常微分方程考研講義第四章 高階微分方程.docx

第四章 高階微分方程教學(xué)目標(biāo)1. 理解高階線性微分方程的一般理論，n階齊次（非齊次）線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)，熟練掌握n階常系數(shù)齊次線性微分方程的待定指數(shù)函數(shù)解法。2. 掌握n階非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法，理解n階常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的待定系數(shù)法和Laplce變換法。 3. 熟練歐拉方程與高階方程的降階法和冪級數(shù)解法。4. 掌握高階方程的應(yīng)用。教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn)是線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)，高階方程的各種解法。難點(diǎn)是待定系數(shù)法求特解。 教學(xué)方法 講授，實(shí)踐。教學(xué)時(shí)間 16學(xué)時(shí)教學(xué)內(nèi)容 線性微分方程的一般理論，齊次（非齊次）線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)，非齊次線性微分方程的常數(shù)變量易法；常系數(shù)線性方程與歐拉方程的解法，非齊線性方程的比較系數(shù)法與拉氏變換法；高階方程的降階法和冪級數(shù)解法及高階方程的應(yīng)用。 考核目標(biāo) 1.理解高階線性微分方程的一般理論，能夠求解高階常系數(shù)線性微分方程。2.掌握n階非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法。3.n階常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的待定系數(shù)法和Laplce變換法。4.熟練高階方程的降階法和冪級數(shù)解法及高階方程的應(yīng)用。 4.1線性微分方程的一般理論4.1.1引言 討論階線性微分方程 （4.1）其中及都是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)如果，則方程（4.1）變?yōu)椋?（4.2）稱它為階齊線性微分方程，而稱一般的方程（4.1）為階非齊線性微分方程，并且通常把方程（4.2）叫對應(yīng)于方程（4.1）的齊線性方程。定理1 如果及都是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，則對于任一 ，方程（4.1）存在唯一解，定義于區(qū)間上，且滿足初始條件： （4.3）從這個(gè)定理可以看出，初始條件唯一地確定了方程（4.1）的解，而且這個(gè)解在所有及連續(xù)的整個(gè)區(qū)間上有定義。4.1.2 齊線性方程的解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu) 討論齊線性方程 （4.2）定理2（疊加原理）如果是方程（4.2）的個(gè)解，則它們的線性組合也是（4.2）的解，這里是任意常數(shù)。特別地，當(dāng)時(shí)，即方程（4.2）有解 （4.4）它含有個(gè)任意常數(shù)。在什么條件下，表達(dá)式（4.4）能夠成為階齊線性方程（4.2）的通解？為了討論的需要，引進(jìn)函數(shù)線性相關(guān)與線性無關(guān)及伏朗斯基行列式等概念。設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，如果存在不全為零的常數(shù)，使得恒等式 對于所有都成立，稱這些函數(shù)是線性相關(guān)的，否則稱這些函數(shù)在所給區(qū)間上線性無關(guān),即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),上述恒等式才成立, 稱這些函數(shù)在所給區(qū)間上線性無關(guān)。 由此定義不難推出如下的兩個(gè)結(jié)論：1)在函數(shù)組中如果有一個(gè)函數(shù)為零，則在上線性相關(guān).2)如果兩個(gè)函數(shù)之比在有定義，則它們在上線性無關(guān)等價(jià)于比式在上不恒等于常數(shù).例1函數(shù)組在任意區(qū)間上都是線性無關(guān)的.解 比式=不恒等于常數(shù)在任意區(qū)間上成立：例2函數(shù)組在區(qū)間上線性相關(guān).解 若取則故已知函數(shù)組在上線性相關(guān).設(shè)函數(shù)在區(qū)間上均有階導(dǎo)數(shù),行列式 稱為這些函數(shù)的伏朗斯基行列式。定理3 若函數(shù)在區(qū)間上線性相關(guān)，則在上它們的伏朗斯基行列式。證明：由假設(shè)，即知存在一組不全為零的常數(shù)，使得 （4.6）依次對微分此恒等式，得到 （4.7）把（4.6）和（4.7）看成關(guān)于的齊次線性代數(shù)方程組，它的系數(shù)行列式就是，由線性代數(shù)的理論知道，要此方程組存在非零解，則它的系數(shù)行列式必須為零，即 。反之，其逆定理一般不成立。