2019_2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差1.4.2標(biāo)準(zhǔn)差學(xué)案北師大版.docx_第1頁
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文檔簡介

1.4.1平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差 1.4.2標(biāo)準(zhǔn)差航向標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1理解平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念2會計算數(shù)據(jù)的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差3體會用統(tǒng)計量表達(dá)樣本數(shù)據(jù),提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣讀教材自主學(xué)習(xí)1平均數(shù):一般地,對于n個數(shù)x1,x2,xn,我們把(x1x2xn)叫作這n個數(shù)的算術(shù)平均數(shù),簡稱平均數(shù)2中位數(shù):一般地,將n個數(shù)據(jù)按大小順序排列,處于最中間的一個數(shù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫作這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)3眾數(shù):一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)叫作這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)4極差:極差是數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差5標(biāo)準(zhǔn)差:各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方的平均數(shù),稱為這組數(shù)據(jù)的方差,方差的算術(shù)平方根稱為這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差看名師疑難剖析1平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)刻畫一組數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量有平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等,它們作為一組數(shù)據(jù)的代表各有優(yōu)缺點,也各有各的用處,從不同的角度出發(fā),不同的人會選取不同的統(tǒng)計量來表達(dá)同一組數(shù)據(jù)的信息平均數(shù)是刻畫一組數(shù)據(jù)集中趨勢最常用的統(tǒng)計量2方差、標(biāo)準(zhǔn)差n個數(shù)據(jù)x1,x2,x3,我們把記為,則方差可以用s2(x1)2(x2)2(xn)2來表示,將方差的算術(shù)平方根s稱為標(biāo)準(zhǔn)差刻畫一組數(shù)據(jù)離散趨勢的統(tǒng)計量有方差、標(biāo)準(zhǔn)差等對方差和標(biāo)準(zhǔn)差的理解還要注意以下幾方面:(1)標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)的波動大小標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大,數(shù)據(jù)離散程度越大,穩(wěn)定性越差;標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小,數(shù)據(jù)離散程度越小,穩(wěn)定性越好;(2)因方差與原始數(shù)據(jù)單位不同,且平方后可能夸大了偏差程度,所以雖然標(biāo)準(zhǔn)差與方差在體現(xiàn)數(shù)據(jù)分散程度上是一樣的,但解決問題時一般用標(biāo)準(zhǔn)差; (3)標(biāo)準(zhǔn)差與方差的取值范圍是0,)考點一 平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的計算例1求下列一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù):10,20,80,40,30,90,50,40,50,40.分析明確各概念,利用定義解題解這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(10208040309050405040)1045.將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列,得10,20,30,40,40,40,50,50,80,90,所以中位數(shù)為(4040)240.又因為40出現(xiàn)3次,出現(xiàn)次數(shù)最多,所以眾數(shù)為40.類題通法求平均數(shù)必須先將所有數(shù)據(jù)求和,再把和除以數(shù)據(jù)的個數(shù).求中位數(shù)時,必須將所有數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列后,把中間的數(shù)或中間兩項的平均數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).而眾數(shù)則是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù).在解答本類問題時,一定要審清題意,明確各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù),認(rèn)真計算,以防計算失誤.