2019_2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差1.4.2標(biāo)準(zhǔn)差學(xué)案北師大版.docx

1.4.1平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差 1.4.2標(biāo)準(zhǔn)差航向標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1理解平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念2會計算數(shù)據(jù)的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差3體會用統(tǒng)計量表達(dá)樣本數(shù)據(jù)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣讀教材自主學(xué)習(xí)1平均數(shù)：一般地，對于n個數(shù)x1，x2，xn，我們把(x1x2xn)叫作這n個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，簡稱平均數(shù)2中位數(shù)：一般地，將n個數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間的一個數(shù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫作這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)3眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)叫作這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)4極差：極差是數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差5標(biāo)準(zhǔn)差：各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方的平均數(shù)，稱為這組數(shù)據(jù)的方差，方差的算術(shù)平方根稱為這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差看名師疑難剖析1平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)刻畫一組數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量有平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等，它們作為一組數(shù)據(jù)的代表各有優(yōu)缺點，也各有各的用處，從不同的角度出發(fā)，不同的人會選取不同的統(tǒng)計量來表達(dá)同一組數(shù)據(jù)的信息平均數(shù)是刻畫一組數(shù)據(jù)集中趨勢最常用的統(tǒng)計量2方差、標(biāo)準(zhǔn)差n個數(shù)據(jù)x1，x2，x3，我們把記為，則方差可以用s2(x1)2(x2)2(xn)2來表示，將方差的算術(shù)平方根s稱為標(biāo)準(zhǔn)差刻畫一組數(shù)據(jù)離散趨勢的統(tǒng)計量有方差、標(biāo)準(zhǔn)差等對方差和標(biāo)準(zhǔn)差的理解還要注意以下幾方面：(1)標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)的波動大小標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)離散程度越大，穩(wěn)定性越差；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)離散程度越小，穩(wěn)定性越好；(2)因方差與原始數(shù)據(jù)單位不同，且平方后可能夸大了偏差程度，所以雖然標(biāo)準(zhǔn)差與方差在體現(xiàn)數(shù)據(jù)分散程度上是一樣的，但解決問題時一般用標(biāo)準(zhǔn)差； (3)標(biāo)準(zhǔn)差與方差的取值范圍是0，)考點一 平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的計算例1求下列一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)：10,20,80,40,30,90,50,40,50,40.分析明確各概念，利用定義解題解這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(10208040309050405040)1045.將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，得10,20,30,40,40,40,50,50,80,90，所以中位數(shù)為(4040)240.又因為40出現(xiàn)3次，出現(xiàn)次數(shù)最多，所以眾數(shù)為40.類題通法求平均數(shù)必須先將所有數(shù)據(jù)求和，再把和除以數(shù)據(jù)的個數(shù).求中位數(shù)時，必須將所有數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列后，把中間的數(shù)或中間兩項的平均數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).而眾數(shù)則是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù).在解答本類問題時，一定要審清題意，明確各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)，認(rèn)真計算，以防計算失誤.