例如函數(shù) 和 在區(qū)間上，但在此區(qū)間上卻是線性無關(guān)的。因?yàn)椋僭O(shè)存在恒等式 （4.8）則當(dāng)時(shí)，可知；當(dāng)時(shí)，可知.即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，(4.8)式對一切成立.故是線性無關(guān)的.推論1 如果函數(shù)組的朗斯基行列式在區(qū)間上某一點(diǎn)處不等于零，即，則該函數(shù)組在上線性無關(guān).但是，如果是齊線性方程（4.2）的解，那么就有下面的定理：定理4 如果方程（4.2）的解在區(qū)間上線性無關(guān)，則在這個(gè)區(qū)間的任何點(diǎn)上都不等于零，即 。證明：采用反證法。設(shè)有某個(gè)，使得。考慮關(guān)于的齊次線性代數(shù)方程組 （4.9）其系數(shù)行列式，故（4.9）有非零解。現(xiàn)以這組常數(shù)構(gòu)造函數(shù) 根據(jù)疊加原理，是方程（4.2）的解。注意到（4.9），知道這個(gè)解滿足初始條件 （4.10）但是顯然也是方程（4.2）的滿足初始條件（4.10）的解。由解的唯一性，即知 ，即 因?yàn)椴蝗珵?，這就與線性無關(guān)的假設(shè)矛盾，定理得證。推論2 設(shè)是方程（4.2）定義在上的個(gè)解，如果存在，使得它的朗斯基行列式, 則該解組在上線性相關(guān).推論3 方程（4.2）的個(gè)解在其定義區(qū)間上線性無關(guān)的充要條件是，存在，使得它的朗斯基行列式.定理5 階齊線性方程（4.2）一定存在個(gè)線性無關(guān)的解。定理6（通解結(jié)構(gòu)定理） 如果是方程（4.2）的個(gè)線性無關(guān)的解，則方程（4.2）的通解可表為 （4.11）其中，是任意常數(shù)，且通解（4.11）包括了方程（4.2）的所有解。證明：由疊加原理知道（4.11）是（4.2）的解，它包含有個(gè)任意常數(shù)。這些常數(shù)是彼此獨(dú)立的。事實(shí)上， 因此，（4.11）為方程（4.2）的通解；現(xiàn)在，我們證明它包括不方程的所有解。由定理1，方程的解唯一地決定于初始條件，因此，只需證明：任給一初始條件 （4.12）能夠確定（4.11）中的常數(shù)的值，使（4.11）滿足（4.12）。現(xiàn)令（4.11）滿足條件（4.12），得到如下關(guān)于的線性代數(shù)方程組： （4.13）它的系數(shù)行列式就是，由定理4知。根據(jù)線性代數(shù)方程組的理論，方程（4.13）有唯一解。因此，只要表達(dá)式（4.11）中常數(shù)取為，則它就滿足條件（4.12），理得證。推論 方程（4.2）的線性無關(guān)解的最大個(gè)數(shù)等于。因此可得結(jié)論：階齊線性方程的所有解構(gòu)成一個(gè)維線性空間。 方程（4.2）的一組個(gè)線性無關(guān)解稱為方程的一個(gè)基本解組。4.1.3 非齊線性方程與常數(shù)變易法性質(zhì)1 如果是方程（4.1）的解，而是方程（4.2）的解，則也是方程（4.1）的解。性質(zhì)2 方程（4.1）的任意兩個(gè)解之差必為方程（4.2）的解。定理7 設(shè)為方程（4.2）的基本解組，而是方程（4.1）的某一解，則方程（4.1）的通解可表為 （4.14）其中為任意常數(shù)。而且這個(gè)通解（4.14）包括了方程（4.1）的所有解。證明：根據(jù)性質(zhì)1易知（4.14）是方程（4.1）的解，它包含有個(gè)任意常數(shù)，像定理6的證明過程一樣，不難證明這些常數(shù)是彼此獨(dú)立的，因此，它是方程（4.1）的通解?，F(xiàn)設(shè)是方程（4.1）的任一解，則由性質(zhì)2，是方程（4.2）的解，根據(jù)定理6，必有一組確定的常數(shù)，使得即 這就是說，方程（4.1）的任一解可以由（4.14）表出，其中為相應(yīng)的確定常數(shù)。由于的任意性，這就證明了通解式（4.14）包括方程（4.1）的所有解。設(shè)是方程（4.2）的基本解組，因而 （4.15）為（4.2）的通解。把其中的任意常數(shù)看作的待定函數(shù)，這時(shí)（4.15）變?yōu)?（4.16）將它代入方程（4.1），就得到必須滿足的一個(gè)方程，但待定函數(shù)有個(gè)，即，為了確定它們，必須再找出個(gè)限制條件，在理論上，這些另加的條件可以任意給出，其法無窮，當(dāng)然以運(yùn)算上簡便為宜，為此，我們將按下面的方法來給出這個(gè)條件。對微分等式（4.16）得 令 得到 對微分，并像上面一樣做法，令含有函數(shù)的部分等于零，我們又得到一個(gè)條件 和表達(dá)式 繼續(xù)上面做法，在最后一次我們得到第個(gè)條件 和表達(dá)式 最后，對微分得到 現(xiàn)將（4.16），代入（4.1），并注意到是（4.2）的解，得到 這樣，我們得到了含個(gè)未知函數(shù)的個(gè)方程，。題目組成一個(gè)線性代數(shù)方程組，其系數(shù)行列式就是，它不等于零，因而方程組的解可唯一確定，設(shè)求得 積分得 這里i是任意常數(shù)。將所得的表達(dá)式代入（4.16）即得方程（4.1）的解顯然，它并且是方程（4.1）的通解。為了得到方程的一個(gè)解，只需給常數(shù)以確定的值。