利用相似多邊形的對應元素構造三角形相似.doc

利用相似多邊形的對應元素構造三角形相似 武漢市第三寄宿中學 蔡劍雄近幾年全國各省市中考出現了開放探究類熱門試題，這也是符合新課改的精神，即應加強對學生探索學習過程與方法的考察，突出在圖像變化過程中的觀察、歸納與證明，涉及全等形、相似形等幾何知識的綜合應用，本文就此作一些探討。例1： 點B、C、E在同一直線上，點A、D在直線CE的同側，AB=AC、EC=ED、BAC=CED, 直線AE、BD交于點F（1）如圖1，若BAC=，則AFB= (用含的式子表示)（2）將圖1中的ABC繞C旋轉（點F不與A、B重合）得圖2或圖3，在圖2中，AFB與的數量關系是 ，在圖2中，AFB與的數量關系是 圖1 圖2 圖3 解：（1）圖1、圖2中，AFB=90-，證明如下：AB=AC、EC=ED、BAC=CED ABCEDC ACB=ECD BCD=ACE BCDACE CBD=CAE AFB=ACB=90-(2) 圖3中，AFB=90+，證明如下：AB=AC、EC=ED、BAC=CED ABCEDC ACB=ECD BCD=ACE BCDACE BDC=AEC AFD=ECD=90-AFB=180-AFD=90+本題從兩個相似的等腰三角形ABC、EDC出發(fā)，可得BCDACE。其中BCD的BC、CD邊分別為ABC、EDC的對應底邊，而ACE的AC、CE邊則分別為ABC、EDC的腰，由原來兩個相似三角形的對應邊的特征去發(fā)現兩個新的相似三角形，問題即可解決。還可作如下探究：例2：A、C、E三點在同一直線上，點B、D在直線CE同側，且AB=AC，AD=AE，BAC=DAE，M、N分別為BC、DE中點，直線MN、CD交于點F（1）圖4中，若BAC=，則DFM= (用含的式子表示)（2）將圖4中的DAE繞A旋轉得圖5或圖6，圖5中DFM與的數量關系是 圖6中DFM與的數量關系是 圖4 圖5 圖6解：（1）圖4、圖5中，DFM=180-，證明如下：連結AM、AN AB=AC、AD=AE AMC=AND=90,MAC=MAB=NAD=NAE AMCAND 又CAD=CAM+MAD MAN=NAD+MAD CAD= MAN CAD MAN ACD=AMN CFM=CAM= DFM=180- CFM=180-（2）圖6中，DFM=，證明如下：連結AM、AN AB=AC、AD=AE AMC=AND=90,MAC=MAB=NAD=NAE AMCAND 又CAD=NAD-CAN MAN=MAC-CAN CAD= MAN CAD MAN ACD=AMN DFM=CAM=本題由兩個相似的等腰三角形ABC、DAE出發(fā)，由對應高之比等于相似比， 得AMCAND，其中AM、AN分別為ABC、DAE的對應高，而AC、AD為原三角形的腰構造了兩個新的三角形相似，問題即可解決。類似的還可如此探討：例3：將正方形ABCD、正方形BEFG如圖7擺放，則= ，DMC= 將圖7中的正方形BEFG繞B點旋轉得圖8位置，則= ，DMC= 圖7 圖8解：（1）圖7中，=， DMC=45證明如下：連結BD、BF 得BD= BC BF= BG 又DBF=CBG=90 DBFCBG BDF=BCG DMC=DBC=45（2）圖8中，=， DMC=45證明如下：連結BD、BF得BD= BC BF= BG ，又DBF=GBF+DBG=45+DBGCBG=CBD+DBG=45+DBG DBFCBG BDF=BCG BDF=BCG DMC=DBC=45本題由兩個正方形的對角線之比等于邊長之比，構造了DBFCBG，其中DBF的兩邊由兩個正方形的對角線BD、BF構成，而CBG由兩個正方形的邊長構成，找到了這樣有特點的DBF、CBG，離解決問題就已經不遠了。例4：如圖9，AC=BC、ACB=90、ED=EF、DEF=90,B與D重合，M、N、P分別是CE、AB、DF中點，則MN與MP的數量關系為 ，如圖10，AC=BC、ACB=90、ED=EF、DEF=90,C與D重合，M、N、P分別是AF、BC、DE中點，則MN與MP的數量關系為 ，圖9 圖10解：（1）圖9中，MN=MP 證明如下：分別取BC、BE的中點H、G , 連結HM、HN、GM、GP HN=AC MG=BC HM=DE PG=EF HN= MG HM= PG又可證得MHN=PGM MHNPGM MN=MP（2）圖10中，MN=MP 證明如下：分別取AC、DF的中點H、G , 連結HM、HN、GM、GP HN=AB MG=AC HM=DF PG=EF HN= MG HM= PG又可證得MHN=PGM MHNPGM MN=MP本題中，借助兩個相似的ABC、DFE的中位線HM、HN、GM、GP來構造三角形全等或相似。在以上幾例當中，都可由原相似三角形的或正方形的基礎上，去構造新的全等或相似，因在證明的過程中涉及到的全等或相似往往有兩次，學生不易掌握。但如果能歸納總結其內在規(guī)律性的方法，即依據原相似多邊形的對應元素去構造三角形全等或相似，而這個對應元素可以是兩個相似的等腰三角形的底邊，如例1；可以是兩個相似的三角形的對應邊上的高，如例2; 可以是兩個正方