(1)甲、乙兩人在10天中每天加工零件的個數(shù)用莖葉圖表示如下圖，中間一列的數(shù)字表示零件個數(shù)的十位數(shù)，兩邊的數(shù)字表示零件個數(shù)的個位數(shù)，則這10天甲、乙兩人日加工零件的平均數(shù)分別為_和_.(2)在如下圖所示的莖葉圖中，甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別是_，_.答案(1)2423(2)4546解析(1)由莖葉圖可知甲的平均數(shù)為24，乙的平均數(shù)為23.(2)甲組數(shù)據(jù)從小到大排序后，最中間的數(shù)是45，即甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為45；乙組數(shù)據(jù)從小到大排序后，最中間的數(shù)是46，即乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是46.考點二 平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的應(yīng)用例2個體戶李某經(jīng)營一家快餐店，下面是快餐店所有工作人員8月份的工資表：李某大廚二廚采購員雜工服務(wù)生會計3000元450元350元400元320元320元410元(1)計算所有員工8月份的平均工資；(2)由(1)計算出的平均工資能否反映打工人員這個月收入的一般水平？為什么？(3)去掉李某的工資后，再計算平均工資，這能代表打工人員當(dāng)月的收入水平嗎？(4)根據(jù)以上計算，以統(tǒng)計的觀點，你對(3)的結(jié)果有什么看法？解(1)這7個人的8月份平均工資是1(3000450350400320320410)750(元)(2)計算出的平均工資不能反映打工人員的當(dāng)月收入的一般水平，可以看出，打工人員的工資都低于平均工資，因為這7個值中有一個極端值李某的工資特別高，所以他的工資對平均工資的影響較大，同時他也不是打工人員(3)去掉李某的工資后的平均工資2(450350400320320410)375(元)，該平均工資能代表打工人員的當(dāng)月收入的一般水平(4)從本題的計算可以看出，個別特殊值對平均數(shù)有很大的影響，因此在選擇樣本時，樣本中盡量不用特殊數(shù)據(jù)類題通法據(jù)報道，某公司的33名職工的月工資(以元為單位)如下：職務(wù)董事長副董事長董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員人數(shù)11215320工資5500500035003000250020001500(1)求該公司職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；(2)假設(shè)副董事長的工資從5000元提升到20000元，董事長的工資從5500元提升到30000元，那么新的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是什么？(精確到元)(3)你認(rèn)為哪個統(tǒng)計量更能反映這個公司員工的工資水平？結(jié)合此問題談一談你的看法解(1)平均數(shù)是150015005912091(元)，中位數(shù)是1500元，眾數(shù)是1500元(2)平均數(shù)是1500150017883288(元)中位數(shù)是1500元，眾數(shù)是1500元(3)在這個問題中，中位數(shù)或眾數(shù)均能反映該公司員工的工資水平，因為公司中少數(shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大，這樣導(dǎo)致平均數(shù)與中位數(shù)偏差較大，所以平均數(shù)不能反映這個公司員工的工資水平考點三 方差與標(biāo)準(zhǔn)差的計算例3一個樣本數(shù)據(jù)的方差是s2(x13)2(x23)2(x33)2(x203)2(1)求樣本的容量n及平均數(shù)；(2)如果樣本數(shù)據(jù)的平方和為200，求樣本的方差分析本題主要用方差的公式進(jìn)行變形求解，我們要熟練掌握公式的變形解(1)由樣本數(shù)據(jù)方差公式可以得到樣本容量n20，平均數(shù)3.(2)由s2(x13)2(x23)2(x203)2(xxx)6(x1x2x20)209(200360180)1.類題通法甲、乙、丙三名射箭運動員在某次測試中各射箭20次，三人的測試成績?nèi)缦卤恚簊1、s2、s3分別表示甲、乙、丙三名運動員這次測試成績的標(biāo)準(zhǔn)差，則有()As3s1s2 Bs2s1s3Cs1s2s3 Ds2s3s1答案B解析甲8.5，s1.25，乙8.5，s1.45，丙8.5，s1.05，由sss得s2s1s3.故選B.考點四 數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的應(yīng)用例4一次科技知識競賽，兩組學(xué)生成績?nèi)缦卤恚阂呀?jīng)計算得到兩個組成績的平均數(shù)都是80分，請根據(jù)你所學(xué)過的統(tǒng)計知識，進(jìn)一步判斷這兩個組在這次競賽中的成績誰優(yōu)誰次，并說明理由分析優(yōu)次之分的標(biāo)準(zhǔn)是通過數(shù)據(jù)的各數(shù)字特征來反映解(1)甲組成績的眾數(shù)為90分，乙組成績的眾數(shù)為70分，從成績的眾數(shù)比較看，甲組的成績好一些；(2)s2(5080)25(6080)210(7080)213(8080)214(9080)26(10080)2172(分2)s(4900440016100201210012400)256(分2)因為ss，所以甲組的成績比乙組的成績好(3)甲、乙兩組成績的中位數(shù)、平均數(shù)都是80分，其中，甲組成績在80分以上(含80分)的有33人，乙組成績在80分以上(含80分)的有26人，從這一角度來看，甲組的成績總體較好(4)從成績統(tǒng)計表來看，甲組的成績高于90分(含90分)的人數(shù)為14620(人)，乙組的成績高于90分(含90分)的人數(shù)為121224(人)，所以乙組成績集中在高分段的人數(shù)多，同時乙組得滿分的比甲組得滿分的多6人，從這一角度來看，乙組的成績較好類題通法用數(shù)據(jù)的數(shù)字特征來反映該組數(shù)據(jù)的特點，本例就是從眾數(shù)、中位數(shù)、方差、高分段以及滿分的人數(shù)等數(shù)字特征全方位進(jìn)行綜合分析、比較，并作出判斷.