例如，當(dāng)取時(shí)，即得解。 從這里可以看出，如果以知對應(yīng)的齊線性方程的基本解組，那么非齊線性方程的任一解可由求積得到。因此，對于線性方程來說，關(guān)鍵是求出齊線性方程的基本解組。例3 求方程的通解，以知它的對應(yīng)齊線性方程的基本解組為，。解：應(yīng)用常數(shù)變易法，令將它代入方程，則可得決定和的兩個(gè)方程：解得 由此 于是原方程的通解為其中，為任意常數(shù)。例4 求方程于域上的所有解。解：對應(yīng)的齊線性方程為容易直接積分求得它的基本解組。事實(shí)上，將方程改寫為積分即得。所以，這里，為任意常數(shù)。易見有基本解組1，。為應(yīng)用上面的結(jié)論，我們將方程改寫為并以代入，可得決定和的兩個(gè)方程及于是 故得原方程的通解為這里，為任意常數(shù)。根據(jù)定理7，它包括了方程的所有解。4.2 常系數(shù)線性方程的解法討論常系數(shù)線性方程的解法時(shí)，需要涉及實(shí)變量的復(fù)值函數(shù)及復(fù)指數(shù)函數(shù)的問題，我們在4.2.1中預(yù)先給以介紹。4.2.1 復(fù)值函數(shù)與復(fù)值解如果對于區(qū)間中的每一實(shí)數(shù)，有復(fù)數(shù)與它對應(yīng)，其中和是區(qū)間上定義的實(shí)函數(shù)，是虛數(shù)單位，我們就說在區(qū)間上給定了一個(gè)復(fù)值函數(shù)。如果實(shí)函數(shù)，當(dāng)趨于時(shí)有極限，我們就稱復(fù)值函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)有極限，并且定義如果，我們就稱在連續(xù)。顯然，在連續(xù)相當(dāng)于、在連續(xù)。當(dāng)在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)時(shí)，就稱在區(qū)間上連續(xù)。如果極限存在，就稱在有導(dǎo)數(shù)（可微）。且記此極限為或者。顯然在處有導(dǎo)數(shù)相當(dāng)于、在處有導(dǎo)數(shù)，且如果在區(qū)間上每點(diǎn)都有導(dǎo)數(shù)，就稱在區(qū)間上有導(dǎo)數(shù)。對于高階導(dǎo)數(shù)可以類似地定義。設(shè)是定義在上的可微函數(shù)，是復(fù)值常數(shù)，容易驗(yàn)證下列等式成立：在討論常系數(shù)線性方程時(shí)，函數(shù)將起著重要的作用，這里是復(fù)值常數(shù)，我們現(xiàn)在給出它的定義，并且討論它的簡單性質(zhì)。設(shè)是任一復(fù)數(shù)，這里是實(shí)數(shù)，而為實(shí)變量，我們定義有上述定義立即推得 并且用表示復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)。此外，還可容易證明函數(shù)具有下面的重要性質(zhì)：，其中為實(shí)變量由此可見，實(shí)變量的復(fù)值函數(shù)的求導(dǎo)公式與實(shí)變量的實(shí)值函數(shù)的求導(dǎo)公式完全類似，而復(fù)指數(shù)函數(shù)具有與實(shí)指數(shù)函數(shù)完全類似的性質(zhì)。現(xiàn)在我們引進(jìn)線性方程的復(fù)值解的定義。定義于區(qū)間上的實(shí)變量復(fù)值函數(shù)稱為方程（4.1）的復(fù)值解，如果對于恒成立。定理8 如果方程（4.2）中所有系數(shù)都是實(shí)值函數(shù)，而是方程的復(fù)值解，則的實(shí)部、虛部和共軛復(fù)值函數(shù)也都是方程（4.2）的解。定理9 若方程有復(fù)值解，這里及，都是實(shí)函數(shù)，那么這個(gè)解的實(shí)部和虛部分別是方程和 的解。4.2.2 常系數(shù)齊線性方程和歐拉方程 為了書寫上的方便引入下述符號： 并把稱為線性微分算子.把算子作用于函數(shù)上時(shí)，就是指對施加上式右端的微分運(yùn)算.關(guān)于算子有以下兩個(gè)性質(zhì)：1)常數(shù)因子可以提到算子符號外面：證明：實(shí)際上 = = =2)算子作用于兩個(gè)函數(shù)和的結(jié)果等于算子分別作用于各個(gè)函數(shù)的結(jié)果之和：證明： =+ = 設(shè)齊線性方程中所有系數(shù)都是常數(shù)，即方程有如下形狀 （4.19）其中為常數(shù),稱（4.19）為階常系數(shù)齊線性方程。它的求解問題可以歸結(jié)為代數(shù)方程求根問題，現(xiàn)在就來具體討論方程（4.19）的解法。按照4.1的一般理論，為了求方程（4.19）的通解，只需求出它的基本解組。下面介紹求（4.19）的基本解組的歐拉（Euler）待定指數(shù)函數(shù)法。回顧一階常系數(shù)齊線性方程我們知道它有形如的解，且它的通解就是。這啟示我們對于方程（4.19）也去試求指數(shù)函數(shù)形式的解 （4.20）其中是待定常數(shù)，可以是實(shí)的，也可以是復(fù)的。注意到 其中是的次多項(xiàng)式。易知，（4.20）為方程（4.19）的解的充要條件是：是代數(shù)方程 （4.21）的根。