第3章 機(jī)械能和功.doc

第3章 機(jī)械能和功 一、功1、功能的定義式：恒力的功：變力的功：2、保守力若某力所作的功僅取決于始末位置而與經(jīng)歷的路徑無關(guān)，則該力稱保守力?；驖M足下述關(guān)系的力稱保守力： 3、幾種常見的保守力的功：（1）重力的功：（2）萬有引力的功：（3）彈性力的功：4、功率 二、勢(shì)能保守力的功只取決于相對(duì)位置的改變而與路徑無關(guān)。由相對(duì)位置決定系統(tǒng)所具有的能量稱之為勢(shì)能。1、常見的勢(shì)能有（1）重力勢(shì)能 （2）萬有引力勢(shì)能 （3）彈性勢(shì)能 2、勢(shì)能與保守力的關(guān)系（1）保守力的功等于勢(shì)能的減少 （2）保守力為勢(shì)能函數(shù)的梯度負(fù)值。 （3）勢(shì)能曲線 勢(shì)能曲線能很直觀地表述一維運(yùn)動(dòng)的主要特征，如運(yùn)動(dòng)范圍，平衡位置，保守力隨位置的變化情況，動(dòng)能與勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)換等。三、動(dòng)能定理、功能原理、機(jī)械能守恒定律 功可分為：外力的功、保守內(nèi)力的功、和非保守內(nèi)力的功1、 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理：2、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理：3、功能原理：4、機(jī)械能守恒定律：，時(shí)，第3章 機(jī)械能和功 【例3-1】已知三種力如下：；。式中、為x、y方向的單位矢量，為速度方向的單位矢量，、K為常數(shù)。（1）分別計(jì)算這三種力沿任意路徑所作的功；（2）判斷哪是保守力，哪是非保守力； 【解】（1）根據(jù)題意及功的定義，處理、力作功取直角坐標(biāo)，處理力作功取自然坐標(biāo)，原點(diǎn)選在運(yùn)動(dòng)的開始點(diǎn)，則：（2）根據(jù)保守力的定義： （s為閉合路徑的長(zhǎng)度） 因此、為保守力，為非保守力?！纠?-2】輕彈簧AB的上端A固定，下端B懸掛質(zhì)量為的重物。已知彈簧原長(zhǎng)，勁度系數(shù)為，重物在O點(diǎn)達(dá)到平衡，此時(shí)彈簧伸長(zhǎng)了，如圖所示。取軸向下為正，且坐標(biāo)原點(diǎn)位于：（1）彈簧原長(zhǎng)位置；（2）力的平衡位置。若取原點(diǎn)為重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能的勢(shì)能零點(diǎn)，試分別計(jì)算重物在任一位置時(shí)系統(tǒng)的總勢(shì)能。【解】（1）以彈簧原長(zhǎng)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，系統(tǒng)總勢(shì)能 （2）若以重力與彈性力合力的平衡位置為原點(diǎn)，則有 任意位置x處的系統(tǒng)總勢(shì)能： 由此可知，以重力和彈性力合力的平衡位置為原點(diǎn)為勢(shì)能的零點(diǎn)，它的總勢(shì)能與只有彈性勢(shì)能的是等效的。這樣勢(shì)能零點(diǎn)的選取，應(yīng)用在實(shí)際問題中就方便多了。 這一結(jié)果還可以從另一方面來理解，重力和彈性力都是保守力，它的合力F也應(yīng)是保守力，現(xiàn)取重力和彈性力的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，則合力的大小 與單純只有彈性力一樣，因?yàn)樗目倓?shì)能就應(yīng) 【例3-3】雙原子分子的勢(shì)函數(shù)可表示為：式中a、b為正常數(shù)，這勢(shì)函數(shù)曲線可如題圖3-3a所示，如果雙原子分子的總能量為零。求：（1）雙原子之間的最小距離； （2）雙原子之間平衡位置的距離； （3）雙原子之間最大引力時(shí)的兩原子距離； （4）勢(shì)阱深度Ed: （5）畫出與勢(shì)能曲線相應(yīng)的原子之間的相互作用力曲線?！窘狻浚?）由題意雙原子的總能量為零，即 當(dāng)動(dòng)能時(shí)，為最大，兩原子之間有最小距離 解得： （2）平衡位置的條件為F=0。 又有勢(shì)函數(shù)與兩原子相互作用力的關(guān)系： 可得： （3）最大引力的條件為： 即： 此時(shí)兩原子相距：（4）將平衡位置兩原子之間的距離代入勢(shì)函數(shù)公式，可得勢(shì)阱深度： （5）分子之間相互作用的勢(shì)能曲線可用題圖3-3a表示，由保守力與勢(shì)能系數(shù)的關(guān)系： 可知，勢(shì)能曲線斜率的負(fù)值應(yīng)為保守力的大小。勢(shì)能曲線上極小植的位置處應(yīng)有： 也就是在位置處，保守力F為零。 在勢(shì)能曲線的拐點(diǎn)位置處應(yīng)有： 也就是保守力F的最小值的位置，由此可畫出圖3-3b的分子間相互作用力隨位置的關(guān)系曲線的大致情況了 【例3-4】在密度為的液面上方，懸掛一根長(zhǎng)為，密度為的均勻棒A B，棒的B端剛和液面接觸如題圖3-4a，今剪斷細(xì)繩，設(shè)細(xì)棒只在浮力和重力作用下運(yùn)動(dòng)，在的條件下，求細(xì)棒下落過程中的最大速度，以及細(xì)棒能潛入液體的最大深度H。 