【備考】全國名校數(shù)學(xué)試題分類匯編（12月 第三期）F單元 平面向量（含解析）.doc

【備考2015】2015屆全國名校數(shù)學(xué)試題分類匯編（12月 第三期）f單元 平面向量（含解析目錄f單元平面向量1f1平面向量的概念及其線性運(yùn)算1f2平面向量基本定理及向量坐標(biāo)運(yùn)算3f3平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用7f4 單元綜合17f1平面向量的概念及其線性運(yùn)算【數(shù)學(xué)理卷2015屆湖北省武漢華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)高三上學(xué)期期中考試（201411）】12在中，與交于點(diǎn)，設(shè)=，=，則(用,表示)【知識點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及幾何意義f1【答案】【解析】解析：三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，即，且，所以，所以故答案為：【思路點(diǎn)撥】由三點(diǎn)共線，知；由三點(diǎn)共線，知，所以，所以【數(shù)學(xué)理卷2015屆浙江省嘉興一中等五校2015屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考（201412）】16設(shè)向量，其中為實(shí)數(shù)若，則的取值范圍為_【知識點(diǎn)】三角函數(shù)的性質(zhì)向量相等函數(shù)的單調(diào)性f1 c3 b3【答案】【解析】6,1解析：由得，得,解得，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)得最小值為6,當(dāng)x=2時(shí)得最大值為1,所以所求的范圍是6,1.【思路點(diǎn)撥】利用向量相等等到變量之間的關(guān)系，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍，再利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，利用單調(diào)性求函數(shù)的值域.【數(shù)學(xué)理卷2015屆河北省唐山一中高三上學(xué)期期中考試（201411）】6已知點(diǎn)p是abc的內(nèi)心（三個內(nèi)角平分線交點(diǎn)）、外心（三條邊的中垂線交點(diǎn)）、重心（三條中線交點(diǎn)）、垂心（三個高的交點(diǎn)）之一，且滿足，則點(diǎn)p一定是abc的（ ）a內(nèi)心b外心c重心d垂心【知識點(diǎn)】平面向量的線性運(yùn)算f1【答案】【解析】b解析：設(shè)d為bc的中點(diǎn)，可得，所以，即，即，結(jié)合d為bc的中點(diǎn)，可得p在bc的垂直平分線上又點(diǎn)p是abc的內(nèi)心、外心、重心和垂心之一結(jié)合三角形外接圓的性質(zhì)，得點(diǎn)p是abc的外心，故選擇b.【思路點(diǎn)撥】：設(shè)d為bc的中點(diǎn)，可得，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，得到，即，可求得.f2平面向量基本定理及向量坐標(biāo)運(yùn)算【數(shù)學(xué)理卷2015屆重慶市重慶一中高三上學(xué)期期中考試（201411）word版】10. （原創(chuàng)）已知o為坐標(biāo)原點(diǎn)，,，記、中的最大值為m，當(dāng)取遍一切實(shí)數(shù)時(shí)，m的取值范圍是 （ ） a. b. c. d. 【知識點(diǎn)】向量模的坐標(biāo)運(yùn)算；向量模的最值. f2【答案】【解析】c解析：因?yàn)椋?，所以，（1）當(dāng)a=0時(shí)，m，（2）當(dāng)a=7（a、b、c三點(diǎn)共線）時(shí)，則點(diǎn)p落在ab中點(diǎn)時(shí)，m取得最小值，,(3)當(dāng)a0且a7時(shí)，p落在abc的外心q 時(shí)，m有最小值 q所在的直線與ab 垂直，故q 在直線y=x 上，若,則yx；當(dāng)yx時(shí)到點(diǎn)c距離等于到x軸的距離的點(diǎn)的軌跡是拋物線：，交直線y=x于p，當(dāng)a=2時(shí)，m取得最小值，綜上得：m的取值范圍是，故選c. 【思路點(diǎn)撥】（1）當(dāng)a=0(a、b、o三點(diǎn)重合)時(shí)，p是oc中點(diǎn)時(shí)，m最??；（2）當(dāng)a=7（a、b、c三點(diǎn)共線）時(shí)，則點(diǎn)p落在ab中點(diǎn)時(shí)，m取得最小值；(3)當(dāng)a0且a7時(shí)，p落在abc的外心q 時(shí)，m有最小值.三種情況下m均無最大值，故分類討論出m的最小值，即可得到答案.