因此，方程（4.21）將起著預(yù)示方程（4.19）的解的特性的作用，我們稱它為方程（4.19）的特征方程，它的根就稱為特征根。下面根據(jù)特征根的不同情況分別進(jìn)行討論。1）特征根是單根的情形設(shè)是特征方程（4.21）的個(gè)彼此不相等的根，則相應(yīng)地方程（4.19）有如下個(gè)解： （4.22）我們指出這個(gè)解在區(qū)間上線性無關(guān)，從而組成方程的基本解組。事實(shí)上，這時(shí) = 由于假設(shè)（當(dāng)）。故此行列式不等于零，從而，于是解組（4.22）線性無關(guān)， 如果均為實(shí)數(shù)，則（4.22）是方程（4.19）的個(gè)線性無關(guān)的實(shí)值解，而方程（4.19）的通解可表示為其中為任意常數(shù)。如果特征方程有復(fù)根，則因方程的系數(shù)是實(shí)常數(shù)，復(fù)根將成對共軛地出現(xiàn)。設(shè)是一特征根，則也是特征根，因而與這對共軛復(fù)根對應(yīng)的，方程（4.19）有兩個(gè)復(fù)值解根據(jù)定理8，它們的實(shí)部和虛部也是方程的解。這樣一來，對應(yīng)于特征方程的一對共軛復(fù)根，我們可求得方程（4.19）的兩個(gè)實(shí)值解： 2）特征根有重根的情形設(shè)特征方程有重根，則如所周知 先設(shè)，即特征方程有因子，于是也就是特征方程的形狀為而對應(yīng)的方程（4.19）變?yōu)橐滓娝袀€(gè)解，而且它們是線性無關(guān)的（見4.1.2）。這樣一來，特征方程的重零根就對應(yīng)于方程（4.19）的個(gè)線性無關(guān)解。如果這個(gè)重根，我們作變量變換，注意到可得 于是方程（4.19）化為 （4.23）其中仍為常數(shù)，而相應(yīng)的特征方程為 （4.24）直接計(jì)算易得因此 從而 ，可見（4.21）的根對應(yīng)于（4.24）的根，而且重?cái)?shù)相同。這樣，問題就化為前面已經(jīng)討論過的情形了。方程（4.24）的重根對應(yīng)于方程（4.23）的個(gè)解，因而對應(yīng)于特征方程（4.21）的重根，方程（4.19）有個(gè)解： （4.25）同樣，假設(shè)特征方程（4.21）的其他根的重?cái)?shù)依次為；（單根相當(dāng)于），而且，（當(dāng)），則方程（4.19）對應(yīng)的有解： （4.26）還可以證明（4.25）和（4.26）的全部個(gè)解線性無關(guān)，從而構(gòu)成方程（4.19）的基本解組。對于特征方程有復(fù)重根的情況，譬如假設(shè)是重特征根，則也是重特征根，仿1）一樣處理，我們將得到方程（4.19）的個(gè)實(shí)值解： 例1 求方程的通解； 解 特征方程的根為，。有兩個(gè)實(shí)根和兩個(gè)復(fù)根，均是單根，故方程的通解為這里是任意常數(shù)。例2 求解方程。解 特征方程有根，因此，通解為其中為任意常數(shù)。例3 求方程的通解。解 特征方程，或，即是三重根，因此方程的通解具有形狀 其中為任意常數(shù)。例4 求解方程。解 特征方程為，或，即特征根是重根。因此，方程有四個(gè)實(shí)值解 ，故通解為 其中為任意常數(shù)。形狀為 （4.29）的方程稱為歐拉方程，這里為常數(shù)。此方程可以通過變量變換化為常系數(shù)齊線性方程，因而求解問題也就可以解決。事實(shí)上，引進(jìn)自變量的變換，直接計(jì)算得到用數(shù)學(xué)歸納法不難證明：對一切自然數(shù)均有關(guān)系式其中都是常數(shù)。于是將上述關(guān)系式代入方程（4.29），就得到常系數(shù)齊線性方程 （4.30）其中是常數(shù)，因而可用上述討論的方法求出（4.30）的通解，再代回原來的變量（注意：）就可求得方程（4.29）的通解。由上述推演過程，我們知道方程（4.30）有形如的解，從而方程（4.29）有形如的解，因此可以直接求歐拉方程的形如的解。以代入（4.29）并約去因子，就得到確定的代數(shù)方程 （4.31）可以證明這正是（4.30）的特征方程。因此，方程（4.31）的重實(shí)根，對應(yīng)于方程（4.29）的個(gè)解而方程（4.31）的重復(fù)根，對應(yīng)于方程（4.29）的個(gè)實(shí)值解 例5 求解方程。解 尋找方程的形式解，得到確定的方程，或，。因此，方程的通解為其中是任意常數(shù)。例6 求解方程。解 設(shè)，得到應(yīng)滿足的方程或，因此，而方程的通解為 其中是任意常數(shù)。4.2.3 非齊線性方程比較系數(shù)法與拉普拉斯變換法現(xiàn)在討論常系數(shù)非齊線性方程 （4.32）的求解問題，這里是常數(shù)，而為連續(xù)函數(shù)。（一）比較系數(shù)法類型設(shè)，其中及為實(shí)常數(shù)，那么方程（4.32）有形如 （4.33）的特解，其中為特征方程的根的重?cái)?shù)（單根相當(dāng)于；當(dāng)不是特征根時(shí)，取），而是待定的常數(shù)，可以通過比較系數(shù)來確定。（1）如果，則此時(shí)現(xiàn)在再分兩種情形討論。1）在不是特征根的情形，即，因而，這時(shí)，取，以代入方程（4.32），并比較的同次冪的系數(shù)，得到常數(shù)必須滿足的方程： （4.34）注意到，這些待定常數(shù)可以從方程組（4.34）唯一地逐個(gè)確定出來。