解析幾何專(zhuān)題二(焦點(diǎn)弦及焦點(diǎn)三角形).doc

專(zhuān)題二:圓錐曲線焦點(diǎn)弦、焦點(diǎn)知識(shí)專(zhuān)題【焦半徑橢圓】【焦半徑雙曲線】(1) 單支焦點(diǎn)半徑(2) 雙支焦點(diǎn)半徑【焦半徑拋物線】【焦點(diǎn)弦有關(guān)推論橢圓】1、過(guò)橢圓、雙曲線的一焦點(diǎn)F交橢圓或雙曲線(單支)于A,B兩點(diǎn)，則2、過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)F的直線分別與兩支交于A,B，與焦點(diǎn)軸夾角為3、過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，與焦點(diǎn)軸夾角為4、已知點(diǎn)是離心率為的橢圓或雙曲線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的弦與的焦點(diǎn)所在的軸的夾角為，且。（1） 當(dāng)焦點(diǎn)內(nèi)分弦時(shí)，有（2） 當(dāng)焦點(diǎn)外分弦時(shí)（此時(shí)曲線為雙曲線），有【橢圓焦三角形面積】q為動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,m,n為弦長(zhǎng),為弦?jiàn)A角 【橢圓】 【雙曲線焦面積】q為動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,m,n為弦長(zhǎng),為弦?jiàn)A角 【拋物線焦點(diǎn)弦與原點(diǎn)面積】【焦點(diǎn)頂角】橢 圓: 雙曲線: 一、焦半徑與焦點(diǎn)弦 ABF1MNF2ABF1MNF2 【焦半徑橢圓】 分析：如上左圖, 分析：如上右圖, ABF1MNF2 MNBF1F2A分析：如上左圖, 分析：如上右圖, AF1F2MBNAF1F2MBN【焦半徑雙曲線】?jī)?nèi)部焦點(diǎn)半徑 ABMNMANB外部焦點(diǎn)半徑 MMNNBAMMANNB分析：如上左圖, 分析：如上右圖, 同理可以推出:(也可從旋轉(zhuǎn)的角度得出以下結(jié)論)MMNNBA【焦半徑拋物線】從上圖容易得出以下結(jié)論 從上圖分析【焦半徑與焦點(diǎn)弦有關(guān)推論】【推論1】常用來(lái)求定值 過(guò)橢圓、雙曲線的一焦點(diǎn)F交橢圓或雙曲線(單支)于A,B兩點(diǎn)，則過(guò)雙曲線的一焦點(diǎn)F的直線分別與兩支交于A,B，與焦點(diǎn)軸夾角為過(guò)拋物線的一焦點(diǎn)F直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，與焦點(diǎn)軸夾角為【推論2】常用來(lái)求定角或斜率已知點(diǎn)是離心率為的橢圓或雙曲線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的弦與的焦點(diǎn)所在的軸的夾角為，且。（3） 當(dāng)焦點(diǎn)內(nèi)分弦時(shí)，有（4） 當(dāng)焦點(diǎn)外分弦時(shí)（此時(shí)曲線為雙曲線），有ABF1MNF2ABMN【（1）分析證明】【（2）分析證明】MMABN【焦半徑與焦點(diǎn)弦有關(guān)例題】例1 （2009年高考福建卷理科第13題）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，交拋物線于兩點(diǎn)，若線段的長(zhǎng)為8，則【解】 由拋物線焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式為得，解得。例2（2010年高考遼寧卷理科第20題）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)且傾斜角為的直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)，已知。（1）求橢圓的離心率；（2）若，求橢圓方程?！窘狻?（1）這里，由定理1的公式得，解得。 （2）將，代入焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式得，解得，即，所以，又，設(shè)，代入得，所以，所以，故所求橢圓方程為。例3（2007年重慶卷第16題）過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，交雙曲線于兩點(diǎn)，則的值為【解】 易知均在右支上，因?yàn)椋x心率，點(diǎn)準(zhǔn)距，因傾斜角為，所以。由焦半徑公式得，。例4 （由2007年重慶卷第16題改編）過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，交雙曲線于兩點(diǎn)，則的值為【解】 因?yàn)椋x心率，點(diǎn)準(zhǔn)距，因傾斜角為，所以。注意到分別在雙曲線的兩支上，由焦半徑公式得， 。例5 （2010年高考全國(guó)卷理科第16題）已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，且，則的離心率為【解】 設(shè)直線與焦點(diǎn)所在的軸的夾角為，則，又，代入公式得，所以。例6（自編題）已知雙曲線的離心率為，過(guò)左焦點(diǎn)且斜率為的直線交的兩支于兩點(diǎn)。若，則 【解】 這里，因直線與左右兩支相交，故應(yīng)選擇公式，代入公式得，所以所以，所以。例7（2009年高考全國(guó)卷理科題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)且斜率為的直線交于兩點(diǎn)。若，則的離心率為（ ） 【解】這里，所以，又，代入公式得，所以，故選。例8 （2007年高考全國(guó)卷）如圖6，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且。求四邊形面積的最小值。 圖6 【解】 由方程可知，則。設(shè)直線與軸的夾角為，因?yàn)?，所以直線與軸 的夾角為。代入弦長(zhǎng)公式得，。故四邊形的面積為，。所以四邊形面積的最小值為。二、圓錐曲線中的焦點(diǎn)三角形面積【橢圓焦三角形】F1F2MmnEFP【分析】 設(shè)|OM|=q 【雙曲線焦點(diǎn)三角形】 【拋物線原焦弦三角形】同樣焦點(diǎn)在y軸上時(shí)三、圓錐曲線中的焦點(diǎn)三角形頂角問(wèn)題【橢圓】 【分析】也可利用向量來(lái)證明x的取值范圍【雙曲線】原理同橢圓,可求出x的取值范圍【啟發(fā)例題】MPQF1M例 點(diǎn)M是橢圓(ab0)上的點(diǎn)，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的焦