【數(shù)學(xué)理卷2015屆湖南省衡陽市五校高三11月聯(lián)考（201411）】5在abc中，是邊所在直線上任意一點(diǎn)，若，則【】 a1 b2 c3 d4【知識點(diǎn)】平面向量的基本定理及其意義f2【答案】【解析】c解析：abc中，m是ab邊所在直線上任意一點(diǎn)，存在實(shí)數(shù)，使得=，即化簡得=，=2+，結(jié)合平面向量基本定理，得，解之得=3，=故選：c【思路點(diǎn)撥】根據(jù)a、m、b三點(diǎn)共線，可得存在實(shí)數(shù)使=成立，化簡整理得=，結(jié)合已知等式建立關(guān)于、的方程組，解之即可得到實(shí)數(shù)的值【數(shù)學(xué)理卷2015屆湖南省衡陽市五校高三11月聯(lián)考（201411）】5在abc中，是邊所在直線上任意一點(diǎn)，若，則【】 a1 b2 c3 d4【知識點(diǎn)】平面向量的基本定理及其意義f2【答案】【解析】c解析：abc中，m是ab邊所在直線上任意一點(diǎn)，存在實(shí)數(shù)，使得=，即化簡得=，=2+，結(jié)合平面向量基本定理，得，解之得=3，=故選：c【思路點(diǎn)撥】根據(jù)a、m、b三點(diǎn)共線，可得存在實(shí)數(shù)使=成立，化簡整理得=，結(jié)合已知等式建立關(guān)于、的方程組，解之即可得到實(shí)數(shù)的值【數(shù)學(xué)理卷2015屆浙江省嘉興一中等五校2015屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考（201412）】15設(shè)是按先后順序排列的一列向量，若，且，則其中模最小的一個向量的序號_【知識點(diǎn)】向量的坐標(biāo)運(yùn)算f2【答案】【解析】1002或1001解析：因?yàn)?，所以，因?yàn)槎魏瘮?shù)的對稱軸方程為，又n為正整數(shù)，所以當(dāng)n=1002或1001時(shí)模最小.【思路點(diǎn)撥】可以借助于等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出向量的一般形式，再借助于二次函數(shù)求最值.【數(shù)學(xué)文卷2015屆重慶市重慶一中高三上學(xué)期期中考試（201411）word版】18.（原創(chuàng)）（本題滿分13分）已知中，角的對邊分別為，且有.求角的大??；設(shè)向量,且，求的值.【知識點(diǎn)】正弦定理；兩角和與差的三角函數(shù)；三角形的內(nèi)角和；誘導(dǎo)公式；向量垂直的性質(zhì)，三角函數(shù)的求值. c8 c5 c2 c7 f2【答案】【解析】(1)；(2)7.解析：由條件可得：整理得：所以，又，故由可得：整理得：從而（舍去）又，為銳角故，于是【思路點(diǎn)撥】(1)利用正弦定理，兩角和與差的三角函數(shù)，三角形的內(nèi)角和，誘導(dǎo)公式，將已知等式化為，從而得；（2）由可得,可得的值.【數(shù)學(xué)文卷2015屆湖南省長沙長郡中學(xué)高三上學(xué)期第四次月考（201412）word版】9如圖，在rtabc中，c= 90，ac=4，bc=2，d、e分別是bc、ab的中點(diǎn)，p是abc（包括邊界）內(nèi)任一點(diǎn)，則的取值范圍是a-7，7 b-8，8c-9，9 d-10，jo【知識點(diǎn)】平面向量基本定理f2【答案】c【解析】在rtabc中，c=90，ac=4，bc=2，d是bc的中點(diǎn)，那么=，=16+4=20()=()=2以ca所在的直線為x軸，以cb所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則a的坐標(biāo)為（4，0），b的坐標(biāo)為（0，2），由線段的中點(diǎn)公式可得點(diǎn)d的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)e的坐標(biāo)為（2，1），設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為（x，y），則由題意可得可行域?yàn)閍bc及其內(nèi)部區(qū)域，故有令t=（-4，1）（x-2，y-1）=7-4x+y，即 y=4x+t-7故當(dāng)直線y=4x+t-7過點(diǎn)a（4，0）時(shí)，t取得最小值為7-16+0=-9，當(dāng)直線y=4x+t-7過點(diǎn)b（0，2）時(shí)，t取得最大值為 7-0+2=9，故t=的取值范圍是-9，9，【思路點(diǎn)撥】由條件可得=，故()=()=，由此求得()的值以ca所在的直線為x軸，以cb所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，利用簡單的線性規(guī)劃求得t=的取值范圍【數(shù)學(xué)文卷2015屆浙江省嘉興一中等五校2015屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考（201412）】15. 設(shè)是按先后順序排列的一列向量，若，且，則其中模最小的一個向量的序號【知識點(diǎn)】向量的坐標(biāo)運(yùn)算f2【答案】【解析】1002或1001解析：因?yàn)?，所以，因?yàn)槎魏瘮?shù)的對稱軸方程為，又n為正整數(shù)，所以當(dāng)n=1002或1001時(shí)模最小.【思路點(diǎn)撥】可以借助于等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出向量的一般形式，再借助于二次函數(shù)求最值.f3平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用【數(shù)學(xué)理卷2015屆重慶市重慶一中高三上學(xué)期期中考試（201411）word版】6（原創(chuàng)）在abc中，已知，則的值為（ ）a b cd【知識點(diǎn)】三角形面積公式；向量的數(shù)量積. f3 【答案】【解析】d解析：=所以=，故選d. 【思路點(diǎn)撥】由三角形的面積公式求得sina ，進(jìn)而得到cosa，再用向量數(shù)量積公式求解.