2013遼寧高考數(shù)學(xué)文科試題及解析.doc

絕密啟用前2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（遼寧卷）數(shù) 學(xué)（供文科考生使用）樂(lè)享玲瓏，為中國(guó)數(shù)學(xué)增光添彩！免費(fèi)玲瓏3D畫(huà)板，全開(kāi)放的幾何教學(xué)軟件，功能強(qiáng)大，好用實(shí)用第I卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合 則（A） （B） （C） （D）2.復(fù)數(shù)的模為（A） （B） （C） （D）3.已知點(diǎn)則與向量同方向的單位向量為（A） （B） （C） （D）4.下面是關(guān)于公差的等差數(shù)列的四個(gè)命題： 數(shù)列是遞增數(shù)列； 數(shù)列是遞增數(shù)列； 數(shù)列是遞增數(shù)列； 數(shù)列是遞增數(shù)列；其中的真命題為（A） （B） （C） （D）5.某學(xué)校組織學(xué)生參加英語(yǔ)測(cè)試，成績(jī)的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組一次為若低于60分的人數(shù)是15人，則該班的學(xué)生人數(shù)是（A） （B） （C） （D）0.020.0150.010.005頻率組距O 20 40 60 80 100 成績(jī)/分6.在，內(nèi)角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為且，則 A B C D 7.已知函數(shù)則A B C D 8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入則輸出的A B C D 否是開(kāi)始輸入輸出S結(jié)束9、已知點(diǎn).若ABC為直角三角形，則必有A B C D10、已知三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上. 若則球的半徑為A B C D 11、已知橢圓的左焦點(diǎn)為F， 與過(guò)原點(diǎn)的直線相交于A,B兩點(diǎn)， 連接AF,BF.若|AB|=10，|BF|=8，則的離心率為（A） （B） （C） （D）12、已知函數(shù)設(shè)表示中的較大值，表示中的較小值，記得最小值為得最小值為,則（A） （B） （C） （D）第II卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第13題-第22題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22題-第24題為選考題，考生根據(jù)要求作答。二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.13、某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是 .14、已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，是的前項(xiàng)和.若是方程的兩個(gè)根，則 .15、已知為雙曲線的左焦點(diǎn)，P,Q為上的點(diǎn).若PQ的長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的2倍，點(diǎn)A（5,0）在線段PQ上，則PQF的周長(zhǎng)為 .16、為了考察某校各班參加課外書(shū)法小組的人數(shù)，在全校隨機(jī)抽取5個(gè)班級(jí)，把每個(gè)班級(jí)參加該小組的認(rèn)為作為樣本數(shù)據(jù).已知樣本平均數(shù)為7，樣本方差為4，且樣本數(shù)據(jù)互相不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為 .三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17（本小題滿分12分）設(shè)向量（I）若求的值； （II）設(shè)函數(shù)求的最大值.18（本小題滿分12分）如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點(diǎn).（I）求證：平面（II）設(shè)Q為PA的中點(diǎn)。G為AOC的重心，求證：QG平面PBC.19（本小題滿分12分）現(xiàn)有6道題，其中4道甲類(lèi)題，2道乙類(lèi)題，張同學(xué)從中任取3道題解答.試求：（I）所取的2道題都是甲類(lèi)題的概率；（II）所取的2道題不是同一類(lèi)題的概率.20（本小題滿分12分）如圖，拋物線點(diǎn)在拋物線上，過(guò)M作的切線，切點(diǎn)為A,B(M為原點(diǎn)時(shí)，A,B重合于).當(dāng)時(shí)，切線MA的斜率為.（I）求P的值；（II）當(dāng)M在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段AB中點(diǎn)N的軌跡方程（A,B重合于時(shí)，中點(diǎn)為）.21（本小題滿分12分）（I）證明：當(dāng) 時(shí)，（II）若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 請(qǐng)考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)題號(hào)下方的方框涂黑。22（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，AB為直徑，直線CD與相切于E.AD垂直于CD于D,BC垂直于CD于C,EF垂直AB于F,連接AE,BE.證明：（I）（II）22（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系.圓，直線的極坐標(biāo)方程分別為.（I）求與交點(diǎn)的極坐標(biāo)； （II）設(shè)P為的圓心，Q為與交點(diǎn)連線的中點(diǎn).已知直線PQ的參數(shù)方程為(為參數(shù))，求的值. 22（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)其中（I）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集； （II）已知關(guān)于的不等式的解集為，求的值.2013高考數(shù)學(xué)遼寧卷（文科）解析參考答案一選擇題1. 