高考數(shù)學(xué)客觀題求解中的七大關(guān)鍵點(diǎn).pdf

解題研究 高考數(shù)學(xué)客觀題求解中的七大關(guān)鍵點(diǎn) 江蘇省灌南縣教育局教研室 222500 李太敏 客觀題以其 小 靈 快 的特點(diǎn)深受一些命 題者和解題者的喜愛 但命題者為了提高試題的 區(qū)分度 在一些試題中 常常會(huì)有意識(shí)地設(shè)置一些 關(guān)口 障礙甚至是陷阱 令解題者在不知不覺時(shí)進(jìn) 入其中難以自拔 從而導(dǎo)致客觀題得分率不高的 現(xiàn)狀 而要改變這種現(xiàn)狀 在數(shù)學(xué)解題中就必須能 尋找出其關(guān)鍵點(diǎn) 一點(diǎn)突破 全線告捷 本文試 以近兩年的全國(guó)高考試題中的客觀題為例 來說 明其求解中的七大關(guān)鍵點(diǎn) 1 尋出類比對(duì)象 人們總習(xí)慣于把感覺到的新信息與已掌握的 舊知 舊法進(jìn)行類比 然后進(jìn)行內(nèi)化 遷移 形成新 知 因而在數(shù)學(xué)解題中 如能迅速找準(zhǔn)類比對(duì)象 就如同找準(zhǔn)了通向解題成功的大道 例 1 2005 年遼寧卷 是正實(shí)數(shù) 設(shè) S f x cos x 是奇函數(shù) 若對(duì)每個(gè) 實(shí)數(shù) a S a a 1 的元素不超過2個(gè) 且有a 使S a a 1 含 2個(gè)元素 則 的取值范圍是 關(guān)鍵點(diǎn)分析 本題大部分同學(xué)是讀不懂題意 而導(dǎo)致解題發(fā)生障礙 事實(shí)上 如能找準(zhǔn)類比對(duì) 象 題意也并不難以理解 由 f x cos x 是奇函數(shù) 得 k 2 k Z 當(dāng)k 取相 鄰的兩個(gè)整數(shù)時(shí) 對(duì)應(yīng)的角度之差 1 2 因而本題可類比為 對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)a y sin2 x 在 a a 1 的最值出現(xiàn)的次數(shù)不超過 2 次 且有 a 使函數(shù)y cos2 x 在 a a 1 內(nèi)的最值能出現(xiàn)2 次 求 范圍 根據(jù)y sin2 x 的周期是T 2T 1 T 1 可得 的取值范圍是 2 2 尋出對(duì)應(yīng)關(guān)系 待研究的數(shù)學(xué)對(duì)象常常是千變?nèi)f化的 但它 們之間也往往是有聯(lián)系的 大都可以通過 一對(duì) 一 或多對(duì)一 或一對(duì)多 的某種對(duì)應(yīng)關(guān)系溝通它 們之間的聯(lián)系 尋出這種對(duì)應(yīng)關(guān)系 就可以化繁為 簡(jiǎn) 化陌生為熟悉 例 2 2004 年湖南卷 從正方體的八個(gè)頂點(diǎn) 中任取三個(gè)頂點(diǎn)作三角形 其中直角三角形的個(gè) 數(shù)是 A 56 B 52 C 48 D 40 關(guān)鍵點(diǎn)分析 正方體的頂點(diǎn)所確定的每一個(gè) 平面都對(duì)應(yīng)四個(gè)直角三角形 而正方體的頂點(diǎn)所 確定平面共有 12 個(gè) 故所求的直角三角形個(gè)數(shù)為 48 個(gè) 例 3 2005年上海卷 設(shè)定義域?yàn)?R的函數(shù) f x lg x 1 x 1 0 x 1 則關(guān)于 x 的方程 f 2 x bf x c 0 有 7個(gè)不同實(shí)數(shù)解的充要 條件是 A b 0 B b 0且 c 0 C b 0 時(shí) f x t1有四個(gè)實(shí)根 而當(dāng)t2 0 時(shí) f x t2有三個(gè)實(shí)根 即方程t 2 bt c 0的一 個(gè)正根可對(duì)應(yīng)于 f x t1的四個(gè)實(shí)根 方程 t 2 bt c 0的一個(gè)零根可對(duì)應(yīng)于 f x t2的三個(gè) 實(shí)根 因而關(guān)于x 的方程f 2 x bf x c 0有 7個(gè)不同實(shí)數(shù)解 對(duì)應(yīng)于方程t 2 bt c 0有一個(gè) 正根與一個(gè)零根 