2）在是重特征根的情形，即，而，也就是，。這時(shí)響應(yīng)地，方程（4.32）將為 （4.35）令，則方程（4.35）化為 （4.36）對方程（4.36）來說，由于，已不是它的特征根。因此，由（1）知它有形如的特解，因而方程（4.35）有特解滿足：這表明是的次多項(xiàng)式，其中的冪次的項(xiàng)帶有任意常數(shù)。但因我們只需要知道一個(gè)特解就夠了。我們特別地取這些任意常數(shù)均為零，于是我們得到方程（4.35）（或方程（4.32）的一個(gè)特解這里是已確定了的常數(shù)。（2）如果，則此時(shí)可像4.2.2做法一樣，作變量變換，將方程（4.32）化為 （4.37）其中都是常數(shù)。而且特征方程（4.21）的根對應(yīng)于方程（4.37）的特征方程的零根，并且重?cái)?shù)也相同。因此，利用上面的結(jié)果就有如下結(jié)論：在不是特征方程（4.21）的根的情形，方程（4.37）有特解，從而方程（4.32）有特解；在是特征方程（4.21）的重根的情形，方程（4.37）有特解，從而方程（4.32）有特解。例7 求方程的通解。解 先求對應(yīng)的齊線性方程的通解。這里特征方程有兩個(gè)根，。因此，通解為，其中是任意常數(shù)。再求非齊線性方程的一個(gè)特解。這里，。又因?yàn)椴皇翘卣鞲?，故可取特解形如，其中，為待定常?shù)。為了確定，將代入原方程，得到比較系數(shù)得由此得，從而，因此，原方程的通解為其中是任意常數(shù)。例8 求方程的通解。解 從上例知道對應(yīng)的齊線性方程的通解為其中是任意常數(shù)。現(xiàn)求原方程的一個(gè)特解。這里，因?yàn)閯偤檬翘卣鞣匠痰膯胃?，故有特解形如，將它代入原方程得到，從而，于是，而原方程的通解為其中是任意常?shù)。例9 求的通解。解特征方程有三重根，故有形狀為的特解，將它代入方程得比較系數(shù)求得，。從而。故方程的通解為其中是任意常數(shù).類型設(shè)，其中，為常數(shù)，而，是帶實(shí)系數(shù)的的多項(xiàng)式，其中一個(gè)的次數(shù)為，而另一個(gè)的次數(shù)不超過，那么我們有如下結(jié)論：方程（4.32）有形如 (4.38)的特解，這里為特征方程的根的重?cái)?shù)，而，均為待定的帶實(shí)系數(shù)的次數(shù)不高于的的多項(xiàng)式，可以通過比較系數(shù)的方法來確定。事實(shí)上，回顧一下類型的討論過程，易見當(dāng)不是實(shí)數(shù)，而是復(fù)數(shù)時(shí)，有關(guān)結(jié)論仍然正確?，F(xiàn)將表為指數(shù)形式根據(jù)非齊線性方程的疊加原理（見習(xí)題4.1）方程與的解之和必為方程（4.32）的解。注意到，易知，若為的解，則必為的解。因此，直接利用類型的結(jié)果，可知方程（4.32）有解形如其中為的次多項(xiàng)式，而，。顯然，為帶實(shí)系數(shù)的的多項(xiàng)式，其次數(shù)不高于，可見上述結(jié)論成立。例10 求方程的通解。解 特征方程有重根，因此，對應(yīng)齊線性方程的通解為其中為任意常數(shù)?，F(xiàn)求非齊線性方程的一個(gè)特解。因?yàn)椴皇翘卣鞲?，我們求形如的特解，將它代入原方程并化簡得到比較同類項(xiàng)系數(shù)得，從而，因此原方程的通解為附注：類型的特殊情形或可用另一更簡便的方法所謂復(fù)數(shù)法求解。下面用例子具體說明解題過程。例11 用復(fù)數(shù)法解例10。解 由例10已知對應(yīng)齊線性方程的通解為為求非齊線性方程的一個(gè)特解，我們先求方程的特解。這屬于類型，而不是特征根，故可設(shè)特解為將它代入方程并消去因子得，因而。，分出它的實(shí)部，根據(jù)定理9這就是原方程的特解，于是原方程的通解為與例10所得結(jié)果相同。（二）拉普拉斯變換法常系數(shù)線性微分方程（組）還可以應(yīng)用拉普拉斯變換法進(jìn)行求解，這往往比較簡便。由積分所定義的確定與復(fù)平面（）上的復(fù)變數(shù)的函數(shù)，稱為函數(shù)的拉普拉斯變換，其中于有定義，且滿足不等式這里，為某兩個(gè)正常數(shù)。我們將稱為原函數(shù)，而稱為象函數(shù)。這里我們簡單地介紹拉普拉斯變換在解常系數(shù)線性方程中的應(yīng)用。設(shè)給定微分方程 （4.32）及初始條件，其中是常數(shù)，而連續(xù)且滿足原函數(shù)的條件?？梢宰C明，如果是方程（4.32）的任意解，則及其各階導(dǎo)數(shù)均是原函數(shù)。記那么，按原函數(shù)微分性質(zhì)有 于是，對方程（4.32）兩端施行拉普拉斯變換，并利用線性性質(zhì)就得到即或 其中，和都是已知多項(xiàng)式，由此這就是方程（4.32）的滿足所給初始條件的解的象函數(shù)。而可直接查拉普拉斯變換表或由反變換公式計(jì)算求得。例12 求方程滿足初始條件的解。解 對方程兩端實(shí)行拉普拉斯變換，得到方程的解的象函數(shù)所應(yīng)滿足的方程：由此，并注意到，得直接查拉普拉斯變換表，可得和的原函數(shù)分別為和。因此，利用線性性質(zhì)，就求得的原函數(shù)為這就是所要求的解。例13 求解方程，。解 先令，將問題化為，再對新方程兩邊作拉普拉斯變換，得到因此 查拉普拉斯變換表可得從而 這就是所要求的解。