答案B 解析 由已知，所以，選B。2. 答案B 解析由已知所以3 . 答案A解析，所以，這樣同方向的單位向量是4 . 答案D解析設(shè)，所以正確；如果則滿足已知，但并非遞增所以錯(cuò)；如果若，則滿足已知，但，是遞減數(shù)列，所以錯(cuò)；，所以是遞增數(shù)列，正確5 . 答案B 解析第一、第二小組的頻率分別是、，所以低于60分的頻率是0.3，設(shè)班級(jí)人數(shù)為，則，。6 . 答案A 解析邊換角后約去，得，所以，但B非最大角，所以。7. 答案D解析所以，因?yàn)椋瑸橄喾磾?shù)，所以所求值為2.8 . 答案A 解析的意義在于是對(duì)求和。因?yàn)椋瑫r(shí)注意，所以所求和為=9 . 答案C 解析若A為直角，則根據(jù)A、B縱坐標(biāo)相等，所以；若B為直角，則利用得，所以選C10 . 答案C 解析由球心作面ABC的垂線，則垂足為BC中點(diǎn)M。計(jì)算AM=，由垂徑定理，OM=6，所以半徑R=11 . 答案B 解析由余弦定理，AF=6，所以，又，所以12 . 答案C 解析頂點(diǎn)坐標(biāo)為，頂點(diǎn)坐標(biāo)，并且與的頂點(diǎn)都在對(duì)方的圖象上，圖象如圖， A、B分別為兩個(gè)二次函數(shù)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，所以A-B=方法技巧（1）本題能找到頂點(diǎn)的特征就為解題找到了突破口。（2）并不是A，B在同一個(gè)自變量取得。二填空題13. 答案 解析直觀圖是圓柱中去除正四棱柱。14 . 答案63解析由遞增，所以，代入等比求和公式得15 .答案44解析兩式相加，所以并利用雙曲線的定義得，所以周長(zhǎng)為16 .答案10 解析設(shè)五個(gè)班級(jí)的數(shù)據(jù)分別為。由平均數(shù)方差的公式得，顯然各個(gè)括號(hào)為整數(shù)。設(shè)分別為，則。設(shè)=，由已知，由判別式得，所以，所以.三解答題17解：（）由，.及，得，又，從而，所以.（）,當(dāng)時(shí)，取最大值1，所以的最大值為.18. 解：（）由AB是圓的直徑，得，由平面ABC，平面ABC,得PABC,又PAAC=A,PA平面PAC, AC平面PAC,所以證平面PAC. （）連接OG并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)M,連接QM,QO,由G為AOC的重心，得M為AC中點(diǎn).由Q為PA中點(diǎn)，得QMPC,又O為AB中點(diǎn)，得OMBC.因?yàn)镼MMO=M,QM平面QMO,MO平面QMO,BCPC=C,BC平面PBC,PC平面PBC,所以平面QMO平面PBC.因?yàn)镼G平面QMO,所以QG平面PBC.19. 解：（）將4道甲類(lèi)題依次編號(hào)為1,2,3,4；2道一類(lèi)題依次編號(hào)為5.6，任取2道題，基本事件為：1,2，1,3，1,4，1,5，1,6，2,3，2,4，2,5，2,6，3,4，3,5，3,6，4,5，4,6，5,6，共15個(gè)，而且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的. 用A表示“都是甲類(lèi)題”這一事件，則A包含的基本事件有1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共6個(gè)，所以P（A）= （）基本事件向（I），用B表示“不是同一類(lèi)題”這一事件，則B包含的基本事件有1,5，1,6，2,5，2,6，3,5，3,6，4,5，4,6，共8個(gè)，所以P(B)=.20. 解：（）因?yàn)閽佄锞€上任意一點(diǎn)（x,y）的切線斜率為，且切線MA的斜率為，所以A點(diǎn)坐標(biāo)為，故切線MA的方程為 .因?yàn)辄c(diǎn)在切線MA 拋物線C上，于是 由得=2.（）設(shè)N(x,y), 由N為線段AB中點(diǎn)知 切線MA、MB的方程為 由得MA、MB的交點(diǎn)M（）的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)M（）在C上，即，所以 由得 當(dāng)時(shí)，A、B重合于原點(diǎn)0，AB重點(diǎn)N為0，坐標(biāo)滿足因此AB中點(diǎn)N的軌跡方程為.21（）證明：記F（x）=當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù). 又，所以當(dāng)時(shí)，即. 記，則當(dāng)時(shí)，所以在上是減函數(shù)，則，即.綜上，（）解法一:因?yàn)楫?dāng)時(shí).所以，當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)恒成立.下面證明，當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)不恒成立.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以存在（例如取和中的較小值）滿足，即當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)不恒成立.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是解法二:記，則.記，則.當(dāng)時(shí)，因此.于是(x)在0,1上試減函數(shù)，因此，當(dāng)x(0,1)時(shí)，(x)(0)=a+2,故當(dāng)a-2時(shí)，(x)-2時(shí)，不等式對(duì)不恒成立.由于在上是減函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，因此在上是增函數(shù)，故當(dāng)-26sin1-2cos1-時(shí)，0，故存在使，則當(dāng)0，所以f(x)在0,上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，.所以，當(dāng)a-2時(shí)，不等式.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是22證明：（）由直線CD與O相切，得CEBEAB,由AB為O的直徑，得AEAB,得EAB+EBF=；又EFAB,得FEB+EBF=,從而FEB=EAB，故FEB=CEB.（）由BCCE,EFAB, FEB=CEB，BE是公共邊，得，所以.類(lèi)似可證，得. 又在中，