【數(shù)學(xué)理卷2015屆湖南省長沙長郡中學(xué)高三上學(xué)期第四次月考（201412）word版】8已知等邊abc中，點(diǎn)p在線段ab上，且，若，則實(shí)數(shù)的值為a2bc1d【知識點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用f3【答案】c【解析】設(shè)等邊三角形abc的邊長為1則|=|=，|=1-（01）=()=+=.，所以11cos120+1cos0=（1-）cos180化簡-+=-（1-），整理2-2+=0，解得=（=1舍去）【思路點(diǎn)撥】將表示為,利用向量數(shù)量積公式，將關(guān)系式化簡得出關(guān)于的方程并解出即可注意01【數(shù)學(xué)理卷2015屆湖南省衡陽市五校高三11月聯(lián)考（201411）】10在abc中，已知，p為線段ab上的點(diǎn)，且的最大值為【】a3b4c5d6【知識點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用；平面向量的綜合題；正弦定理的應(yīng)用c8 f3【答案】【解析】a解析：abc中設(shè)ab=c，bc=a，ac=bsinb=cosasinc，sin（a+c）=sinccosna，即sinacosc+sinccosa=sinccosasinacosc=0，sina0cosc=0 c=90=9，sabc=6，bccosa=9，bcsina=6tana=，根據(jù)直角三角形可得sina=，cosa=，bc=15，c=5，b=3，a=4以ac所在的直線為x軸，以bc所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系可得c（0，0）a（3，0）b（0，4）p為線段ab上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)使得=（3，44）（01）設(shè)，則|=|=1，=（1，0），=（0，1），=x+y=（x，0）+（0，y）=（x，y）可得x=3，y=44則4x+3y=12，12=4x+3y，xy3，故所求的xy最大值為：3故選c【思路點(diǎn)撥】abc中設(shè)ab=c，bc=a，ac=b，由sinb=cosasinc結(jié)合三角形的內(nèi)角和及和角的正弦公式化簡可求 cosc的值，再由=9，sabc=6可得bccosa=9，bcsina=6可求得c，b，a，建立以ac所在的直線為x軸，以bc所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，由p為線段ab上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)使得=（3，44）（01），設(shè)，則|=|=1，=（1，0），=（0，1），由=x+y推出x與y的關(guān)系式，利用基本不等式求解最大值【數(shù)學(xué)理卷2015屆湖南省衡陽市五校高三11月聯(lián)考（201411）】10在abc中，已知，p為線段ab上的點(diǎn)，且的最大值為【】a3b4c5d6【知識點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用；平面向量的綜合題；正弦定理的應(yīng)用c8 f3【答案】【解析】a解析：abc中設(shè)ab=c，bc=a，ac=bsinb=cosasinc，sin（a+c）=sinccosna，即sinacosc+sinccosa=sinccosasinacosc=0，sina0cosc=0 c=90=9，sabc=6，bccosa=9，bcsina=6tana=，根據(jù)直角三角形可得sina=，cosa=，bc=15，c=5，b=3，a=4以ac所在的直線為x軸，以bc所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系可得c（0，0）a（3，0）b（0，4）p為線段ab上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)使得=（3，44）（01）設(shè)，則|=|=1，=（1，0），=（0，1），=x+y=（x，0）+（0，y）=（x，y）可得x=3，y=44則4x+3y=12，12=4x+3y，xy3，故所求的xy最大值為：3故選c【思路點(diǎn)撥】abc中設(shè)ab=c，bc=a，ac=b，由sinb=cosasinc結(jié)合三角形的內(nèi)角和及和角的正弦公式化簡可求 cosc的值，再由=9，sabc=6可得bccosa=9，bcsina=6可求得c，b，a，建立以ac所在的直線為x軸，以bc所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，由p為線段ab上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)使得=（3，44）（01），設(shè)，則|=|=1，=（1，0），=（0，1），由=x+y推出x與y的關(guān)系式，利用基本不等式求解最大值【數(shù)學(xué)理卷2015屆湖北省八校高三第一次聯(lián)考（201412）】17（本小題滿分12分）已知abc的三內(nèi)角a, b, c所對邊的長依次為a,b,c，若，（）求；（）若，求abc的面積【知識點(diǎn)】正弦定理；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算c8 f3【答案】【解析】（）;（）解析：( i )依題設(shè)：sina，sinc，故cosbcos(ac)cos (ac)(cosacosc-sinasinc)(). 