例14 求方程的滿足初始條件的解。解 對方程兩邊施行拉普拉斯變換得由此得 把上式右端分解成部分分式對上式右端各項(xiàng)分別求出（查表）其原函數(shù)，則它們的和就是的原函數(shù)這就是所要求的解。例15 求解方程；，其中，為非零常數(shù)。解 對方程實(shí)行拉普拉斯變換，得到即 把上式右端第一項(xiàng)分解為部分分式：于是由拉普拉斯變換表可求得此即為所要求的解。4.2.4 質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)（1）無阻尼自由振動(dòng)考察數(shù)學(xué)擺的無阻尼微小自由振動(dòng)方程 記，這里是常數(shù)，方程變?yōu)?（4.39）這是二階常系數(shù)齊線性方程，它的特征方程為特征根為共軛復(fù)根因此，方程（4.39）的通解為 （4.40）其中為常數(shù)。為了獲得明顯的物理意義，令，因此，若取，則（4.40）可以寫成即 （4.41）這里，代替了作為通解中所含的兩個(gè)任意常數(shù)。從通解（4.41）可以看出，不論反映擺的初始狀態(tài)的與為何值，擺的運(yùn)動(dòng)總是一個(gè)正弦函數(shù)，它是的周期函數(shù)（參看圖（4.1）。這種運(yùn)動(dòng)稱為簡諧振動(dòng)。振動(dòng)往返一次所需時(shí)間稱為周期，記為，這里；單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)稱為頻率，記作，這里；而稱為圓頻率。從而得出結(jié)論：數(shù)學(xué)擺的周期只依賴于擺長，而與初值無關(guān)。圖（4.1）此外，擺離開平衡位置的最大偏離稱為振幅。數(shù)學(xué)擺的振幅為，而稱為初位相。這里，振幅和初位相都依賴于初始條件。如果把數(shù)學(xué)擺移至位置處，然后突然松開，使其自由擺動(dòng)，這就相當(dāng)于給定如下的初始條件：是， （4.42）把（4.42）代入通解（4.41），得到于是得初位相，振幅，因此，所求的特解為（2）有阻尼自由振動(dòng) 從通解（4.41）可以看出，無阻尼的自由振動(dòng)是按正弦規(guī)律作周期運(yùn)動(dòng)，擺動(dòng)似乎可以無限期的進(jìn)行下去。但是，實(shí)際情況并不是如此，擺總是經(jīng)過一段時(shí)間的擺動(dòng)后就會停下來，這說明我們所得的方程并沒有完全反映物體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。因?yàn)榭諝庾枇υ趯?shí)際上總是難免的，因此必須把運(yùn)動(dòng)阻力這一因素考慮進(jìn)去，從而得到第一章已推導(dǎo)過的有阻尼的自由振動(dòng)方程。 記，這里，是正常數(shù)，方程可以寫成 （4.43）它的特征方程為 （4.44）特征根為 對于不同的阻尼值，微分方程有不同形式的解，它表示不同的運(yùn)動(dòng)形式，現(xiàn)分下面三種情形進(jìn)行討論：（）小阻尼的情形：即的情形，這時(shí)，為一對共軛復(fù)根，記，則而方程（4.43）的通解為和前面無阻尼的情形一樣，可以把上述通解改寫成如下形式： （4.45）這里，為任意常數(shù)。從（4.45）可見，擺的運(yùn)動(dòng)已不是周期的，振動(dòng)的最大偏離隨著時(shí)間增加而不斷減小，而擺從一個(gè)最大偏離到達(dá)同側(cè)下一個(gè)最大偏離所需時(shí)間為，圖（4.2）表示函數(shù)（4.45）的圖形，圖上，虛線是的圖形。而實(shí)線表示擺運(yùn)動(dòng)的偏離隨時(shí)間變化的規(guī)律，它夾在兩條虛線中間振動(dòng)。因?yàn)樽枘岬拇嬖冢瑪[的最大偏離隨時(shí)間增大而不斷減小，最后擺趨于平衡位置。 圖（4.2）（）大阻尼的情形：即的情形，這時(shí)，特征方程（4.44）有兩個(gè)不同的負(fù)實(shí)根，方程（4.43）的通解為 （4.46）這里是任意常數(shù)。從（4.46）可以看出，擺的運(yùn)動(dòng)也不是周期的，因?yàn)榉匠虒τ谧疃嘀挥幸粋€(gè)解，因此，擺最多只通過平衡位置一次，又因?yàn)楣蕪?得知，當(dāng)足夠大時(shí)，的符號與的符號相反。因此，經(jīng)過一段時(shí)間后，擺就單調(diào)地趨于平衡位置，因而在大阻尼的情形，運(yùn)動(dòng)不是周期的，且不再具有振動(dòng)的性質(zhì)。擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律（4.46）的圖形如圖（4.3）所示。 圖（4.3）（）臨界阻尼的情形：即的情形，這時(shí)特征方程（4.44）有重根，方程（4.43）的通解為 （4.47）這里是任意常數(shù)。從（4.47）可以看出，擺的運(yùn)動(dòng)也不是周期的，它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律（4.47）的圖形他圖（4.3）相類似。擺也不是具有振動(dòng)的性質(zhì)。數(shù)值稱為阻尼的臨界值，這一數(shù)值正好足夠抑制振動(dòng)。這里臨界值的意思是指：擺處于振動(dòng)狀態(tài)或不振動(dòng)狀態(tài)的阻尼分界值，即當(dāng)時(shí)，擺不具有振動(dòng)性質(zhì)，運(yùn)動(dòng)規(guī)律如圖（4.3）所示。