13 層次分析模型.doc

RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51 n1234567891110三 成次分析模型 層過將復雜問題分解為若干層次和若干因素，在各因素之間進行簡單的比較和計算，就次分析法（簡稱AHP方法)，是一種定性與定量相結合的決策分析方法。它是一種將決策者對復雜系統(tǒng)的決策思維過程模型化、數量化的過程。應用這種方法，決策者通可以得出不同方案的權重，為最佳方案的選擇提供依據。這種方法的特點是： （1)思路簡單明瞭，它將決策者的思維過程條理化、數量化，便于計算，容被人們所接受。 （2)所需要的定量數據較少，但對問題的本質，包含的因素及其內在關系分析得清楚。（3)可用于復雜的非結構化的問題，以及多目標、多準則、多時段等各種類型問題的決策分析，具有較廣泛的實用性。3.1 基本原理 層次分析法的基本原理可以用以下的簡單事例分析來說明。假設有n個物體A1，A2，An，它們的重量分別記為W1，W2，Wn?，F(xiàn)將每個物體的重量兩兩進行比較如下：若以矩陣來表示各物體的這種相互重量關系，即 （1)式中，A稱為判斷矩陣。若取重量向量W=W1，W2，WnT，則有： AW=nW （2)這就是說，W是判斷矩陣A的特征向量，n是A的一個特征值。事實上，根據線性代數知識，我們不難證明，n是矩陣A的唯一非零的，也是最大的特征值，而W為其所對應的特征向量。 上述事實提示我們，如果有一組物體，需要知道它們的重量，而又沒有衡器，那么我們就可以通過兩兩比較它們的相互重量，得出每對物體重量比的判斷，從而構成判斷矩陣；然后通過求解判斷矩陣的最大特征值max和它所對應的特征向量，就可以得出這一組物體的相對重量。根據這一思路，在地理科學研究中，在地理方面的應用對于一些無法測量的因素，只要引入合理的標度，我們也可以用這種方法來度量各因素之間的相對重要性，從而為有關決策提供依據。上述思路就是層次分析法的基本原理。3.2基本步驟層次分析方法的基本過程，大體可以分為如下六個基本步驟： （1)明確問題。即弄清問題的范圍，所包含的因素，各因素之間的關系等，以便盡量掌握充分的信息。 （2)建立層次結構。在這一個步驟中，要求將問題所含的因素進行分組，把每一組作為一個層次，按照最高層（目標層)、若干中間層（準則層)以及最低層（措施層)的形式排列起來。這種層次結構常用結構圖來表示（見圖6-1)，圖中要標明上下層元素之間的關系。如果某一個元素與下一層的所有元素均有聯(lián)系，則稱這個元素與下一層次存在有完全層次的關系；如果某一個元素只與下一層的部分元素有聯(lián)系，則稱這個元素與下一層次存在有不完全層次關系。層次之間可以建立子層次，子層次從屬于主層次中的某一個元素，它的元素與下一層的元素有聯(lián)系，但不形成獨立層次。 （3)構造判斷矩陣。這一個步驟是層次分析法的一個關鍵步驟。判斷矩陣表示針對上一層次中的某元素而言，評定該層次中各有關元素相對重要性的狀況，其形式如下： 其中，bij表示對于Ak而言，元素Bi對Bj的相對重要性的判斷值。bij一般取1，3，5，7，9等5個等級標度，其意義為：1表示Bi與Bj同等重要；3表示Bi較Bj重要一點；5表示Bi較Bj重要得多；7表示Bi較Bj更重要；9表示Bi較Bj極端重要。而2，4，6，8表示相鄰判斷的中值，當5個等級不夠用時，可以使用這幾個值。顯然，對于任何判斷矩陣都應滿足 因此，在構造判斷矩陣時，只需寫出上三角（或下三角)部分即可。一般而言，判斷矩陣的數值是根據數據資料、專家意見和分析者的認識，加以平衡后給出的。衡量判斷矩陣質量的標準是矩陣中的判斷是否具有一致性。如果判斷矩陣存在關系： 則稱它具有完全一致性。但是，因客觀事物的復雜性和人們認識上的多樣性，可能會產生片面性，因此要求每一個判斷矩陣都有完全的一致性顯然是不可能的，特別是因素多、規(guī)模大的問題更是如此。為了考察層次分析法得到的結果是否基本合理，需要對判斷矩陣進行一致性檢驗。 （4)層次單排序。層次單排序的目的是對于上層次中的某元素而言，確定本層次與之有聯(lián)系的元素重要性次序的權重值。它是本層次所有元素對上一層次而言的重要性排序的基礎。 層次單排序的任務可以歸結為計算判斷矩陣的特征根和特征向量問題，即對于判斷矩陣B，計算滿足：BW=maxW （5)的特征根和特征向量。（5)式中，max為B的最大特征根，W為對應于max的正規(guī)化特征向量，W的分量Wi就是對應元素單排序的權重值。通過前面的分析，我們知道，當判斷矩陣B具有完全一致性時，max=n。但是，在一般情況下是不可能的。為了檢驗判斷矩陣的一致性，需要計算它的一致性指標一致性指標： （6） （6)式中，當CI=0時，判斷矩陣具有完全一致性；反之，CI愈大，則判斷矩陣的一致性就愈差。為了檢驗判斷矩陣是否具有令人滿意的一致性，則需要將CI與平均隨機一致性指標RI（見表6-1)進行比較。一般而言，1或2階判斷矩陣總是具有完全一致性的。對于2階以上的判斷矩陣，其一致性指標CI與同階的平均隨機一致性指標RI之比，稱為判斷矩陣的隨機一致性比例，記為CR。