有一組數(shù)據(jù)：x1，x2，xn(x1x2xn)的算術(shù)平均值為10，若去掉其中最大的一個，余下數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值為9，若去掉其中最小的一個，余下數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值為11.(1)求出第一個數(shù)x1關(guān)于n的表達(dá)式及第n個數(shù)xn關(guān)于n的表達(dá)式；(2)若x1，x2，xn都是正整數(shù)，試求第n個數(shù)xn的最大值，并舉出滿足題目要求且xn取到最大值的一組數(shù)據(jù)解(1)依條件得由得xnn9.又由得x111n.(2)由于x1是正整數(shù)故x111n11n10，故xnn919.當(dāng)n10時，x11，x1019，x2x3x980.此時，x26，x37，x48，x59，x611，x712，x813，x914.例(12分)某酒廠有甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)同一種型號的白酒，產(chǎn)品在自動傳輸帶上包裝傳送，每15分鐘抽一瓶測定其質(zhì)量是否合格，分別記錄抽查的數(shù)據(jù)如下(單位：毫升)：甲生產(chǎn)線：508,504,496,510,492,496乙生產(chǎn)線：515,520,480,485,497,503問：(1)這種抽樣是何種抽樣方法？(2)分別計算甲、乙兩條生產(chǎn)線的平均值與標(biāo)準(zhǔn)差，并說明哪條生產(chǎn)線的產(chǎn)品較穩(wěn)定(一)精妙思路點撥(二)分層規(guī)范細(xì)解(1)根據(jù)題意知，抽樣是每15分鐘抽一瓶，是等距抽樣，所以這種抽樣是系統(tǒng)抽樣.4分(2)根據(jù)已知抽樣數(shù)據(jù)可計算：甲(508504496510492496)，6分s(508501)2(504501)2(496501)2(510501)2(492501)2(496501)2，s甲36.708.8分乙(515520480485497503)，s(515500)2(520500)2(480500)2(485500)2(497500)2(503500)210分s乙14.536.s甲s乙，.12分(三)來自一線的報告通過閱卷后分析，對解答本題的失分警示和解題啟示總結(jié)如下：(注：此處的見分層規(guī)范細(xì)解過程)(四)類題練筆掌握從甲、乙兩種玉米苗中各抽10株，分別測得它們的株高如下(單位：cm)：甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40.問：(1)哪種玉米的苗長得高？(2)哪種玉米的苗長得齊？解(1)甲(25414037221419392142)30030(cm)，乙(27164427441640401640)31031(cm)，甲乙，乙種玉米的苗長得高(2)s(2530)2(4130)2(4030)2(3730)2(2230)2(1430)2(1930)2(3930)2(2130)2(4230)21042104.2(cm2)，s(2731)22(1631)23(4431)22(4031)231288128.8(cm2)ss，甲種玉米的苗長得齊(五)解題設(shè)問(1)本題中樣本數(shù)據(jù)的個數(shù)是多少？_.(2)需用樣本數(shù)據(jù)的哪些數(shù)字特征？需要求出樣本數(shù)據(jù)的_，用來衡量玉米的高度；求出樣本數(shù)據(jù)的_(或_)用來衡量玉米長得是否齊答案(1)有10個(2)平均數(shù)方差標(biāo)準(zhǔn)差1已知某班8名學(xué)生的身高(單位：m)分別為：1.74,1.68,1.72,1.80,1.64,1.69,1.75,1.82，則這8名學(xué)生的平均身高為()A1.60 m B1.82 mC1.73 m D1.64 m答案C解析求平均數(shù)2在一次歌手大獎賽上，七位評委為某歌手打出的分?jǐn)?shù)如下：948.49.49.99.69.49.7去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為()A9.40.484 B9.40.016C9.50.04 D9.50.016答案D解析去掉最高分9.9和最低分8.4，余下的數(shù)為9.4,9.4,9.6,9.4,9.7，其平均數(shù)9.5，s2(0.120.120.120.120.22)0.016.3某學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)測驗中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，則該小組成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是()A85、85、85 B87、85、86C87、85、85 D87、85、90答案C4已知總體的各個體的值由小到大依次為2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且總體的中位數(shù)為10.5，若要使該總體的方差最小，則a，b的取值分別是_答案a10.5，b10.5解析依題意及中位數(shù)定義可知：a10.5，b10.5.5甲、乙兩臺機(jī)床在相同的技術(shù)條件下，同時生產(chǎn)一種零件，現(xiàn)在從中抽測10個，它們的尺寸(單位：mm)分別如下甲：10.2,10.1,10,9.8,9.9,10.3,9.7,10,9.