而當(dāng)時(shí)，擺具有振動(dòng)性質(zhì)，運(yùn)動(dòng)規(guī)律如圖（4.2）所示。（3）無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)數(shù)學(xué)擺的微小強(qiáng)迫振動(dòng)方程可寫為 考察無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)，即的情形。令，設(shè)，為已知常數(shù)，為外力圓頻率。這時(shí)方程變?yōu)?（4.48）方程（4.48）的對應(yīng)齊線性方程的通解為 （4.41）這里，是任意常數(shù)。現(xiàn)求（4.48）的一個(gè)特解。如果，則（4.48）有形如 （4.49）的解，這里，是待定常數(shù)。將(4.49)代入（4.48），比較同類項(xiàng)系數(shù)，得到，因此，方程（4.48）的通解為 （4.50）這個(gè)通解（4.50）由兩部分組成，第一部分是無阻尼自由振動(dòng)的解，它代表固有振動(dòng)，第二部分是振動(dòng)頻率與外力頻率相同，而振幅不同的項(xiàng)，它代表由外力引起的強(qiáng)迫振動(dòng)。從（4.50）還可以看出，如果外力的圓頻率愈接近固有圓頻率，則強(qiáng)迫振動(dòng)項(xiàng)的振幅就愈大。如果，則（4.48）有形如的解，將它代入（4.48），比較同類項(xiàng)系數(shù)得到，因而，方程（4.48）的通解為 （4.51） （4.51）表示隨著時(shí)間的增大，擺的偏離將無限增加，這種現(xiàn)象稱為共振現(xiàn)象。但是，實(shí)際上，隨著擺的偏離的增加，到了一定程度，方程（4.48）就不能描述擺的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)了。（4）有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)這時(shí)擺的運(yùn)動(dòng)方程為 （4.52）根據(jù)實(shí)際的需要，我們只討論小阻尼的情形，即的情形。這時(shí)（4.52）的對應(yīng)齊線性方程的通解為 （4.45）這里，是任意常數(shù)，（見（2）有阻尼自由振動(dòng)中的情形（）。現(xiàn)求（4.52）的一個(gè)特解，這時(shí)可以尋求形如 （4.53）的特解，這里，是待定常數(shù)。將（4.53）代進(jìn)（4.52），比較同類項(xiàng)系數(shù)，得到 為了獲得更明顯的物理意義，令，即令 （4.54）及 這時(shí)（4.53）可以寫成因此，（4.52）的通解為 （4.55）從（4.55）可以看出，擺的運(yùn)動(dòng)由兩部分疊加而成，第一部分就有阻尼的自由振動(dòng)，它是系統(tǒng)本身的固有振動(dòng)，它隨時(shí)間的增長而衰減，第二部分是由外力而引起的強(qiáng)迫振動(dòng)項(xiàng)，它的振幅不隨時(shí)間的增長而衰減。因此，考慮強(qiáng)迫振動(dòng)時(shí)主要就考慮后一項(xiàng)，它與外力的頻率一樣，但相位和振幅都不同了。我們現(xiàn)在來研究外力的圓頻率取什么值時(shí)所引起的強(qiáng)迫振動(dòng)項(xiàng)的振幅達(dá)到最大值。從（4.54）看出，只需討論當(dāng)取何值時(shí)達(dá)到最小值即可。為此，記，將它對求導(dǎo)數(shù)，并令導(dǎo)數(shù)等于零，得到因此，只要，即只要阻尼很小時(shí)，就解得 （4.56）而當(dāng)取此值時(shí)，我們有，因而在時(shí)達(dá)到最小值。把（4.56）代入（4.54），得到相應(yīng)的最大振幅值為就是說，當(dāng)外力的圓頻率時(shí)，強(qiáng)迫振動(dòng)項(xiàng)的振幅達(dá)到最大值，這時(shí)的圓頻率稱為共振頻率，所產(chǎn)生的現(xiàn)象也叫共振現(xiàn)象。4.3 高階方程的降階和冪級數(shù)解法4.3.1 可降階的一些方程類型階微分方程一般地可寫為下面討論三類特殊方程的降階問題：1）方程不顯含未知函數(shù)，或更一般地，設(shè)方程不含，即方程呈形狀： （4.57）若令，則方程即降為關(guān)于的階方程 （4.58）如果能夠求得方程（4.58）的通解即 再經(jīng)過次積分得到其中為任意常數(shù)。可以驗(yàn)證，這就是方程（4.57）的通解。特別地，若二階方程不顯含（相當(dāng)于，的情形）。則用變換便把方程化為一階方程。例1 求方程的解。解 令，則方程化為這是一階方程，積分后得，即，于是其中為任意常數(shù)，這就是原方程的通解。2）不顯含自變量的方程 （4.59）我們指出，若令，并以它為新未知函數(shù)，而視為新自變量，則方程就可降低一階。事實(shí)上，在所作假定下，采用數(shù)學(xué)歸納法不難證明，可用表出（）。將這些表達(dá)式代入（4.59）就得到這是關(guān)于的階方程，比原方程（4.59）低一階。例2 求解方程。解 令，直接計(jì)算可得，于是原方程化為得到或，積分后得，即，所以（），這就是原方程的通解。例3 求數(shù)學(xué)擺的運(yùn)動(dòng)方程 滿足初始條件：時(shí)，的解。