(1)甲、乙兩人在10天中每天加工零件的個數(shù)用莖葉圖表示如下圖,中間一列的數(shù)字表示零件個數(shù)的十位數(shù),兩邊的數(shù)字表示零件個數(shù)的個位數(shù),則這10天甲、乙兩人日加工零件的平均數(shù)分別為_和_.(2)在如下圖所示的莖葉圖中,甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別是_,_.答案(1)2423(2)4546解析(1)由莖葉圖可知甲的平均數(shù)為24,乙的平均數(shù)為23.(2)甲組數(shù)據(jù)從小到大排序后,最中間的數(shù)是45,即甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為45;乙組數(shù)據(jù)從小到大排序后,最中間的數(shù)是46,即乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是46.考點二 平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的應(yīng)用例2個體戶李某經(jīng)營一家快餐店,下面是快餐店所有工作人員8月份的工資表:李某大廚二廚采購員雜工服務(wù)生會計3000元450元350元400元320元320元410元(1)計算所有員工8月份的平均工資;(2)由(1)計算出的平均工資能否反映打工人員這個月收入的一般水平?為什么?(3)去掉李某的工資后,再計算平均工資,這能代表打工人員當(dāng)月的收入水平嗎?(4)根據(jù)以上計算,以統(tǒng)計的觀點,你對(3)的結(jié)果有什么看法?解(1)這7個人的8月份平均工資是1(3000450350400320320410)750(元)(2)計算出的平均工資不能反映打工人員的當(dāng)月收入的一般水平,可以看出,打工人員的工資都低于平均工資,因為這7個值中有一個極端值李某的工資特別高,所以他的工資對平均工資的影響較大,同時他也不是打工人員(3)去掉李某的工資后的平均工資2(450350400320320410)375(元),該平均工資能代表打工人員的當(dāng)月收入的一般水平(4)從本題的計算可以看出,個別特殊值對平均數(shù)有很大的影響,因此在選擇樣本時,樣本中盡量不用特殊數(shù)據(jù)類題通法據(jù)報道,某公司的33名職工的月工資(以元為單位)如下:職務(wù)董事長副董事長董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員人數(shù)11215320工資5500500035003000250020001500(1)求該公司職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù);(2)假設(shè)副董事長的工資從5000元提升到20000元,董事長的工資從5500元提升到30000元,那么新的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是什么?(精確到元)(3)你認(rèn)為哪個統(tǒng)計量更能反映這個公司員工的工資水平?結(jié)合此問題談一談你的看法解(1)平均數(shù)是150015005912091(元),中位數(shù)是1500元,眾數(shù)是1500元(2)平均數(shù)是1500150017883288(元)中位數(shù)是1500元,眾數(shù)是1500元(3)在這個問題中,中位數(shù)或眾數(shù)均能反映該公司員工的工資水平,因為公司中少數(shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大,這樣導(dǎo)致平均數(shù)與中位數(shù)偏差較大,所以平均數(shù)不能反映這個公司員工的工資水平考點三 方差與標(biāo)準(zhǔn)差的計算例3一個樣本數(shù)據(jù)的方差是s2(x13)2(x23)2(x33)2(x203)2(1)求樣本的容量n及平均數(shù);(2)如果樣本數(shù)據(jù)的平方和為200,求樣本的方差分析本題主要用方差的公式進(jìn)行變形求解,我們要熟練掌握公式的變形解(1)由樣本數(shù)據(jù)方差公式可以得到樣本容量n20,平均數(shù)3.(2)由s2(x13)2(x23)2(x203)2(xxx)6(x1x2x20)209(200360180)1.類題通法甲、乙、丙三名射箭運動員在某次測試中各射箭20次,三人的測試成績?nèi)缦卤恚簊1、s2、s3分別表示甲、乙、丙三名運動員這次測試成績的標(biāo)準(zhǔn)差,則有()As3s1s2 Bs2s1s3Cs1s2s3 Ds2s3s1答案B解析甲8.5,s1.25,乙8.5,s1.45,丙8.5,s1.05,由sss得s2s1s3.故選B.考點四 數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的應(yīng)用例4一次科技知識競賽,兩組學(xué)生成績?nèi)缦卤恚阂呀?jīng)計算得到兩個組成績的平均數(shù)都是80分,請根據(jù)你所學(xué)過的統(tǒng)計知識,進(jìn)一步判斷這兩個組在這次競賽中的成績誰優(yōu)誰次,并說明理由分析優(yōu)次之分的標(biāo)準(zhǔn)是通過數(shù)據(jù)的各數(shù)字特征來反映解(1)甲組成績的眾數(shù)為90分,乙組成績的眾數(shù)為70分,從成績的眾數(shù)比較看,甲組的成績好一些;(2)s2(5080)25(6080)210(7080)213(8080)214(9080)26(10080)2172(分2)s(4900440016100201210012400)256(分2)因為ss,所以甲組的成績比乙組的成績好(3)甲、乙兩組成績的中位數(shù)、平均數(shù)都是80分,其中,甲組成績在80分以上(含80分)的有33人,乙組成績在80分以上(含80分)的有26人,從這一角度來看,甲組的成績總體較好(4)從成績統(tǒng)計表來看,甲組的成績高于90分(含90分)的人數(shù)為14620(人),乙組的成績高于90分(含90分)的人數(shù)為121224(人),所以乙組成績集中在高分段的人數(shù)多,同時乙組得滿分的比甲組得滿分的多6人,從這一角度來看,乙組的成績較好類題通法用數(shù)據(jù)的數(shù)字特征來反映該組數(shù)據(jù)的特點,本例就是從眾數(shù)、中位數(shù)、方差、高分段以及滿分的人數(shù)等數(shù)字特征全方位進(jìn)行綜合分析、比較,并作出判斷.