí)，方程為標(biāo)準(zhǔn)形式： 當(dāng)時(shí)，方程化為表示以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓。 當(dāng)時(shí)，方程（*）表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，焦點(diǎn)為 當(dāng)時(shí)，方程（*）表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，焦點(diǎn)為 當(dāng)時(shí)，方程（*）表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，焦點(diǎn)為 當(dāng)時(shí)，方程（*）表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，焦點(diǎn)為 6解：設(shè)空調(diào)機(jī)、洗衣機(jī)的月供應(yīng)量分別是x、y臺(tái)，總利潤(rùn)是P，則P6x+8y 由題意：30x+20y 300 5x+10y110 x0，y0 x、y均為整數(shù) 畫(huà)圖知直線 y3/4x1/8P 過(guò)M（4,9）時(shí)，縱截距最大，這時(shí)P也取最大值Pmax648996（百元）故：當(dāng)月供應(yīng)量為：空調(diào)機(jī)4臺(tái)，洗衣機(jī)9臺(tái)時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)9600元。7解：設(shè)每盒盒