因此選答案 C 50 解題研究 3 尋出獨(dú)特情形 矛盾的特殊性雖蘊(yùn)涵在一般性之中 但一般 性的信息由于其共性的規(guī)律易引起人們的共鳴 而特殊的信息則會(huì)由于其個(gè)性的特征易被人們所 忽略 因而尋出獨(dú)特情形 往往能達(dá)到快而準(zhǔn)地解 決問題之目的 例4 2005年山東卷 設(shè)集合 A B 是全集U 的兩個(gè)子集 則A B 時(shí) UA B U A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充要條件 D 既不充分也不必要條件 關(guān)鍵點(diǎn)分析 當(dāng) A B 時(shí) UA B U 顯然成立 但反之呢 如能發(fā)現(xiàn)獨(dú)特情形 A B 時(shí) UA B U也成立 則可立即得答案 A 4 尋出隱含性質(zhì) 表面的人人均能發(fā)現(xiàn) 但隱含的往往才是問 題的核心 因此尋出問題的隱含性質(zhì) 才能導(dǎo)致問 題的正確解決 例5 2005年福建卷改編 f x 是定義在R 上的以 3 為周期的奇函數(shù) 且 f 2 0 則方程 f x 0 在區(qū)間 0 6 內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是 A 3 B 4 C 5 D 多于 5個(gè) 關(guān)鍵點(diǎn)分析 由于 f 2 0 f 5 又 f 0 0 f 3 而 f 2 f 2 0 f 1 f 4 因而本題很容易錯(cuò)選答案 C 事實(shí)上 由 f x 是定義在 R 上的以 3為周期的奇函數(shù) 隱含 了 f 3 2 0 故可得f 9 2 0 因此應(yīng)選答案 D 例 6 2004 年遼寧卷 設(shè) A B C D 是球面 上的四個(gè)點(diǎn) 且在同一平面內(nèi) AB BC CD DA 3 球心到該平面的距離是球半徑的一半 則球的體積是 A 8 6 B 64 6 C 24 2 D 72 2 關(guān)鍵點(diǎn)分析 A B C D 是球面上的四個(gè)點(diǎn) 且在同一平面內(nèi) AB BC CD DA 隱含了 四邊形ABCD 是正方形 以此作突破口 可求得 答案 A 5 尋出本質(zhì)特征 事物的特征有多種 而本質(zhì)特征往往只有一 個(gè) 它需要人們從眾多繁復(fù)的信息中篩選 去甄 別 因而尋出問題的本質(zhì)特征 就如同抓住了打開 問題大門的金鑰匙 例 7 2004 年浙江卷 設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)有一個(gè) 質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā) 沿 x 軸跳動(dòng) 每次向正方向或負(fù) 方向跳 1 個(gè)單位 經(jīng)過 5 次跳動(dòng)質(zhì)點(diǎn)落在點(diǎn) 3 0 允許重復(fù)過此點(diǎn) 處 則質(zhì)點(diǎn)不同的運(yùn)動(dòng)方法 共有種 用數(shù)字作答 關(guān)鍵點(diǎn)分析 設(shè)沿 x 軸正方向跳動(dòng)x 次 沿負(fù) 方向跳動(dòng) y 次 本題的本質(zhì)特征就是 方程組 x y 5 x y 3之解 故x 4且 y 1 因而質(zhì)點(diǎn)不 同的運(yùn)動(dòng)方法有 C 4 5 5 種 例 8 2004 年重慶卷 若 an 是等差數(shù)列 首項(xiàng)a1 0 a2003 a2004 0 a2003 a2004 0 成立的最大自然數(shù) n 是 A 4005 B 4006 C 4007 D 4008 關(guān)鍵點(diǎn)分析 由 a1 0 a2003 a2004 0 a2003 a2004 0 a2004 0 而 S4007 4007a2004 0 b 0 的左 右焦點(diǎn)分別為 F1 F2 點(diǎn) P 在雙曲線的右支上 且 PF1 4 PF2 則此 雙曲線的離心率 e的最大值為 A 4 3 B 5 3 C 2 D 7 3 關(guān)鍵點(diǎn)分析 由 PF1 4 PF2 可得 PF1 8 3 a PF2 2 3 a 根據(jù)幾何性質(zhì)得 PF1 PF2 F1F2 可得答案 B