一般地，當 時，我們就認為判斷矩陣具有令人滿意的一致性；否則，當CR0.1時，就需要調整判斷矩陣，直到滿意為止。表1 平均隨機一致性指標 （5)層次總排序。利用同一層次中所有層次單排序的結果，就可以計算針對上一層次而言的本層次所有元素的重要性權重值，這就稱為層次總排序。層次總排序需要從上到下逐層順序進行。對于最高層，其層次單排序就是其總排序。若上一層次所有元素A1，A2，Am的層次總排序已經完成，得到的權重值分別為a1，a2，am與aj對應的本層次元素B1，B2，Bn的層次單排序結果為（這里，當與無聯(lián)系時，=0）那么，得到的層次總排序見表2。表2 層次總排序表顯然，即層次總排序為歸一化的正規(guī)向量。（6)一致性檢驗。為了評價層次總排序的計算結果的一致性，類似于層次單排序，也需要進行一致性檢驗。為此，需要分別計算下列指標：在（9)式中，CI為層次總排序的一致性指標，CIj為與aj對應的B層次中判斷矩陣的一致性指標；在（10)式中，RI為層次總排序的隨機一致性指標，RIj為與aj對應的B層次中判斷矩陣的隨機一致性指標；在（11)式中，CR為層次總排序的隨機一致性比例。同樣，當CR0.10時，則認為層次總排序的計算結果具有令人滿意的一致性；否則，就需要對本層次的各判斷矩陣進行調整，從而使層次總排序具有令人滿意的一致性。3.3計算方法 通過前面的介紹，我們知道，在層次分析方法中，最根本的計算任務是求解判斷矩陣的最大特征根及其所對應的特征向量。這些問題當然可以用線性代數知識去求解，并且能夠利用計算機求得任意高精度的結果。但事實上，在層次分析法中，判斷矩陣的最大特征根及其對應的特征向量的計算，并不需要追求太高的精度。這是因為判斷矩陣本身就是將定性問題定量化的結果，允許存在一定的誤差范圍。因此，我們常常用如下的兩種近似算法求解判斷矩陣的最大特征根及其所對應的特征向量。（一)方根法這一方法的計算步驟如下：（1)計算判斷矩陣每一行元素的乘積（2)計算Mi的n次方根（3）將向量歸一化則W=W1，W2，WnT即為所求的特征向量。（4)計算最大特征根（12)式中，（AW)i表示向量AW的第i個分量。（二)和積法這一方法的計算步驟如下：（1)將判斷矩陣每一列歸一化：（2)對按列歸一化的判斷矩陣，再按行求和：（3）將向量歸一化：則：W=W1，W2，WnT即為所求的特征向量。（4)計算最大特征根：（19)式中，（AW)i同樣表示向量AW中的第i個分量。3.4 模型舉例這里舉蘭州市主導產業(yè)決策分析為例地處甘肅省中部、黃河上游的蘭州市，是甘肅省的省會，全省政治、經濟、文化、醫(yī)療衛(wèi)生、教育和科技中心。蘭州經濟的發(fā)展，無疑在全省、乃至全國占有著十分重要的地位。在改革開放深入發(fā)展的今天，如何抓住時機，發(fā)揮地區(qū)優(yōu)勢，促進蘭州經濟的全面發(fā)展，是擺在省、市各級領導面前的一項急待解決的重大決策問題。為了解決這一問題，必須以市場為導向，結合本市的自然、經濟、社會和技術條件，綜合各種有利和不利因素，選擇一批能發(fā)揮地區(qū)優(yōu)勢，具有較高效益的主導產業(yè)，從而帶動全市經濟的騰飛。下面，我們用層次分析方法，對蘭州市主導產業(yè)的選擇問題作一些初步分析，以供決策者參考。（一)模型層次結構1.目標層（A)：選擇帶動蘭州市經濟全面發(fā)展的主導產業(yè)。2.準則層（C)包括如下三個方面：（1)C1：市場需求（包括市場需求現(xiàn)狀和遠景市場潛力)。（2)C2：效益準則（這里主要考慮產業(yè)的經濟效益)。（3)C3：發(fā)揮地區(qū)優(yōu)勢，合理利用資源。3.對象層（P)包括如下14個產業(yè)：（1)P1：能源工業(yè)（2)P2：交通運輸業(yè)（3)P3：冶金工業(yè)（4)P4：化工工業(yè)（5)P5：紡織工業(yè)（6)P6：建材工業(yè)（7)P7：建筑業(yè)（8)P8：機械工業(yè)（9)P9：食品加工業(yè)（10)P10：郵電通訊業(yè)（11)P11：電器、電子工業(yè)（12)P12：農業(yè)（13)P13：旅游業(yè)（14)P14：飲食服務上述目標層、準則層及對象層中各元素所構成的層次結構關系，如圖6-2所示。（二)計算過程1.構造判斷矩陣，進行層次單排序。根據上述模型結構，在專家咨詢的基礎上，我們構造了AC判斷矩陣、CP判斷矩陣，并進行了層次單排序計算，其結果分別如下：AC判斷矩陣：max=3.038 CI=0.019RI=0.58 CR=0.03280.10C1P判斷矩陣、C2P判斷矩陣、C3P判斷矩陣、2.層總排序，一致性檢驗根據以上層次單排序的結果，經過計算，可得對象層（P)的層次總排序（見表3)。（三)基本結論綜合上述計算過程，可以得出如下兩點基本結論：（1)從C層的排序結果來看，蘭州市主導產業(yè)選擇的準則應該是，首先考慮產業(yè)的效益（主要是經濟效益)；其次考慮市場需求和遠景市場潛力；第三考慮發(fā)揮地區(qū)優(yōu)勢和資源合理利用問題。max=15.65 CI=0.127RI=1.58CR=0.08040.10max=15.94 CI=0.149RI=1.58CR=0