有一組數(shù)據(jù):x1,x2,xn(x1x2xn)的算術(shù)平均值為10,若去掉其中最大的一個,余下數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值為9,若去掉其中最小的一個,余下數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值為11.(1)求出第一個數(shù)x1關(guān)于n的表達(dá)式及第n個數(shù)xn關(guān)于n的表達(dá)式;(2)若x1,x2,xn都是正整數(shù),試求第n個數(shù)xn的最大值,并舉出滿足題目要求且xn取到最大值的一組數(shù)據(jù)解(1)依條件得由得xnn9.又由得x111n.(2)由于x1是正整數(shù)故x111n11n10,故xnn919.當(dāng)n10時,x11,x1019,x2x3x980.此時,x26,x37,x48,x59,x611,x712,x813,x914.例(12分)某酒廠有甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)同一種型號的白酒,產(chǎn)品在自動傳輸帶上包裝傳送,每15分鐘抽一瓶測定其質(zhì)量是否合格,分別記錄抽查的數(shù)據(jù)如下(單位:毫升):甲生產(chǎn)線:508,504,496,510,492,496乙生產(chǎn)線:515,520,480,485,497,503問:(1)這種抽樣是何種抽樣方法?(2)分別計算甲、乙兩條生產(chǎn)線的平均值與標(biāo)準(zhǔn)差,并說明哪條生產(chǎn)線的產(chǎn)品較穩(wěn)定(一)精妙思路點撥(二)分層規(guī)范細(xì)解(1)根據(jù)題意知,抽樣是每15分鐘抽一瓶,是等距抽樣,所以這種抽樣是系統(tǒng)抽樣.4分(2)根據(jù)已知抽樣數(shù)據(jù)可計算:甲(508504496510492496),6分s(508501)2(504501)2(496501)2(510501)2(492501)2(496501)2,s甲36.708.8分乙(515520480485497503),s(515500)2(520500)2(480500)2(485500)2(497500)2(503500)210分s乙14.536.s甲s乙,.12分(三)來自一線的報告通過閱卷后分析,對解答本題的失分警示和解題啟示總結(jié)如下:(注:此處的見分層規(guī)范細(xì)解過程)(四)類題練筆掌握從甲、乙兩種玉米苗中各抽10株,分別測得它們的株高如下(單位:cm):甲:25,41,40,37,22,14,19,39,21,42;乙:27,16,44,27,44,16,40,40,16,40.問:(1)哪種玉米的苗長得高?(2)哪種玉米的苗長得齊?解(1)甲(25414037221419392142)30030(cm),乙(27164427441640401640)31031(cm),甲乙,乙種玉米的苗長得高(2)s(2530)2(4130)2(4030)2(3730)2(2230)2(1430)2(1930)2(3930)2(2130)2(4230)21042104.2(cm2),s(2731)22(1631)23(4431)22(4031)231288128.8(cm2)ss,甲種玉米的苗長得齊(五)解題設(shè)問(1)本題中樣本數(shù)據(jù)的個數(shù)是多少?_.(2)需用樣本數(shù)據(jù)的哪些數(shù)字特征?需要求出樣本數(shù)據(jù)的_,用來衡量玉米的高度;求出樣本數(shù)據(jù)的_(或_)用來衡量玉米長得是否齊答案(1)有10個(2)平均數(shù)方差標(biāo)準(zhǔn)差1已知某班8名學(xué)生的身高(單位:m)分別為:1.74,1.68,1.72,1.80,1.64,1.69,1.75,1.82,則這8名學(xué)生的平均身高為()A1.60 m B1.82 mC1.73 m D1.64 m答案C解析求平均數(shù)2在一次歌手大獎賽上,七位評委為某歌手打出的分?jǐn)?shù)如下:948.49.49.99.69.49.7去掉一個最高分和一個最低分后,所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為()A9.40.484 B9.40.016C9.50.04 D9.50.016答案D解析去掉最高分9.9和最低分8.4,余下的數(shù)為9.4,9.4,9.6,9.4,9.7,其平均數(shù)9.5,s2(0.120.120.120.120.22)0.016.3某學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)測驗中,得100分的有1人,95分的有1人,90分的有2人,85分的有4人,80分和75分的各有1人,則該小組成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是()A85、85、85 B87、85、86C87、85、85 D87、85、90答案C4已知總體的各個體的值由小到大依次為2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且總體的中位數(shù)為10.5,若要使該總體的方差最小,則a,b的取值分別是_答案a10.5,b10.5解析依題意及中位數(shù)定義可知:a10.5,b10.5.5甲、乙兩臺機(jī)床在相同的技術(shù)條件下,同時生產(chǎn)一種零件,現(xiàn)在從中抽測10個,它們的尺寸(單位:mm)分別如下甲:10.2,10.1,10,9.8,9.9,10.3,9.7,10,9.

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