則:sinb所以4:5:66分 ( ii ) 由( i )知：4:5:6，不妨設(shè)：a4k，b5k，c6k，k0.故知：|b5k，|a4k.依題設(shè)知：|2|22|cosc46 46k246，又k0k1.故abc的三條邊長依次為：a4，b5，c6.abc的面積是12分【思路點(diǎn)撥】（）a，c為三角形內(nèi)角，先求出sina，sinc，由cosb=cos-（a+c）展開即可求出cosb的值，從而可求出sinb，由正弦定理即可求出a：b：c的值；（）由正弦定理和已知可求出a，b，c的值，即可求出abc的面積【數(shù)學(xué)理卷2015屆江西省五校（江西師大附中、臨川一中、鷹潭一中、宜春中學(xué)、新余四中）高三上學(xué)期第二次聯(lián)考（201412）word版】二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13已知為單位向量，當(dāng)向量的夾角為時(shí)，在上的投影為.【知識點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；平面向量數(shù)量積的含義與物理意義f3 c8【答案】【解析】解析：根據(jù)題意畫出圖形如下圖：設(shè)，根據(jù)余弦定理得：，所以,則在上的投影為，故答案為?！舅悸伏c(diǎn)撥】利用數(shù)量積運(yùn)算、投影的意義即可得出【數(shù)學(xué)文卷2015屆重慶市重慶一中高三上學(xué)期期中考試（201411）word版】13.若向量的夾角為，則【知識點(diǎn)】向量的運(yùn)算. f3 【答案】【解析】2解析：=.【思路點(diǎn)撥】把求向量的模，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算即可.【數(shù)學(xué)文卷2015屆湖南省衡陽市五校高三11月聯(lián)考（201411）】16、(本小題滿分12分)已知向量，函數(shù)，(1)求函數(shù)f(x)的解析式及其單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當(dāng)x時(shí)，求函數(shù)f(x)的值域【知識點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算c5 f3【答案】【解析】(1) (2) 解析：（）4分單調(diào)遞增區(qū)間是.6分（）.8分函數(shù)f(x)的值域是.12分【思路點(diǎn)撥】（1）首先根據(jù)=（1，sinx），=（cos（2x+），sinx），求出；然后根據(jù)函數(shù)f（x）=cos2x，求出函數(shù)f（x）的解析式；最后根據(jù)正弦函數(shù)的特征，求出其單調(diào)遞增區(qū)間即可；（2）當(dāng)x0，時(shí)，可得2x，然后求出函數(shù)f（x）的值域即可【數(shù)學(xué)文卷2015屆湖南省衡陽市五校高三11月聯(lián)考（201411）】14、如圖，在邊長為2的菱形abcd中，為中點(diǎn)，則、【知識點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算f3【答案】【解析】1解析：在菱形abcd中，bad=60，abd為正三角形，=60，=18060=120，=，=（+=+=22cos60+12cos120=21=1，故答案為：1【思路點(diǎn)撥】將表示為，再利用向量的運(yùn)算法則，數(shù)量積的定義求解【數(shù)學(xué)文卷2015屆湖南省衡陽市五校高三11月聯(lián)考（201411）】、已知，且，則與夾角的余弦值為（ ）abcd【知識點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算f3【答案】【解析】b解析：（2+）=1，化為=故選b【思路點(diǎn)撥】利用向量的數(shù)量積運(yùn)算法則和夾角公式即可得出【數(shù)學(xué)文卷2015屆湖北省武漢華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)高三上學(xué)期期中考試（201411）】16把邊長為1的正方形如圖放置，、別在軸、軸的非負(fù)半軸上滑動（1）當(dāng)點(diǎn)與原點(diǎn)重合時(shí)，=；（2）的最大值是_【知識點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算f3【答案】【解析】(1)(2)解析：（1）當(dāng)a點(diǎn)與原點(diǎn)重合時(shí)，在軸上，則.（2）如圖令，由于故，如圖，故故同理可求得，即當(dāng)時(shí)，取最大值，則的最大值是故答案為：1，2【思路點(diǎn)撥】（1）求出的坐標(biāo)，以及向量的坐標(biāo)，再由數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可得到；（2）令，由邊長為的正方形的頂點(diǎn)、分別在軸、軸正半軸上，可得出的坐標(biāo)，由此可以表示出兩個向量，算出它們的內(nèi)積【數(shù)學(xué)文卷2015屆湖北省八校高三第一次聯(lián)考（201412）word版】11在邊長為2的正abc中，則_【知識點(diǎn)】向量數(shù)量積的計(jì)算. f3 【答案】【解析】-2解析：【思路點(diǎn)撥】根據(jù)向量數(shù)量積的定義求解. 【數(shù)