圓錐曲線中的求軌跡題型大匯總(推薦).doc

一、直接法題型：例1 已知直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Q（2，0），圓C的方程為，動點(diǎn)M到圓C的切線長與的比等于常數(shù)，求動點(diǎn)M的軌跡。解：設(shè)MN切圓C于N，則。設(shè),則 化簡得（1） 當(dāng)時(shí)，方程為，表示一條直線。（2） 當(dāng)時(shí)，方程化為表示一個(gè)圓。說明：求軌跡方程一般只要求出方程即可，求軌跡卻不僅要求出方程而且要說明軌跡是什么。變式： 如圖，圓與圓的半徑都是1，過動點(diǎn)P分別作圓、圓的切線PM、PN（M、N分別為切點(diǎn)），使得試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動點(diǎn)P的軌跡方程解：以的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則由已知可得：因?yàn)閮蓤A的半徑均為1，所以設(shè)，則，即所以所求軌跡方程為：（或）練習(xí)：（待定系數(shù)法題型）在中，且的面積為1，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求以M，N為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)P的橢圓方程。二、定義法題型：例2 如圖，某建筑工地要挖一個(gè)橫截面為半圓的柱形土坑，挖出的土只能沿AP、BP運(yùn)到P處，其中AP=100m，BP=150m，APB=600，問怎能樣運(yùn)才能最省工？解：半圓上的點(diǎn)可分為三類：一是沿AP到P較近，二是沿BP到P較近，三是沿AP或BP一樣近。其中第三類的點(diǎn)位于前兩類的分界線上，設(shè)M為分界線上的任一點(diǎn)，則有，即，故M在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上。建立如圖直角坐標(biāo)系，得邊界的方程為,故運(yùn)土?xí)r為了省工，在雙曲線弧左側(cè)的土沿AP運(yùn)到P處，右側(cè)的土沿BP運(yùn)到P處，在曲線上面的土兩邊都可運(yùn)。說明：利用雙曲線的定義可直接寫出雙曲線方程。練習(xí)： 已知圓O的方程為 x2+y2=100,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，0），M為圓O上任一點(diǎn)，AM的垂直平分線交OM于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的方程。解：由中垂線知，故，即P點(diǎn)的軌跡為以A、O為焦點(diǎn)的橢圓，中心為（-3，0），故P點(diǎn)的方程為三、代入法題型：例3 如圖，從雙曲線x2-y2=1上一點(diǎn)Q引直線x+y=2的垂線，垂足為N。求線段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程。解：設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y）,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x1,y1）則N（ 2x-x1,2y-y1）代入x+y=2,得2x-x1+2y-y1=2 又PQ垂直于直線x+y=2，故，即x-y+y1-x1=0 由解方程組得, 代入雙曲線方程即可得P點(diǎn)的軌跡方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0練習(xí)：已知曲線方程f(x,y)=0.分別求此曲線關(guān)于原點(diǎn)，關(guān)于x軸，關(guān)于y軸，關(guān)于直線y=x，關(guān)于直線y=-x，關(guān)于直線y=3對稱的曲線方程。(f(-x,-y)=0,f(x,-y)=0,f(-x,y)=0,f(y,x)=0,f(-x,-y)=0，f(x,6-y)=0)四、參數(shù)法與點(diǎn)差法題型：例4 經(jīng)過拋物線y2=2p(x+2p)(p0)的頂點(diǎn)A作互相垂直的兩直線分別交拋物線于B、C兩點(diǎn)，求線段BC的中點(diǎn)M軌跡方程。解：A（-2p,0）,設(shè)直線AB的方程為y=k(x+2p)(k0).與拋物線方程聯(lián)立方程組可解得B點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于AC與AB垂直，則AC的方程為，與拋物線方程聯(lián)立方程組可解得C點(diǎn)的坐標(biāo)為，又M為BC中點(diǎn)，設(shè)M（x,y）,則，消去k得y2=px,即點(diǎn)M的軌跡是拋物線。五、交軌法與幾何法題型例5 拋物線的頂點(diǎn)作互相垂直的兩弦OA、OB，求拋物線的頂點(diǎn)O在直線AB上的射影M的軌跡。（考例5）解1（交軌法）：點(diǎn)A、B在拋物線上，設(shè)A（，B（所以kOA= kOB=,由OA垂直O(jiān)B得kOA kOB = -1，得yAyB= -16p2 ,又AB方程可求得，即（yA+yB）y-4px-yAyB=0,把 yAyB= -16p2代入得AB方程（yA+yB）y-4px+16p2 =0 又OM的方程為 由消去得yA+yB即得， 即得。所以點(diǎn)M的軌跡方程為，其軌跡是以為圓心，半徑為的圓,除去點(diǎn)（0，0）。說明：用交軌法求交點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，不一定非要求出交點(diǎn)坐標(biāo)，只要能消去參數(shù)，得到交點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)間的關(guān)系即可。交軌法實(shí)際上是參數(shù)法中的一種特殊情況。解2（幾何法）：由解1中AB方程（yA+yB）y-4px+16p2 =0 可得AB過定點(diǎn)（4p,0）而OM垂直AB，所以由圓的幾法性質(zhì)可知：M點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓。所以方程為，除去點(diǎn)（0，0）。六、點(diǎn)差法：例6（2004年福建，22）如圖，P是拋物線C：上一點(diǎn)，直線過點(diǎn)P且與拋物線C交于另一點(diǎn)Q。若直線與過點(diǎn)P的切線垂直，求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程。（圖見教材P129頁例2）。解：設(shè)由（1）得，過點(diǎn)P的切線的斜率，直線的斜率，直線的方程為（2）方法一、（利用韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式）聯(lián)立（1）（2）消去得，M為PQ的中點(diǎn)，消去PQ中點(diǎn)為M的軌跡方程為方法二（點(diǎn)差法）由得則。將上式代入（2）并整理，得PQ中點(diǎn)為M的軌跡方程為說明：本題主要考查了直線、拋物線的基礎(chǔ)知識，以及求軌跡方程的常用方法，本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率以及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題?！拘〗Y(jié)】一、求軌跡的一般方法：1直接法，2定義法，3代入法，4參數(shù)法，5交軌法，6幾何法，7.待定系數(shù)法，8.點(diǎn)差法。二、注意事項(xiàng)：1直接法是基本方法；定義法要充分聯(lián)想定義、靈活動用定義；化入法要設(shè)法找到關(guān)系式x=f(x,y),