數(shù)的整除性習題.docx

數(shù)的整除性（二）這一講主要講能被11整除的數(shù)的特征。一個數(shù)從右邊數(shù)起，第1，3，5，位稱為奇數(shù)位，第2，4，6，位稱為偶數(shù)位。也就是說，個位、百位、萬位是奇數(shù)位，十位、千位、十萬位是偶數(shù)位。例如9位數(shù)768325419中，奇數(shù)位與偶數(shù)位如下圖所示：能被11整除的數(shù)的特征：一個數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差（大數(shù)減小數(shù)）如果能被11整除，那么這個數(shù)就能被11整除。例1 判斷七位數(shù)1839673能否被11整除。分析與解：奇數(shù)位上的數(shù)字之和為1363=13，偶數(shù)位上的數(shù)字之和為897=24，因為24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。根據(jù)能被11整除的數(shù)的特征，也能求出一個數(shù)除以11的余數(shù)。一個數(shù)除以11的余數(shù)，與它的奇數(shù)位上的數(shù)字之和減去偶數(shù)位上的數(shù)字之和所得的差除以11的余數(shù)相同。如果奇數(shù)位上的數(shù)字之和小于偶數(shù)位上的數(shù)字之和，那么應在奇數(shù)位上的數(shù)字之和上再增加11的整數(shù)倍，使其大于偶數(shù)位上的數(shù)字之和。例2 求下列各數(shù)除以11的余數(shù)：（1）41873； （2）296738185。分析與解：（1）（483）（17）11=71107，所以41873除以11的余數(shù)是7。（2）奇數(shù)位之和為26315=17，偶數(shù)位之和為978832。因為1732，所以應給17增加11的整數(shù)倍，使其大于32。（17+112）-327，所以296738185除以11的余數(shù)是7。需要說明的是，當奇數(shù)位數(shù)字之和遠遠小于偶數(shù)位數(shù)字之和時，為了計算方便，也可以用偶數(shù)位數(shù)字之和減去奇數(shù)位數(shù)字之和，再除以11，所得余數(shù)與11的差即為所求。如上題（2）中，（32-17）1114，所求余數(shù)是11-4=7。例3 求除以11的余數(shù)。分析與解：奇數(shù)位是101個1，偶數(shù)位是100個9。（9100-1101）11=79911=727，11-7=4，所求余數(shù)是4。例4 用3，3，7，7四個數(shù)碼能排出哪些能被11整除的四位數(shù)？解：只要奇數(shù)位和偶數(shù)位上各有一個3和一個7即可。有3377，3773，7337，7733。例5 用19九個數(shù)碼組成能被11整除的沒有重復數(shù)字的最大九位數(shù)。分析與解：最大的沒有重復數(shù)字的九位數(shù)是987654321，由（97531）-（8642）5知，987654321不能被11整除。為了保證這個數(shù)盡可能大，我們盡量調(diào)整低位數(shù)字，只要使奇數(shù)位的數(shù)字和增加3（偶數(shù)位的數(shù)字和自然就減少3），奇數(shù)位的數(shù)字之和與偶數(shù)位的數(shù)字之和的差就變?yōu)?32=11，這個數(shù)就能被11整除。調(diào)整“4321”，只要4調(diào)到奇數(shù)位，1調(diào)到偶數(shù)位，奇數(shù)位就比原來增大3，就可達到目的。此時，4，3在奇數(shù)位，2，1在偶數(shù)位，后四位最大是2413。所求數(shù)為987652413。練習1 為使五位數(shù)6295能被11整除，內(nèi)應當填幾？2 用1，2，3，4四個數(shù)碼能排出哪些能被11整除的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)？3 求能被11整除的最大的沒有重復數(shù)字的五位數(shù)。4求下列各數(shù)除以11的余數(shù)：（1）2485； （2）63582； （3）987654321。5.求除以11的余數(shù)。6.六位數(shù)5A634B能被33整除，求A+B。7七位數(shù)3A8629B是88的倍數(shù)，求A和B。8. 在“2579這個數(shù)的內(nèi)填上一個數(shù)字,使這個數(shù)能被11整除,方格內(nèi)應填_.9.4228是99的倍數(shù),這個數(shù)除以99所得的商是_.10、從左向右編號為1至1991號的1991名同學排成一行,從左向右1至11報數(shù),報數(shù)為11的同學原地不動,其余同學出列;然后留下的同學再從左向右1至11報數(shù),報數(shù)為11的留下,其余同學出列;留下的同學第三次從左向右1至11報數(shù),報到11的同學留下,其余同學出列,那么最