解 令，則，這時(shí)，方程變?yōu)榉e分之，得到或者 （4.60）這里是任意常數(shù)。用初始條件代入（4.60），得到。于是（4.60）變?yōu)閷⑸鲜介_方得到 （4.61）我們先討論擺從最大的正偏離角到最大的負(fù)偏離角之間的第一次擺動(dòng)的情況，這時(shí)，（4.61）的右端取負(fù)號，得到 （4.62）將方程（4.62）分離變量，然后積分，并計(jì)及初始條件即得 （4.63）令則（4.63）可些寫為 （4.64）這里是代表擺從最大正偏離角第一次到達(dá)所需的時(shí)間。經(jīng)過的時(shí)間，擺到達(dá)最大負(fù)偏離角的位置，然后，擺又開始向右端運(yùn)動(dòng)，這時(shí)，（4.62）式已不能描述擺的運(yùn)動(dòng)了。故所得的解（4.64）只適用于的區(qū)間。對于之后的一段時(shí)間（4.61）的右端取正號，得到方程積分之，并注意到此時(shí)初始條件為使，得到 （4.65）再注意到可將（4.65）寫為 （4.66）當(dāng)上，擺又回復(fù)到，然后又向左端運(yùn)動(dòng)。（4.66）在區(qū)間上適用。在區(qū)間上擺的運(yùn)動(dòng)又由方程（4.62）描述。擺在和之間作周期性的擺動(dòng)。所以，我們只需就區(qū)間討論擺的運(yùn)動(dòng)已足夠了。擺從到的擺動(dòng)情況由方程（4.64）描述；而擺從再到的擺動(dòng)情況由方程（4.66）描述。積分是不能用初等函數(shù)表示出來的，這是一個(gè)橢圓積分。我們可將這里得到的結(jié)果與前面用近似所得的線性方程的結(jié)果作一個(gè)比較，就知此處非線性的情形比線性化了的情形復(fù)雜得多了。3）齊線性方程 （4.2）我們知道，方程（4.2）的求解問題歸結(jié)為尋求方程的個(gè)線性無關(guān)的特解，但如何求這些特解呢？沒有普通的方法可循。這是與常系數(shù)線性方程的 極大差異之處。但是我們指出，如果知道方程的一個(gè)非零特解，則利用變換，可將方程降低一階；或者更一般地，若知道方程的個(gè)線性無關(guān)的特解，則可通過一系列同類型的變換，使方程降低階，并且新得到的 階方程也是齊線性的。事實(shí)上，設(shè)是方程（4.2）的個(gè)線性無關(guān)7，顯然不恒等于0，。令，直接計(jì)算可得將這些關(guān)系式代入（4.2），得到這是關(guān)于的階方程，且各項(xiàng)系數(shù)是的已知函數(shù)，而的系數(shù)恒等于零，因?yàn)槭牵?.2）的解。因此，如果引入新未知函數(shù)，并在的區(qū)間上用除方程的各項(xiàng)，我們便得到形狀如 （4.67）的階齊線性方程。方程（4.67）的解與（4.2）的解之間的關(guān)系，由以上變換知道為，或。因此，對于方程（4.67），我們就知道它的個(gè)線性無關(guān)解，。事實(shí)上，是方程（4.67）的解，這一點(diǎn)是顯然的。假設(shè)這個(gè)解之間存在關(guān)系式或 其中是常數(shù)，那么，就有或由于線性無關(guān)，故必有。這就是說是線性無關(guān)的。因此，若對方程（4.67）仿一上做法，令，則可將方程化為關(guān)于的階齊線性方程 （4.68）并且還知道方程（4.68）的個(gè)線性無關(guān)解：，由上面的討論我們看到，利用個(gè)線性無關(guān)特解當(dāng)中的一個(gè)解，可以把方程（4.2）降低一階，成為階齊線性方程（4.67），并且知道它的個(gè)線性無關(guān)解；而利用兩個(gè)線性無關(guān)解，則可以把方程（4.2）降低兩階，成為階齊線性方程（4.68），同時(shí)知道它的個(gè)線性無關(guān)解。依次類推，繼續(xù)上面的做法，若利用了方程的個(gè)線性無關(guān)解，則最后我們就得到一個(gè)階齊線性方程。這就是說把方程（4.2）降低了階。特別地，對于二階齊線性方程，如果知道它的一個(gè)非零解，則方程的求解問題就解決了。事實(shí)上，設(shè)是二階齊線性方程 （4.69）的解，則由上面討論知道，經(jīng)變換后，方程就化為這是一階線性方程。解之得因而 （4.70）這里是任意常數(shù)。取，我們得到方程（4.69）的一個(gè)特解它與顯然是線性無關(guān)的，因?yàn)樗鼈冎炔坏扔诔?shù)（見習(xí)題4.1第1題）。于是，表達(dá)式（4.70）是(4.69)的通解，它包括了方程（4.69）的所有解。例4 已知是方程的解，試求方程的通解。解 這里 ，由（4.70）得到其中是任意常數(shù)，這就是方程的通解。4.3.2 二階線性方程的冪級數(shù)解法例5 求方程的滿足初始條件的解。解 設(shè) （4.71）為方程的解，這里是待定常數(shù)，由此我們有將的表達(dá)式代入方程，并比較的同次冪的系數(shù)，得到：，以及，就有，利用數(shù)學(xué)歸納法可以推得，一般地，代入（4.71）得這就是所求的解。事實(shí)上，方程是一階線性的，容易求得它的通解，而由條件確定常數(shù)，即得方程的解為。例6 求解方程，。解 同上例一樣，以（4.71）形式上代入2方程并比較的同次冪的系數(shù)，這時(shí)將有，因?yàn)椴豢赡苷业接邢薜模史匠虥]有形如（4.71）的解，事實(shí)上，直接解方程，可得通解為但若令，那么就將上述初值問