【解】現(xiàn)在只要求某一狀態(tài)的情況，采用功能原理解題比較方便。先求棒B端沉入液面處浮力F所作的功（設(shè)棒的橫截面積為s）：時(shí)：重力所作的功： 由動(dòng)能定理得： （1）要求細(xì)棒下沉最大的速度也是相當(dāng)于求細(xì)棒動(dòng)能的最大值，我們將上式對(duì)求導(dǎo)，并使等于零。 （2）解得 時(shí)細(xì)棒有最大動(dòng)能。將此式代入（1）式可得細(xì)棒最大速度。 即： 得：（2）式告訴我們，當(dāng)細(xì)棒的重力等于浮力時(shí)，棒在處已達(dá)到最大速度了，當(dāng)細(xì)棒繼續(xù)下沉?xí)r，向上的浮力大于重力，速度將不斷變小，當(dāng)棒沉到最深位置H處，棒的速度為零，也就是重力所作的功與浮力所作的功正好抵消的位置，我們可以列出方程：上式中我們應(yīng)注意到棒全部沒入液體已為恒力。解得：由此式可知棒要全部沒入液體中的條件為：，即：解得：，這也就是題目所規(guī)定的條件。（在或的情況，請(qǐng)讀者自己考慮。） 【例3-5】若在近似圓形軌道上運(yùn)行的衛(wèi)星受到塵埃的微弱空氣阻力的作用，設(shè)阻力與速度的大小成正比，比例系數(shù)為常數(shù)，即，試求質(zhì)量為的衛(wèi)星，開始在離地心（為地球半徑）隕落到地面所需的時(shí)間?！窘狻啃l(wèi)星運(yùn)行時(shí)間內(nèi)，阻力所作的功 （1）衛(wèi)星在運(yùn)行軌道處它的向心力是萬有引力提供的： （2）由此可得衛(wèi)星的動(dòng)能：而衛(wèi)星的勢(shì)能：可得衛(wèi)星在運(yùn)行軌道處的總機(jī)械能： （3）由功能原理將（2）式代入上式 （4）比較（1）、（4）式得：得 積分得： 第3章 機(jī)械能和功 3.1 如圖所示，一質(zhì)點(diǎn)在幾個(gè)力作用下沿半徑的圓周運(yùn)動(dòng)，其中有一恒力，求質(zhì)點(diǎn)從A開始沿逆時(shí)針方向經(jīng)圓周到達(dá)B的過程中，力所做的功。3.2 質(zhì)量為m的小球系于繩的一端，繩長(zhǎng)為，上端A固定，如圖所示。今設(shè)水平變力作用在該小球上，使小球極其緩慢地移動(dòng)，即在所有位置上均近似處于力平衡狀態(tài)，直到繩子與豎直方向成角，（1）試用變力作功方法計(jì)算力力的功；（2）計(jì)算重力所做的功。3.5 一質(zhì)點(diǎn)在外力（試中為常量）作用下由點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，如圖所示。（1）求在此過程中外力所做的功；（2）判斷外力是否為保守力? 3.6 地球質(zhì)量為M，半徑為R，一質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m，處于距地心處。求質(zhì)點(diǎn)地球系統(tǒng)在此相對(duì)位置時(shí)的引力勢(shì)能：（1）取無窮遠(yuǎn)處為勢(shì)能零點(diǎn)參考位置；（2）取地球表面為勢(shì)能零點(diǎn)參考位置。 3.8 一粒子沿x軸運(yùn)動(dòng)，其勢(shì)能的函數(shù)曲線如圖所示。若該粒子所具有的總能量，試分析：（1）該粒子的運(yùn)動(dòng)范圍；（2）粒子的平衡位置；（3）粒子在處的動(dòng)能；（4）粒子受到最大力的位置。3.12 在如圖所示裝置中，定滑輪高度為，重物質(zhì)量，拉力，方向豎直向下，若不計(jì)滑輪與軸承間摩擦和重物與地面間的摩擦，將重物自靜止開始從位置拉到位置時(shí)的速度。3.17 彈簧原長(zhǎng)正好等于圓環(huán)半徑R，彈簧下懸掛一質(zhì)量為m的重環(huán)，當(dāng)彈簧的總長(zhǎng)時(shí)重環(huán)正好達(dá)到平衡狀態(tài)?，F(xiàn)將彈簧的一端系于豎直放置的圓環(huán)上端A點(diǎn)，將重環(huán)套在光滑圓環(huán)上，AB長(zhǎng)為，重環(huán)在B點(diǎn)由靜止釋放沿圓環(huán)滑動(dòng)，如圖所示。試求：重環(huán)滑到最低點(diǎn)C處時(shí)的加速度以及對(duì)圓環(huán)的壓力。3.19 質(zhì)量為m的衛(wèi)星，沿圓軌道繞地球運(yùn)行。地球的質(zhì)量為M，半徑為R，試求：（1）要使衛(wèi)星進(jìn)入的圓軌道，其發(fā)射速度至少應(yīng)多大?（2）要使衛(wèi)星飛離地球至無窮遠(yuǎn)處，至少應(yīng)做多少功?3.20 在一半徑為的星球表面（無大氣層），若以的速度豎直上拋一物體，則該物體上升的最大高度為，試問：該星球的逃逸速度（即脫離該星球的最小速度）為多大?3.22 如圖所示，一質(zhì)量為m，長(zhǎng)為的柔索放在桌面上，柔索跨過輕滑輪下垂，其問摩擦不計(jì)，柔索與桌面間的摩擦系數(shù)為。（1）求下垂長(zhǎng)度至少為多長(zhǎng)時(shí)，柔索開始下滑？（2）計(jì)算柔索全部離開桌面時(shí)的速度。第3章 機(jī)械能和功 答案 3.1 3.2（1）； （2） 3.5 3.6（1）； （2） 3.8（1） （2） （3） （4） 3.12 3.17 ， 3.19（1）；（2） 3.22（